2000年上海市高考數(shù)學(xué)試卷（文科）一、填空題（本大題滿分48分）本大題共有12題，只要求直接填寫結(jié)果，每個空格填對得4分，否則一律得零分．)1.已知OA→=(-1,2)，OB→=(3,m)，若OA→⊥AB→，則m=________．2.函數(shù)y=log22x-13-x的定義域為________．3.圓錐曲線(x-1)216-y29=1的焦點坐標(biāo)是________．4.計算：limn→∞(nn+2)n=________．5.已知f(x)=2x+b的反函數(shù)為f-1(x)，若y=f-1(x)的圖象經(jīng)過點P(5, 2)，則b的值是________．6.根據(jù)上海市人大十一屆三次會議上的市政府工作報告，1999年上海市完成GDP（GDP是指國內(nèi)生產(chǎn)總值）4035億元，2000年上海市GDP預(yù)期增長9%，市委、市府提出本市常住人口每年的自然增長率將控制在0.08%，若GDP與人口均按這樣的速度增長，則要使本市年人均GDP達到或超過1999年的2倍，至少需________年．（按：1999年本市常住人口總數(shù)約1300）7.命題A：底面為正三角形，且頂點在底面的射影為底面中心的三棱錐是正三棱錐，命題A的等價題B可以是：底面為正三角形，且________的三棱錐是正三棱錐．8.設(shè)函數(shù)y=f(x)是最小正周期為2的偶函數(shù)，它在區(qū)間[0, 1]上的圖象為如圖所示的線段AB，則在區(qū)間[1, 2]上f(x)=________．9.在二項式(x-1)11的展開式中，系數(shù)最小的項的系數(shù)為________（結(jié)果用數(shù)值表示）10.有紅、黃、藍三種顏色的旗幟各3面，在每種顏色的3面旗幟上分別標(biāo)上號碼1、2、3，現(xiàn)在從中任取三面，它們的顏色和號碼均不相同的概率為________．11.圖中陰影部分的點滿足不等式組x+y≤52x+y≤6x≥0,y≥0，在這些點中，使目標(biāo)函數(shù)k=6x+8y取得最大值的點的坐標(biāo)是________．試卷第5頁，總6頁, 12.在等差數(shù)列{an}中，若a10＝0，則有等式：a1+a2+...+an＝a1+a2+...+a19-n(n<19)成立，類比上述性質(zhì)，相應(yīng)地，在等比數(shù)列{bn}中，若b9＝1，則有等式________成立．二、選擇題（本大題滿分16分）本大題共有4題，每題都給出代號為A、B、C、D的四個結(jié)論，其中有且只有一個結(jié)論是正確的，必須把正確結(jié)論的代號寫在題后的圓括號內(nèi)，選對得4分，不選、選錯或者選出的代號超過一個（不論是否都寫在圓括號內(nèi)），一律得零分．)13.函數(shù)y=sin(x+π2)，x∈[-π2, π2]）是（）A.增函數(shù)B.減函數(shù)C.偶函數(shù)D.奇函數(shù)14.設(shè)有不同的直線a、b和不同的平面α、β、γ，給出下列三個命題：①若a // α，b // α，則a // b②若a // α，a // β，則α // β③若α⊥γ，β⊥γ，則α // β其中正確的個數(shù)是（）A.0B.1C.2D.315.集合S={y|y=3x, x∈R}，T={y|y=x2-1, x∈R}，則S∩T是（）A.SB.TC.?D.有限集16.下列命題中正確的命題是（）A.若點P(a, 2a)(a≠0)為角a終邊上一點，則sina=255B.同時滿足sina=12，cosa=32的角a有且只有一個C.當(dāng)|a|<1時，tan(arcsina)的值恒正D.三角方程tan(x+π3)=3的解集為{x|x=kπ, k∈Z}三、解答題（本大題滿分86分）本大題共有6題，解答下列各題必須寫出必要的步驟)17.已知橢圓C的焦點分別為F1(-22, 0)和F2(22, 0)，長軸長為6，設(shè)直線y=x+2交橢圓C于A、B兩點．求：線段AB的中點坐標(biāo)．18.如圖所示四面體ABCD中，AB、BC、BD兩兩互相垂直，且AB=BC=2，E是AC中點，異面直線AD與BE所成的角的大小為arccos1010，求四面體ABCD的體積．19.已知函數(shù)f(x)=x2+2x+ax，x∈[1, +∞)，（1）當(dāng)a=12時，求函數(shù)f(x)的最小值；試卷第5頁，總6頁, （2）若對任意x∈[1, +∞)，f(x)>0恒成立，試求實數(shù)a的取值范圍．20.根據(jù)指令(r, θ)(r≥0, -180°<θ≤180°)，機器人在平面上能完成下列動作：先原地旋轉(zhuǎn)角度θ(θ為正時，按逆時針方向旋轉(zhuǎn)θ，θ為負(fù)時，按順時針方向旋轉(zhuǎn)-θ)，再朝其面對的方向沿直線行走距離r．（1）現(xiàn)機器人在直角坐標(biāo)系的坐標(biāo)原點，且面對x軸正方向，試給機器人下一個指令，使其移動到點(4, 4)．（2）機器人在完成該指令后，發(fā)現(xiàn)在點(17, 0)處有一小球正向坐標(biāo)原點作勻速直線滾動，已知小球滾動的速度為機器人直線行走速度的2倍，若忽略機器人原地旋轉(zhuǎn)所需的時間，問機器人最快可在何處截住小球？并給出機器人截住小球所需的指令（結(jié)果精確到小數(shù)點后兩位）．21.