2020年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、考生號等填寫在答題卡和試卷指定位置上.2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.設集合A={x|1≤x≤3}，B={x|2n>0，則C是橢圓，其焦點在y軸上B.若m=n>0，則C是圓，其半徑為C.若mn<0，則C是雙曲線，其漸近線方程為
D.若m=0，n>0，則C是兩條直線【答案】ACD【解析】【分析】結合選項進行逐項分析求解，時表示橢圓，時表示圓，時表示雙曲線，時表示兩條直線【詳解】對于A，若，則可化為，因為，所以，即曲線表示焦點在軸上的橢圓，故A正確；對于B，若，則可化為，此時曲線表示圓心在原點，半徑為的圓，故B不正確；對于C，若，則可化為，此時曲線表示雙曲線，由可得，故C正確；對于D，若，則可化為，，此時曲線表示平行于軸的兩條直線，故D正確；故選：ACD.【點睛】本題主要考查曲線方程的特征，熟知常見曲線方程之間的區(qū)別是求解的關鍵，側重考查數(shù)學運算的核心素養(yǎng).10.下圖是函數(shù)y=sin(ωx+φ)的部分圖像，則sin(ωx+φ)=（）
A.B.C.D.【答案】BC【解析】分析】首先利用周期確定的值，然后確定的值即可確定函數(shù)的解析式，最后利用誘導公式可得正確結果.【詳解】由函數(shù)圖像可知：，則，所以不選A,當時，，解得：，即函數(shù)的解析式為：.而故選：BC.【點睛】已知f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的部分圖象求其解析式時，A比較容易看圖得出，困難的是求待定系數(shù)ω和φ，常用如下兩種方法：(1)由ω＝即可求出ω；確定φ時，若能求出離原點最近的右側圖象上升(或下降)的“零點”橫坐標x0，則令ωx0＋φ＝0(或ωx0＋φ＝π)，即可求出φ.(2)代入點的坐標，利用一些已知點(最高點、最低點或“零點”)
坐標代入解析式，再結合圖形解出ω和φ，若對A，ω的符號或對φ的范圍有要求，則可用誘導公式變換使其符合要求.11.已知a>0，b>0，且a+b=1，則（）A.B.C.D.【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)，結合基本不等式及二次函數(shù)知識進行求解.【詳解】對于A，，當且僅當時，等號成立，故A正確；對于B，，所以，故B正確；對于C，，當且僅當時，等號成立，故C不正確；對于D，因為，所以，當且僅當時，等號成立，故D正確；故選：ABD【點睛】本題主要考查不等式的性質(zhì)，綜合了基本不等式，指數(shù)函數(shù)及對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，側重考查數(shù)學運算的核心素養(yǎng).12.信息熵是信息論中的一個重要概念.設隨機變量X所有可能的取值為，且，定義X的信息熵.（）A.若n=1，則H(X)=0B.若n=2，則H(X)隨著的增大而增大C.若，則H(X)隨著n的增大而增大
D.若n=2m，隨機變量Y所有可能的取值為，且，則H(X)≤H(Y)【答案】AC【解析】【分析】對于A選項，求得，由此判斷出A選項的正確性；對于B選項，利用特殊值法進行排除；對于C選項，計算出，利用對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可判斷出C選項的正確性；對于D選項，計算出，利用基本不等式和對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)判斷出D選項的正確性.【詳解】對于A選項，若，則，所以，所以A選項正確.對于B選項，若，則，，所以，當時，，當時，，兩者相等，所以B選項錯誤.對于C選項，若，則，則隨著的增大而增大，所以C選項正確.對于D選項，若，隨機變量的所有可能的取值為，且（）.
.由于，所以，所以，所以，所以，所以D選項錯誤.故選：AC【點睛】本小題主要考查對新定義“信息熵”的理解和運用，考查分析、思考和解決問題的能力，涉及對數(shù)運算和對數(shù)函數(shù)及不等式的基本性質(zhì)的運用，屬于難題.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.斜率為的直線過拋物線C：y2=4x的焦點，且與C交于A，B兩點，則=________．【答案】【解析】【分析】先根據(jù)拋物線的方程求得拋物線焦點坐標，利用點斜式得直線方程，與拋物線方程聯(lián)立消去y并整理得到關于x的二次方程，接下來可以利用弦長公式或者利用拋物線定義將焦點弦長轉化求得結果.【詳解】∵拋物線的方程為，∴拋物線的焦點F坐標為，又∵直線AB過焦點F且斜率為，∴直線AB的方程為：代入拋物線方程消去y并化簡得，
解法一：解得所以解法二：設，則,過分別作準線的垂線，設垂足分別為如圖所示.故答案為：【點睛】本題考查拋物線焦點弦長，涉及利用拋物線的定義進行轉化，弦長公式，屬基礎題.14.將數(shù)列{2n–1}與{3n–2}的公共項從小到大排列得到數(shù)列{an}，則{an}的前n項和為________．【答案】【解析】【分析】首先判斷出數(shù)列與項的特征，從而判斷出兩個數(shù)列公共項所構成新數(shù)列的首項以及公差，利用等差數(shù)列的求和公式求得結果.【詳解】因為數(shù)列是以1為首項，以2為公差的等差數(shù)列，數(shù)列是以1首項，以3為公差的等差數(shù)列，所以這兩個數(shù)列的公共項所構成的新數(shù)列是以1為首項，以6為公差的等差數(shù)列，
