高中數(shù)學(xué)-直線與直線的位置關(guān)系專題導(dǎo)學(xué)目標(biāo)：1.能根據(jù)兩條直線的斜率判定這兩條直線平行或垂直.2.能用解方程組的方法求兩條相交直線的交點(diǎn)坐標(biāo).3.掌握兩點(diǎn)間的距離公式、點(diǎn)到直線的距離公式，會(huì)求兩條平行直線間的距離．1．兩直線的位置關(guān)系平面上兩條直線的位置關(guān)系包括平行、相交、重合三種情況．(1)兩直線平行對(duì)于直線l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，l1∥l2?____________________________________________________________________.對(duì)于直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A2B2C2≠0)，l1∥l2?____________________________________________________________________.(2)兩直線垂直對(duì)于直線l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，l1⊥l2?k1·k2＝____.對(duì)于直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，l1⊥l2?A1A2＋B1B2＝____.2．兩條直線的交點(diǎn)兩條直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，如果兩直線相交，則交點(diǎn)的坐標(biāo)一定是這兩個(gè)方程的________；反之，如果這兩個(gè)二元一次方程只有一個(gè)公共 解，那么以這個(gè)解為坐標(biāo)的點(diǎn)必是l1和l2的________，因此，l1、l2是否有交點(diǎn)，就看l1、l2構(gòu)成的方程組是否有________．3．有關(guān)距離(1)兩點(diǎn)間的距離平面上兩點(diǎn)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)間的距離P1P2＝__________________________________.(2)點(diǎn)到直線的距離平面上一點(diǎn)P(x0，y0)到一條直線l：Ax＋By＋C＝0的距離d＝_______________________.(3)兩平行線間的距離已知l1、l2是平行線，求l1、l2間距離的方法：①求一條直線上一點(diǎn)到另一條直線的距離；②設(shè)l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0，則l1與l2之間的距離d＝_______________.自我檢測(cè)1．(濟(jì)寧模擬)若點(diǎn)P(a,3)到直線4x－3y＋1＝0的距離為4，且點(diǎn)P在不等式2x＋y－3<0表示的平面區(qū)域內(nèi)，則實(shí)數(shù)a的值為________．2．若直線l1：y＝k(x－4)與直線l2關(guān)于點(diǎn)(2,1)對(duì)稱，則直線l2恒過的定點(diǎn)的坐標(biāo)為________．3．已知直線l1：ax＋by＋c＝0，直線l2：mx＋ny＋p＝0，則＝－1是直線l1⊥l2的______________條件．4．(上海)已知直線l1：(k－3)x＋(4－k)y＋1＝0與l2：2(k－3)x－2y＋3＝0平行，則k的值是________．5．已知2x＋y＋5＝0，則的最小值是________.探究點(diǎn)一　兩直線的平行與垂直例1　已知直線l1：ax＋2y＋6＝0和直線l2：x＋(a－1)y ＋a2－1＝0，(1)試判斷l(xiāng)1與l2是否平行；(2)l1⊥l2時(shí)，求a的值．變式遷移1　已知兩條直線l1：ax－by＋4＝0和l2：(a－1)x＋y＋b＝0.求滿足以下條件的a、b的值：(1)l1⊥l2且l1過點(diǎn)(－3，－1)；(2)l1∥l2，且原點(diǎn)到這兩條直線的距離相等．探究點(diǎn)二　直線的交點(diǎn)坐標(biāo)例2　已知直線l1：4x＋7y－4＝0，l2：mx＋y＝0，l3：2x＋3my－4＝0.