高中數(shù)學(xué)不等式證明專題講解例1若，證明（且）．分析1用作差法來證明．需分為和兩種情況，去掉絕對(duì)值符號(hào)，然后比較法證明．解法1（1）當(dāng)時(shí)，因?yàn)椋裕?）當(dāng)時(shí)，因?yàn)樗裕C合（1）（2）知．分析2直接作差，然后用對(duì)數(shù)的性質(zhì)來去絕對(duì)值符號(hào)．解法2作差比較法．因?yàn)?，所以．?設(shè)，求證：證明：∵，∴∴.∴又∵，∴. 例3對(duì)于任意實(shí)數(shù)、，求證（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)）證明：∵（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)）兩邊同加，即：（1）又：∵（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)）兩邊同加∴∴（2）由（1）和（2）可得（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)）．例4已知、、，，求證證明：∵∴∵，同理：，?！嗬狄阎笞C：＞0.證明一：(分析法書寫過程)為了證明＞0只需要證明＞∵∴ ∴＞0∴＞成立∴＞0成立證明二：(綜合法書寫過程)∵∴∴＞＞0∴＞成立∴＞0成立例6若，且，求證：證明：為要證只需證，即證，也就是，即證，即證，∵，∴，故即有，又由可得成立，∴所求不等式成立．例7若，求證．證法一：假設(shè)，則，而，故．∴．從而，∴．∴．∴．這與假設(shè)矛盾，故．證法二：假設(shè)，則，故，即，即，這不可能．從而． 證法三：假設(shè)，則．由，得，故．又，∴．∴，即．這不可能，故．例8設(shè)、為正數(shù)，求證．分析：用綜合法證明比較困難，可試用分析法．證明：要證，只需證，即證，化簡(jiǎn)得，．∵，∴．∴．∴原不等式成立．例9已知，求證．證明：從條件看，可用三角代換，但需要引入半徑參數(shù)．∵，∴可設(shè)，，其中．∴．由，故．而，，故．例10設(shè)是正整數(shù)，求證．分析：要求一個(gè)項(xiàng)分式的范圍，它的和又求不出來，可以采用“化整為零”的方法，觀察每一項(xiàng)的范圍，再求整體的范圍．證明：由，得． 當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，……當(dāng)時(shí)，．∴．例11已知，求證：．證明：欲證，只須證．即要證，即要證．即要證，即要證．即要證，即．即要證　　?。?）∵，∴（*）顯然成立，故例12如果，，，求證：．證明：∵　　　　　． ∴．例13已知，，，求證：在三數(shù)中，不可能都大于．證明：假設(shè)三數(shù)都大于，即，，．又∵，，，∴，，．∴　　?、儆帧?，，．以上三式相加，即得：　?、陲@然①與②相矛盾，假設(shè)不成立，故命題獲證．例14已知、、都是正數(shù)，求證：．證法一：要證，只需證，即，移項(xiàng)，得．由、、為正數(shù)，得．∴原不等式成立．證法二：∵、、為正數(shù)，．即，故．， ．說明：題中給出的，，，，只因?yàn)椤?、都是正?shù)，形式同算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)定理一樣，不加分析就用算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)定理來求證，問題就不好解決了．例15已知，，且．求證：．證明：令，，且，則∵，∴，即成立．例16已知是不等于1的正數(shù)，是正整數(shù)，求證．證明：∵是不等于1的正數(shù)，∴，∴．①又．②將式①，②兩邊分別相乘得，∴．例17已知，，，，且，求證．證明：要證，只需證，只需證．∵，，，∴，，，∴，∴成立．∴． 例18求證．證明：∵，∴．例19在中，角、、的對(duì)邊分別為，，，若，求證．分析：因?yàn)樯婕暗饺切蔚倪吔顷P(guān)系，故可用正弦定理或余弦定理進(jìn)行邊角的轉(zhuǎn)化．證明：∵，∴．由余弦定理得∴，∴=