第二章剛體2.1剛體的定軸轉動2.2剛體定軸轉動定律及其應用2.3對定軸轉動的角動量守恒2.4剛體定軸轉動的功和能,2.1剛體的定軸轉動2.1.1平動和轉動一、剛體（rigidbody）特殊的質點系，運動中形狀、大小不變，理想模型。二、剛體運動的幾種形式剛體的平動通常用剛體質心的運動來代表。1.平動剛體上所有點運動均相同。各點a,v?r也相同。定軸轉動：運動中剛體上各質點均作圓周運動，且各圓心都在同一條固定的直線（轉軸）上。如門窗，電扇風葉的轉動等定點轉動：運動中剛體上只有一點固定不動，整個剛體繞過該固定的某一瞬時軸線轉動。如陀螺的運動等2.轉動,剛體不受限制的任意運動稱為剛體的一般運動它可以視為以下兩種剛體基本運動的疊加：oΔ?Δ?·oo′o′3.平面平行運動剛體上各點都平行于某一固定平面的運動稱為剛體的平面運動，又稱剛體的平面平行運動。如車輪直線滾動4.一般運動1）隨基點O的平動；2）繞通過基點O的瞬時軸的定點轉動。,P點線速度P點線加速度旋轉加速度向軸加速度v?ωrrP×基點O剛體剛體繞O點的轉動其轉軸是可以改變的，為了反映轉動的方向及轉動快慢，引入角速度矢量和角加速度矢量瞬時軸轉動平面2.1.2角速度和角加速度,剛體上任意點都繞同一軸作圓周運動OvP×ω,βrr定軸剛體?參考方向θz定軸轉動可用代數(shù)量表示當相同,,2.1.3定軸轉動剛體的轉動慣量dmrmJ反映剛體轉動慣性的大?。?）與剛體的質量有關。如鐵盤與木盤（2）在質量相同的情況下，與質量的分布有關，如：圓盤與圓環(huán)。（3）與轉軸的位置有關。一、轉動慣量的定義,例1：均勻圓環(huán)(m,R)對于中心垂直軸的轉動慣量（1）選取微元dm（2）求dJ（3）求J二、幾種典型剛體的轉動慣量RmCdm相當于質量為m的質點對軸的J,例2：求均勻圓盤(m,R)對于中心垂直軸的轉動慣量（1）選微元dm求dJ利用上題結果dJ=r2dm(3)求J解：可視圓盤由許多小圓環(huán)組成。ROmrdrdmdm,解:問:1)圓盤邊緣有一質量為m1的小塊(很小)脫落了,求對過中心垂直軸的轉動慣量?rdrdSd?例2：求均勻圓盤(m,R)對于中心垂直軸的轉動慣量,例3:求均勻細桿(m,L)對質心軸及邊緣軸的轉動慣量CAmL2L2xxdx可見，質量相同，形狀相同，轉軸不同，J不同。0對質心軸：對邊緣軸：對質心軸,三.關于J的幾條規(guī)律1.對同一軸J具有可疊加性J=JiåJmrziii=åD22.平行軸定理JJmdc=+2CdOmJCJ平行說明1.由平行軸定理可見，在各平行的轉軸之中，通過質心的轉軸對應的轉動慣量最小。2.兩個都不通過質心的平行轉軸之間不存在類似關系。,又如求均勻圓盤對于通過其邊緣一點O的平行軸的轉動慣量:RCmO由前面例3中結果,【用鼠標左鍵點擊圖中公式可出現(xiàn)8個演示動畫】常見形狀轉動慣量【動畫演示】,竿子長些還是短些較安全？飛輪的質量為什么大都分布于外輪緣？,2.1.4定軸轉動剛體的角動量轉軸?miri一、剛體的角動量（angularmomentum)若質量連續(xù)分布,2.2剛體的定軸轉動定律及應用2.2.1剛體的定軸轉動定律一﹑力矩外力對剛體轉動的影響，不僅與力的大小有關，而且與力的作用點的位置和方向都有關。即，只有力矩才能改變剛體的轉動。當M=0時，剛體勻速轉動或靜止rfmf⊥f11應理解為在轉動平面內(nèi)大?。悍较?沿,二﹑轉動定律把剛體看成由N個質點組成的質點系利用牛頓第二定律θω,β定軸剛體zFimiΔrifi?Fi---外力，剛體外其他物體對mi的合力fi---內(nèi)力，剛體內(nèi)其他質點對mi的合力對mi對轉軸的力矩為零,對所有質點列出此式，并求和剛體的轉動慣量內(nèi)力矩成對出現(xiàn)，且大小相等方向相反，作用在一條直線上J反映剛體轉動慣性的大小上式,2.定軸下可不寫角標zMFJma~~~βìíïîï4.與牛頓第二定律比較與?方向相同的力矩取正與?方向相反的力矩取負力矩的正方向：剛體所受的對于某固定轉軸的合外力矩等于剛體對同一轉軸的轉動慣量與它所獲得的角加速度的乘積。剛體的定軸轉動定律討論瞬時關系3.