當(dāng)m為何值時(shí)，三條直線不能構(gòu)成三角形． 變式遷移2　△ABC的兩條高所在直線的方程分別為2x－3y＋1＝0和x＋y＝0，頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1,2)，求BC邊所在直線的方程．探究點(diǎn)三　距離問題例3　已知點(diǎn)P(2，－1)．求：(1)求過P點(diǎn)且與原點(diǎn)距離為2的直線l的方程；(2)求過P點(diǎn)且與原點(diǎn)距離最大的直線l的方程，最大距離是多少？(3)是否存在過P點(diǎn)且與原點(diǎn)距離為6的直線？若存在，求出方程；若不存在，請(qǐng)說明理由．變式遷移3　已知直線l過點(diǎn)P(3,1)且被兩平行線l1：x＋y＋1＝0，l2：x＋y＋6＝0截得的線段長(zhǎng)為5，求直線l的方程． 轉(zhuǎn)化與化歸思想例　(14分)已知直線l：2x－3y＋1＝0，點(diǎn)A(－1，－2)．求：(1)點(diǎn)A關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)A′的坐標(biāo)；(2)直線m：3x－2y－6＝0關(guān)于直線l的對(duì)稱直線m′的方程；(3)直線l關(guān)于點(diǎn)A(－1，－2)對(duì)稱的直線l′的方程．【答題模板】解　(1)設(shè)A′(x，y)，再由已知解得∴A′.[4分](2)在直線m上取一點(diǎn)，如M(2,0)，則M(2,0)關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)M′必在直線m′上．設(shè)對(duì)稱點(diǎn)M′(a，b)，則得M′.[8分]設(shè)直線m與直線l的交點(diǎn)為N，則由得N(4,3)．又∵m′經(jīng)過點(diǎn)N(4,3)，∴由兩點(diǎn)式得直線m′的方程為9x－46y＋102＝0.[10分](3)方法一　在l：2x－3y＋1＝0上任取兩點(diǎn)，如M(1,1)，N(4,3)，則M，N關(guān)于點(diǎn)A(－1，－2)的對(duì)稱點(diǎn)M′，N′均在直線l′上，易得M′(－3，－5)，N′(－6，－7)，再由兩點(diǎn)式可得l′的方程為2x－3y－9＝0.[14分]方法二　∵l∥l′，∴設(shè)l′的方程為2x－3y＋C＝0(C≠1)，∵點(diǎn)A(－1，－2)到兩直線l，l′的距離相等，∴由點(diǎn)到直線的距離公式得＝，解得C＝－9(C＝1舍去)，∴l(xiāng)′的方程為2x－3y－9＝0.[14分]方法三　設(shè)P(x，y)為l′上任意一點(diǎn)， 則P(x，y)關(guān)于點(diǎn)A(－1，－2)的對(duì)稱點(diǎn)為P′(－2－x，－4－y)，∵點(diǎn)P′在直線l上，∴2(－2－x)－3(－4－y)＋1＝0，即2x－3y－9＝0.[14分]【突破思維障礙】點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱是軸對(duì)稱中最基本的，要抓住兩點(diǎn)：一是已知點(diǎn)與對(duì)稱點(diǎn)的連線與對(duì)稱軸垂直；二是已知點(diǎn)與對(duì)稱點(diǎn)為端點(diǎn)的線段中點(diǎn)在對(duì)稱軸上．直線關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱可轉(zhuǎn)化為點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱，直線關(guān)于直線的對(duì)稱可轉(zhuǎn)化為點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱．【易錯(cuò)點(diǎn)剖析】(1)點(diǎn)關(guān)于線對(duì)稱，不能轉(zhuǎn)化為“垂直”及“線的中點(diǎn)在軸上”的問題．(2)線關(guān)于線對(duì)稱，不能轉(zhuǎn)化為點(diǎn)關(guān)于線的對(duì)稱問題；線關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱，不能轉(zhuǎn)化為點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱問題．