在xoy平面上有一點列P1(a1, b1)，P2(a2, b2)，P3(a3, b3)，…，Pn(an, bn)，…，對每個自然數(shù)n，點Pn位于函數(shù)y=2000(a10)x，(00)，z=x+yi和，其中x，y，x'，y'均為實數(shù)，i為虛數(shù)單位，且對于任意復(fù)數(shù)z，有w=z0⋅z，|w|=2|z|．（1）試求m的值，并分別寫出x'和y'用x、y表示的關(guān)系式：（2）將(x、y)用為點P的坐標(biāo)，(x'、y')作為點Q的坐標(biāo)，上述關(guān)系式可以看作是坐標(biāo)平面上點的一個變換：它將平面上的點P變到這一平面上的點Q．已知點P經(jīng)該變換后得到的點Q的坐標(biāo)為(3，2)，試求點P的坐標(biāo)；（3）若直線y=kx上的任一點經(jīng)上述變換后得到的點仍在該直線上，試求k的值．試卷第5頁，總6頁, 參考答案與試題解析2000年上海市高考數(shù)學(xué)試卷（文科）一、填空題（本大題滿分48分）本大題共有12題，只要求直接填寫結(jié)果，每個空格填對得4分，否則一律得零分．1.42.(12, 3)3.(-4, 0)，(6, 0)4.e-25.16.97.側(cè)棱相等/側(cè)棱與底面所成角相等/…8.x9.-46210.11411.(0, 5)12.b1⋅b2•…•bn＝b1⋅b2•…•b17-n(n<17)二、選擇題（本大題滿分16分）本大題共有4題，每題都給出代號為A、B、C、D的四個結(jié)論，其中有且只有一個結(jié)論是正確的，必須把正確結(jié)論的代號寫在題后的圓括號內(nèi)，選對得4分，不選、選錯或者選出的代號超過一個（不論是否都寫在圓括號內(nèi)），一律得零分．13.C14.A15.A16.D三、解答題（本大題滿分86分）本大題共有6題，解答下列各題必須寫出必要的步驟17.解：設(shè)橢圓C的方程為x2a2+y2b2=1，由題意a=3，c=22，b=a2-c2=1．∴橢圓C的方程為x29+y2=1．聯(lián)立方程組y=x+2x29+y2=1，消y得10x2+36x+27=0，因為該二次方程的判別式△>0，所以直線與橢圓有兩個不同的交點，設(shè)A(x1, y1)，B(x2, y2)，則x1+x2=-185，故線段AB的中點坐標(biāo)為(-95, 15)．18.解：以BC、BA、BD為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，…由題意得A(0, 2, 0)，C(2, 0, 0)，E(1, 1, 0)設(shè)D點的坐標(biāo)為(0, 0, z)(z>0)，則BE→=(1,1,0)，AD→=(0,-2,z)…∴試卷第5頁，總6頁, AD→⋅BE→=2⋅4+z2cosθ=-2，∵AD與BE所成的角的大小為arccos1010，可得cos2θ=24+z2=110，∴代入上式，解之得z=4，即BD的長度是4，…因此，三棱錐D-ABC的體積VD-ABC=13S△ABC⋅BD=16AB⋅BC⋅BD=16×2×2×4=83，即四面體ABCD的體積是83，…19.解：（1）因為f(x)=x+12x+2，f(x)在[1, +∞)上為增函數(shù)，所以f(x)在[1, +∞)上的最小值為f(1)=72．…（2）問題等價于f(x)=x2+2x+a>0，在[1, +∞)上恒成立．即a>-(x+1)2+1在[1, +∞)上恒成立． 令g(x)=-(x+1)2+1，則g(x)在[1, +∞)上遞減，當(dāng)x=1時，g(x)max=-3，所以a>-3，即實數(shù)a的取值范圍是(-3, +∞)．…20.解：（1）由題意，r=42，θ=45°，得指令為(42，45°)，…（2）設(shè)機器人最快在點P(x, 0)處截住小球…則因為小球速度是機器人速度的2倍，所以在相同時間內(nèi)有|17-x|=2(x-4)2+(0-4)2，…即3x2+2x-161=0得x=-233或x=7∵要求機器人最快地去截住小球，即小球滾動距離最短，∴x=7故機器人最快可在點P(7, 0)處截住小球，…所給的指令為(5, -98.13°)…試卷第5頁，總6頁, 21.解：（1）由于三角形為等腰三角形，所以點Pn(an, bn)在兩點(n, 0)與(n+1, 0)連線的中垂線上，從而an=n+12，又因為點Pn(an, bn)在函數(shù)y=2000(a10)x(0bn+1>bn+2，又因為以bn，bn+1，bn+2為邊長能構(gòu)成一個三角形，所以bn+2+bn+1>bn，從而(a10)2+(a10-1)>0∵00，得m=3，∴z0=1-3i，∵w=z0⋅z，∴x'+y'i=(1-3i)⋅(x+yi))=(1+3i)(x-yi)=x+3y+(3x-y)i，由復(fù)數(shù)相等得，x'=x+3yy'=3x-y，（2）由（1）和題意得，x+3y=33x-y=2，解得x=343y=14，即P點的坐標(biāo)為(343，14)．                （3）∵直線y=kx上的任意點P(x, y)，其經(jīng)變換后的點Q(x+3y，3x-y)仍在該直線上，∴3x-y=k(x+3y)，即(3k+1)y=(3-k)x∵當(dāng)k=0時，y=0，y=3x不是同一條直線，∴k≠0，于是3k+11=3-kk，即3k2+2k-3=0，解得k=33或k=-3試卷第5頁，總6頁