β∝M，方向相同，瞬時關系，對同一軸。只適用于慣性系。是對z軸外力矩的代數(shù)和,2.2.2轉動定律應用舉例解題步驟:1.認剛體;2.定轉軸,找運動;3.分析力和力矩;4.定轉向,列方程。特別注意:1.明確轉動軸位置。2.選定轉動的正方向,注意力矩、角速度、角加速度的正負。3.同一方程式中所有量都必須相對同一轉軸。兩類問題:（1）由角量運動,求力矩。(微分法)（2）由力矩及初始條件,求剛體運動。(積分法),對輪：對m:定軸O·Rthmv0=0繩解：輪與m為聯(lián)結體,輪為定軸轉動、m為平動,但二者用繩聯(lián)系起來。m的速度大小與輪邊緣線速度大小相等。mgT'=-Tm例1.己知：定滑輪上繞一細繩，繩一端固定在盤上，另一端掛重物m。繩與輪無相對滑動，繩不可伸長。輪半徑R=0.2m，m=1kg,m下落時間t=3s，v0=0,h=1.5m。求：輪對O軸J=?,運動學關系：聯(lián)立解得：(3)(4)定軸O·Rthmv0=0繩,例2：如圖，設滑塊A，重物B及滑輪C的質量分別為MA，MB，MC?；咰是半徑為r的均勻圓板?；瑝KA與桌面之間，滑輪與軸承之間均無摩擦，輕繩與滑輪之間無滑動。求:（1）滑塊A的加速度a（2）滑塊A與滑輪C之間繩的張力T1，（3）滑輪C與重物B之間繩的張力T2。ABCT2MBgT1MAgNT2′T1′N′MCg解：AB,ABC選正方向解方程得列方程：其中,例3：某飛輪直徑d=50cm,繞中心垂直軸轉動，轉動慣量J=2.4千克·米2,轉速n0=1000轉/分，若制動時閘瓦對輪的壓力為N=490牛，閘瓦與輪間的滑動摩擦系數(shù)?=0.4問：制動后飛輪轉過多少圈停止？fd(1)求β由轉動定律(以向外為正),（2）求圈數(shù),mO例4.己知：質量為m、半徑為R的均勻圓盤。初角速度,繞中心軸逆時針轉動。空氣對圓盤表面單位面積的摩擦力正比其線速度,即。不計軸承處的摩擦。求：圓盤在停止轉動時所轉過的圈數(shù)N=?1.取剛體m為研究對象，軸為O。2.取逆時針轉為正方向。r解：3.用積分法求力矩。在半徑為r、寬度為dr的面積元dS上的質元具有相同的線速度v。則dS上阻力的大小為:dSr不同時，v不同，力不同，力臂也不同，需要劃分微元求M,考慮盤的上下表面，故阻力矩大小為總阻力矩mOrdS,利用剛體定軸轉動定律分離變量,2.3對定軸轉動的角動量守恒一、質點系角動量定理分量式：質點系對某軸的角動量隨時間的變化率等于質點系中各質點所受外力對同一軸的力矩的代數(shù)和。質點系角動量守恒定律對于有限時間,質點系角動量定理同樣適用于剛體剛體對某軸的沖量矩等于該段時間內(nèi)剛體對同一軸角動量的增量剛體定軸轉動的角動量定理：二、剛體的角動量定律在t1到t2的時間內(nèi)，角動量由L1變到L2:是剛體對z軸的角動量,三、剛體角動量守恒定律當合外力矩------剛體角動量守恒定律角動量守恒情況如下幾種:(a)J,ω都不變，所以L=Jω=const(b)J,ω都變化，但是L=Jω=const(c)剛體組角動量守恒如：花樣滑冰，芭蕾舞，體操，跳水等運動項目的動作若剛體由幾部分組成，且都繞同一固定軸轉動這時角動量可以在剛體組內(nèi)部傳遞,美國航天局科學家理查德·格羅斯表示，里氏9級的日本大地震導致當天地球的自轉時間減少了1.8微秒，即每天的時間減少了1.8微秒。地震與地球自轉,,例：質量為M，半徑為R的水平放置的均勻圓盤，以角速度?1繞垂直于圓盤并通過盤心的光滑軸，在水平面內(nèi)轉動時，有一質量為m的小物塊以速度v垂直落在圓盤的邊沿上，并粘在盤上，求：（1）小物塊粘在盤上后，盤的角速度?2=？（2）小物塊在碰撞過程中受到的沖量I的方向及大小。mvRM?解：以m,M為一個系統(tǒng)，過程中其所受和外力矩為零，角動量守恒碰前m對軸的角動量為零，但其動量不為零。,（2）求I應用動量定理碰撞前后m動量方向不同，分方向討論。討論：1）碰撞過程中動能是否守恒？2）角動量守恒時，動量不一定守恒。