1．在兩條直線的位置關(guān)系中，討論最多的還是平行與垂直，它們是兩條直線的特殊位置關(guān)系．解題時(shí)認(rèn)真畫出圖形，有助于快速準(zhǔn)確地解決問題．判斷兩直線平行與垂直時(shí)，不要忘記考慮斜率不存在的情形，利用一般式則可避免分類討論．2．運(yùn)用公式d＝求兩平行直線間的距離時(shí)，一定要把x、y項(xiàng)系數(shù)化為相等的系數(shù)．3．對(duì)稱思想是高考熱點(diǎn)，主要分為中心對(duì)稱和軸對(duì)稱兩種，關(guān)鍵要把握對(duì)稱問題的本質(zhì)，必要情況下可與函數(shù)的對(duì)稱軸建立聯(lián)系．(滿分：90分)一、填空題(每小題6分，共48分)1．若直線x＋ay－a＝0與直線ax－(2a－3)y －1＝0互相垂直，則a的值是________．2．已知直線l的傾斜角為，直線l1經(jīng)過點(diǎn)A(3,2)、B(a，－1)，且l1與l垂直，直線l2：2x＋by＋1＝0與直線l1平行，則a＋b＝________.3．(南通模擬)P點(diǎn)在直線3x＋y－5＝0上，且點(diǎn)P到直線x－y－1＝0的距離為，則P點(diǎn)坐標(biāo)為________________．4．(浙江)若直線x－2y＋5＝0與直線2x＋my－6＝0互相垂直，則實(shí)數(shù)m＝________.5．設(shè)直線l經(jīng)過點(diǎn)(－1,1)，則當(dāng)點(diǎn)(2，－1)與直線l的距離最大時(shí)，直線l的方程為______________．6．若直線m被兩平行線l1：x－y＋1＝0與l2：x－y＋3＝0所截得的線段的長(zhǎng)為2，則m的傾斜角可以是①15°　②30°　③45°　④60°?、?5°其中正確答案的序號(hào)是________．7．設(shè)兩條直線的方程分別為x＋y＋a＝0，x＋y＋b＝0，已知a、b是方程x2＋x＋c＝0的兩個(gè)實(shí)根，且0≤c≤，則這兩條直線之間的距離的最大值和最小值分別是________和________．8．平行四邊形兩相鄰邊方程是x＋y＋1＝0和3x－y＋4＝0，對(duì)角線交點(diǎn)(3,3)，則另兩邊的方程為__________________________________________________和_____________.二、解答題(共42分)9．(14分)(1)已知點(diǎn)P1(2,3)，P2(－4,5)和A(－1,2)，求過點(diǎn)A且與點(diǎn)P1，P2距離相等的直線方程．(2)過點(diǎn)P(3,0)作一直線，使它夾在兩直線l1：2x－y－2＝0與l2：x＋y＋3＝0之間的線段AB恰被點(diǎn)P平分，求此直線的方程． 10．(14分)已知△ABC的一個(gè)頂點(diǎn)A(－1，－4)，內(nèi)角∠B，∠C的平分線所在直線的方程分別為：l1：y＋1＝0，l2：x＋y＋1＝0.求邊BC所在直線的方程．11．(14分)已知直線方程(a－2)y＝(3a－1)x－1.(1)無論a為何實(shí)數(shù)，該直線是否總經(jīng)過第一象限？(2)為使直線不經(jīng)過第二象限，求實(shí)數(shù)a的取值范圍． 參考答案1．(1)k1＝k2且b1≠b2?。健佟?2)－1　0　2.公共解　交點(diǎn)　唯一解　3.(1)　(2)　(3)②自我檢測(cè)1．－3　2.(0,2)　3.充分不必要　4.3或5　5.課堂活動(dòng)區(qū)例1　解題導(dǎo)引　運(yùn)用直線的斜截式y(tǒng)＝kx＋b討論兩直線位置關(guān)系時(shí)，要特別注意直線斜率不存在時(shí)的特殊情況．即若l1∥l2，則或兩直線斜率均不存在，若l1⊥l2，則k1k2＝－1或k1、k2一個(gè)為0，另一個(gè)不存在．若直線l1、l2的方程分別為A1x＋B1y＋C1＝0和A2x＋B2y＋C2＝0，則l1∥l2的必要條件是A1B2－A2B1＝0，而l1⊥l2的充要條件是A1A2＋B1B2＝0.解題中為避免討論，常依據(jù)上述結(jié)論去解題．解　(1)方法一　當(dāng)a＝1時(shí)，l1：x＋2y＋6＝0，l2：x＝0，l1與l2不平行；當(dāng)a＝0時(shí)，l1：y＝－3，l2：x－y－1＝0，l1與l2不平行；當(dāng)a≠1且a≠0時(shí)，兩直線可化為l1：y＝－x－3，l2：y＝x－(a＋1)，l1∥l2?　解得a＝－1，綜上可知，a＝－1時(shí)，l1∥l2，否則l1與l2不平行．方法二　由A1B2－A2B1＝0，得a(a－1)－1×2＝0.由A1C2－A2C1≠0，得a(a2－1)－1×6≠0， ∴l(xiāng)1∥l2??∴a＝－1，故當(dāng)a＝－1時(shí)，l1∥l2，否則l1與l2不平行．(2)方法一　當(dāng)a＝1時(shí)，l1：x＋2y＋6＝0，l2：x＝0，l1與l2不垂直；當(dāng)a＝0時(shí)，l1：y＝－3，l2：x－y－1＝0，l1與l2不垂直；當(dāng)a≠1且a≠0時(shí)，l1：y＝－x－3，l2：y＝x－(a＋1)，由·＝－1?a＝.方法二　由A1A2＋B1B2＝0，得a＋2(a－1)＝0?a＝.變式遷移1　解　(1)由已知可得l2的斜率必存在，且k2＝1－a.若k2＝0，則a＝1.由l1⊥l2，l1的斜率不存在，∴b＝0.又l1過(－3，－1)，∴－3a＋b＋4＝0，∴b＝3a－4＝－1，矛盾．∴此情況不存在，即k2≠0.若k2≠0，即k1＝，k2＝1－a.由l1⊥l2，得k1k2＝(1－a)＝－1.由l1過(－3，－1)，得－3a＋b＋4＝0，解之得a＝2，b＝2.(2)∵l2的斜率存在，l1∥l2，∴l(xiāng)1的斜率存在，∴k1＝k2，即＝1－a.又原點(diǎn)到兩直線的距離相等，且l1∥l2，∴l(xiāng)1、l2在y軸上的截距互為相反數(shù)，即＝b.解之得或∴a、b的值為2和－2或和2. 例2　解題導(dǎo)引?、俎D(zhuǎn)化思想的運(yùn)用????②分類討論思想的運(yùn)用本題依據(jù)直線的位置關(guān)系將不能構(gòu)成三角形的情況分成兩類，分類應(yīng)注意按同一標(biāo)準(zhǔn)，不重不漏．解　當(dāng)三條直線共點(diǎn)或至少有兩條直線平行時(shí)，不能圍成三角形．①三條直線共點(diǎn)時(shí)，由得(m2≠)，即l2與l3的交點(diǎn)為，代入l1的方程得4×＋7×－4＝0，解得m＝，或m＝2.②當(dāng)l1∥l2時(shí)，4＝7m，∴m＝；當(dāng)l1∥l3時(shí)，4×3m＝7×2，∴m＝；當(dāng)l2∥l3時(shí)，3m2＝2，即m＝±.∴m取集合中的元素時(shí)，三條直線不能構(gòu)成三角形．變式遷移2　解　可以判斷A不在所給的兩條高所在的直線上，則可設(shè)AB，AC邊上的高所在直線的方程分別為2x－3y＋1＝0，x＋y＝0，則可求得AB，AC邊所在直線的方程分別為 y－2＝－(x－1)，y－2＝x－1，即3x＋2y－7＝0，x－y＋1＝0.由，得B(7，－7)，由，得C(－2，－1)，所以BC邊所在直線的方程為2x＋3y＋7＝0.例3　解題導(dǎo)引　已知直線過定點(diǎn)求方程，首先想到的是求斜率或設(shè)方程的斜截式，但不要忘記斜率不存在的直線是否滿足題意．若滿足，可先把它求出，然后再考慮斜率存在的一般情況．圖形中量的最值問題往往可由幾何原理作依據(jù)求得解決．第(3)問是判斷存在性問題，通常的解決方法是先假設(shè)判斷對(duì)象存在，令其滿足應(yīng)符合的條件，若有解，則存在，并求得；若無解，則不存在，判斷無解的過程就是結(jié)論的理由．如法二．解　(1)過P點(diǎn)的直線l與原點(diǎn)距離為2，而P點(diǎn)坐標(biāo)為(2，－1)，可見，過P(2，－1)且垂直于x軸的直線滿足條件．此時(shí)l的斜率不存在，其方程為x＝2.若斜率存在，設(shè)l的方程為y＋1＝k(x－2)，即kx－y－2k－1＝0.由已知，得＝2，解得k＝.此時(shí)l的方程為3x－4y－10＝0.綜上，可得直線l的方程為x＝2或3x－4y－10＝0.(2)作圖可得過P點(diǎn)與原點(diǎn)O距離最大的直線是過P點(diǎn)且與PO垂直的直線，由l⊥OP，得klkOP＝－1，所以kl＝－＝2.由直線方程的點(diǎn)斜式得y＋1＝2(x－2)，即2x－y－5＝0.即直線2x－y－5＝0是過P點(diǎn)且與原點(diǎn)O 距離最大的直線，最大距離為＝.(3)由(2)可知，過P點(diǎn)不存在到原點(diǎn)距離超過的直線，因此不存在過P點(diǎn)且到原點(diǎn)距離為6的直線．