方向向上方向沿切線平行于軸垂直于軸,方向與方向相同進動：高速自旋的物體的轉軸在空間轉動的現(xiàn)象重力矩：M=mgr角動量定理:2.3.3回轉儀dt時間內(nèi)軸沿方向轉過角,vvMdLdt=dLMdtMvvv=∥進動實例：陀螺進動即：w®¯W，,以上只是近似討論，因為當旋進發(fā)生后：只有高速自轉w>>W時，這時才有才有當考慮到vW對的貢獻時，自轉軸在旋進時還會出現(xiàn)微小的上下的周期擺動，這種運動叫章動(nutation)。,陀螺儀和常平架陀螺儀不受重力的力矩，且能在空間任意取向。,前輪教你學自行車Gyrowheel輪內(nèi)裝著一個陀螺儀裝置，這是個以最高每分鐘2千轉快速旋轉的飛輪，巧妙地借用了陀螺儀的“進動”特性來穩(wěn)定自行車。這個飛輪旋轉時與自行車輪子是相互獨立的。當一個力（這里是指騎車人的傾斜跌落）作用在高速旋轉飛輪上的時候，陀螺儀并不跌落，而只是朝跌落的方向進動，幫助Gyrowheel保持穩(wěn)定。,2.4剛體定軸轉動的功和能內(nèi)力矩的功2.4.1力矩的功力矩的空間積累效應(M應理解為合外力矩)力矩的瞬時功率?d?zxω?·軸,2.4.2定軸轉動剛體的機械能1.動能剛體的轉動動能：剛體的轉動動能就是組成剛體的各質點平動動能之和，他們是動能的不同表達形式。質點系動能：,2.剛體的重力勢能各質元重力勢能的總和，就是剛體的重力勢能。剛體的重力勢能等于其質量集中在質心時所具有的重力勢能×ChchimiΔEp=0,定軸轉動動能定理:2.4.3定軸轉動剛體的動能定理1.動能定理轉動定律,2.定軸轉動的功能原理質點系功能原理對剛體仍成立：若體系是一個包含剛體、質點、彈簧等復雜系統(tǒng)時五、機械能守恒定律對于包括剛體在內(nèi)的體系，若只有保守內(nèi)力作功則系統(tǒng)機械能守恒應包括系統(tǒng)中所有物體的勢能,初始：令末態(tài)：則：(1)解：桿+地球系統(tǒng)，只有重力作功，E守恒【例】已知：均勻直桿質量m,長l,初始水平靜止,軸光滑,AO=l/4。求：桿下擺θ角后，角速度ω是多少？軸對桿作用力的大小和方向？,由平行軸定理(2)由（1）、（2）得：質心運動定理：(3)方向：(4)方向：(1),由(3)(4)(5)(6)可解得：(5)(6),利用動能定理解該題：wq=267glsin,例：已知圓盤半徑為R，質量為M，在垂直平面內(nèi)可繞過中心水平軸轉動，將跨在圓盤上的輕繩分別聯(lián)接倔強系數(shù)為k的彈簧和質量為m的物體，設輪軸光滑，繩不伸長，繩與輪間無相對滑動，今用手托住m使彈簧保持原長，然后靜止釋放。求（1）m下落h距離時的速度。（2）彈簧的最大伸長量。解：取m+M+繩+彈簧+地球為一系統(tǒng)hmMRk外力：軸承支承力和地面對彈簧的支承力功為零。內(nèi)力：重力，彈性力為保守力,繩不伸長，張力功為零。繩與輪間無相對滑動，摩擦力功為零。,系統(tǒng)機械能守恒，設下落h處勢能為零hmMRk（1）m下落h時的速度,YmMRk（2）彈簧的最大伸長量。系統(tǒng)機械能守恒，設下落Y處勢能為零,上節(jié)課主要內(nèi)容一、陀螺儀進動現(xiàn)象及其應用航海定向騎自行車來復線二、力矩的功與轉動動能三、定軸轉動的動能定理四、定軸轉動的功能原理,解：例：如圖，一勻質圓盤(M,R)可在豎直平面內(nèi)繞光滑的中心垂直軸旋轉，初始時，圓盤處于靜止狀態(tài)，一質量為m的粘土塊從h高度處自由落下，與圓盤碰撞后粘在一起，之后一起轉動。已知：M=2m,?=600（1）m自由下落求：碰撞后瞬間盤的P轉到x軸時盤的碰前m速度：(1),碰撞?t極小，對m+盤系統(tǒng)，沖力遠大于重力，故重力對O力矩可忽略，角動量守恒：對m+M+地球系統(tǒng)，只有重力做功，E守恒，令P,x重合時,Ep=0（4）（5）(1)（2）（3）,由(3)、(4)、(5)得：,質點力學與剛體力學物理量和物理規(guī)律對比11.僅保守內(nèi)力做功機械能守恒角位置，角速度，角加速度轉動慣量力矩轉動定律角動量角動量定理角動量守恒力矩的功轉動動能轉動動能定理,牛頓力學的基礎框架和理論體系：,作業(yè)：2-1,2-5，2-8,2-102-11,2-13,2-14,2-162-18，2-21，2-24