變式遷移3　解　方法一　若直線l的斜率不存在，則直線l的方程為x＝3，此時(shí)與l1，l2的交點(diǎn)分別是A(3，－4)，B(3，－9)，截得的線段長(zhǎng)AB＝|－4＋9|＝5，符合題意．當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，則設(shè)直線l的方程為y＝k(x－3)＋1，分別與直線l1，l2的方程聯(lián)立，由　解得A.由解得B.由兩點(diǎn)間的距離公式，得2＋2＝25，解得k＝0，即所求直線方程為y＝1.綜上可知，直線l的方程為x＝3或y＝1.方法二　因?yàn)閮善叫芯€間的距離d＝＝，如圖，直線l被兩平行線截得的線段長(zhǎng)為5，設(shè)直線l與兩平行線的夾角為θ，則sinθ＝，所以θ＝45°.因?yàn)閮善叫芯€的斜率是－1，故所求直線的斜率不存在或?yàn)?.又因?yàn)橹本€l過點(diǎn)P(3,1)，所以直線l的方程為x＝3或y＝1. 課后練習(xí)區(qū)1．2或0　2.－2　3.(1,2)或(2，－1)4．1解析　∵直線x－2y＋5＝0與直線2x＋my－6＝0互相垂直，∴×(－)＝－1，∴m＝1.5．3x－2y＋5＝0解析　當(dāng)l與過兩點(diǎn)的直線垂直時(shí)，(2，－1)與直線l的距離最大，因此所求直線的方程為y－1＝－·(x＋1)，即3x－2y＋5＝0.6．①⑤解析　如圖，由兩平行線間距離可得d＝＝，故m與兩平行線的夾角都是30°，而兩平行線的傾斜角為45°，則m的傾斜角為75°或15°，故①⑤正確．7.　解析　∵d＝，d2＝[(a＋b)2－4ab]＝(1－4c)，又0≤c≤，∴d2∈.∴≤d≤.8．x＋y－13＝0　3x－y－16＝0解析　設(shè)另兩邊方程為：x＋y＋C1＝0和3x－y＋C2＝0. 由得交點(diǎn)A(－，)∵對(duì)角線交點(diǎn)坐標(biāo)為(3,3)．則所求兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo)為(，)，代入方程得C1＝－13，C2＝－16.9．解　(1)設(shè)所求直線為l，由于l過點(diǎn)A且與點(diǎn)P1，P2距離相等，所以有兩種情況，①當(dāng)P1，P2在l同側(cè)時(shí)，有l(wèi)∥P1P2，此時(shí)可求得l的方程為y－2＝(x＋1)，即x＋3y－5＝0；(5分)②當(dāng)P1，P2在l異側(cè)時(shí)，l必過P1P2的中點(diǎn)(－1,4)，此時(shí)l的方程為x＝－1.(7分)∴所求直線的方程為x＋3y－5＝0或x＝－1.(8分)(2)設(shè)點(diǎn)A(x，y)在l1上，由題意知∴點(diǎn)B(6－x，－y)，解方程組(10分)得　∴k＝＝8.∴所求的直線方程為y＝8(x－3)，即8x－y－24＝0.(14分)10．解　設(shè)點(diǎn)A(－1，－4)關(guān)于直線y＋1＝0的對(duì)稱點(diǎn)A′(x1，y1)，則x1＝－1，y1＝2×(－1)－(－4)＝2，即A′(－1,2)在直線BC上．(6分)再設(shè)A(－1，－4)關(guān)于l2：x＋y＋1＝0的對(duì)稱點(diǎn)為A″(x2，y2)，則有：解得：即A″(3,0)也在直線BC上．(12分) 由直線方程的兩點(diǎn)式得：＝.所以x＋2y－3＝0即為△ABC的邊BC所在的直線方程．(14分)11．解　(1)令a＝2，得直線l1：x＝，令a＝0，得直線l2：x－2y＋1＝0.∵l1與l2的交點(diǎn)A(，)，(3分)且當(dāng)x＝，y＝時(shí)，(a－2)y＝(3a－1)x－1對(duì)任意a∈R恒成立．∴直線l：(a－2)y＝(3a－1)x－1恒過定點(diǎn)A.∵點(diǎn)A(，)在第一象限，∴該直線總過第一象限．(7分)(2)設(shè)O為原點(diǎn)，由(1)知直線(a－2)y＝(3a－1)x－1過定點(diǎn)A(，)，且kAO＝＝3.(10分)當(dāng)a＝2時(shí)，直線x＝不過第二象限，(11分)當(dāng)a≠2時(shí)，直線y＝x－要想不過第二象限，需滿足≥kAO，即≥3，解得a>2.綜上可知，當(dāng)a∈[2，＋∞)時(shí)，直線(a－2)y＝(3a－1)x－1不過第二象限．(14分)