所以的前項和為，故答案為：.【點睛】該題考查的是有關數(shù)列的問題，涉及到的知識點有兩個等差數(shù)列的公共項構成新數(shù)列的特征，等差數(shù)列求和公式，屬于簡單題目.15.某中學開展勞動實習，學生加工制作零件，零件的截面如圖所示．O為圓孔及輪廓圓弧AB所在圓的圓心，A是圓弧AB與直線AG的切點，B是圓弧AB與直線BC的切點，四邊形DEFG為矩形，BC⊥DG，垂足為C，tan∠ODC=，，EF=12cm，DE=2cm，A到直線DE和EF的距離均為7cm，圓孔半徑為1cm，則圖中陰影部分的面積為________cm2．【答案】【解析】【分析】利用求出圓弧所在圓的半徑，結合扇形的面積公式求出扇形的面積，求出直角的面積，陰影部分的面積可通過兩者的面積之和減去半個單位圓的面積求得.【詳解】設，由題意，，所以，因為,所以，因為，所以，因為與圓弧相切于點，所以，即為等腰直角三角形；在直角中，，，
因為，所以，解得；等腰直角的面積為；扇形的面積，所以陰影部分的面積為.故答案為：.【點睛】本題主要考查三角函數(shù)在實際中應用，把陰影部分合理分割是求解的關鍵，以勞動實習為背景，體現(xiàn)了五育并舉的育人方針.16.已知直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的棱長均為2，∠BAD=60°．以為球心，為半徑的球面與側面BCC1B1的交線長為________．【答案】.【解析】【分析】根據(jù)已知條件易得，側面，可得側面與球面的交線上的點到的距離為，可得側面與球面的交線是扇形的弧
，再根據(jù)弧長公式可求得結果.【詳解】如圖：取的中點為，的中點為，的中點為，因為60°，直四棱柱的棱長均為2，所以△為等邊三角形，所以，，又四棱柱為直四棱柱，所以平面，所以，因為，所以側面，設為側面與球面的交線上的點，則，因為球的半徑為，，所以，所以側面與球面的交線上的點到的距離為，因為，所以側面與球面的交線是扇形的弧，因為，所以，所以根據(jù)弧長公式可得.故答案為：.【點睛】本題考查了直棱柱的結構特征，考查了直線與平面垂直的判定，考查了立體幾何中的軌跡問題，考查了扇形中的弧長公式，屬于中檔題.四、解答題：本題共6小題，共70
分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.在①，②，③這三個條件中任選一個，補充在下面問題中，若問題中的三角形存在，求的值；若問題中的三角形不存在，說明理由．問題：是否存在，它的內(nèi)角的對邊分別為，且，，________?注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分．【答案】詳見解析【解析】【分析】解法一：由題意結合所給的條件，利用正弦定理角化邊，得到a,b的比例關系，根據(jù)比例關系，設出長度長度，由余弦定理得到的長度，根據(jù)選擇的條件進行分析判斷和求解.解法二：利用誘導公式和兩角和的三角函數(shù)公式求得的值，得到角的值，然后根據(jù)選擇的條件進行分析判斷和求解.【詳解】解法一：由可得：，不妨設，則：，即.選擇條件①的解析：據(jù)此可得：，，此時.選擇條件②的解析：據(jù)此可得：，則：，此時：，則：.選擇條件③的解析：可得，，
與條件矛盾，則問題中的三角形不存在.解法二：∵,∴,，∴,∴,∴,∴,若選①，,∵,∴,∴c=1;若選②，,則,;若選③,與條件矛盾.【點睛】在處理三角形中的邊角關系時，一般全部化為角的關系，或全部化為邊的關系．題中若出現(xiàn)邊的一次式一般采用到正弦定理，出現(xiàn)邊的二次式一般采用到余弦定理．應用正、余弦定理時，注意公式變式的應用．解決三角形問題時，注意角的限制范圍．18.已知公比大于的等比數(shù)列滿足．（1）求的通項公式；（2）記為在區(qū)間中的項的個數(shù)，求數(shù)列的前項和．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用基本元的思想，將已知條件轉化為的形式，求解出，由此求得數(shù)列的通項公式.（2）通過分析數(shù)列的規(guī)律，由此求得數(shù)列的前項和.【詳解】（1）由于數(shù)列是公比大于的等比數(shù)列，設首項為，公比為，依題意有，解得解得，或(舍)，
所以，所以數(shù)列的通項公式為.（2）由于，所以對應的區(qū)間為：，則；對應的區(qū)間分別為：，則，即有個；對應的區(qū)間分別為：，則，即有個；對應的區(qū)間分別為：，則，即有個；對應的區(qū)間分別為：，則，即有個；對應的區(qū)間分別為：，則，即有個；對應的區(qū)間分別為：，則，即有個.所以.【點睛】本小題主要考查等比數(shù)列基本量的計算，考查分析思考與解決問的能力，屬于中檔題.19.為加強環(huán)境保護，治理空氣污染，環(huán)境監(jiān)測部門對某市空氣質(zhì)量進行調(diào)研，隨機抽查了天空氣中的和濃度（單位：），得下表：321846812
3710（1）估計事件“該市一天空氣中濃度不超過，且濃度不超過”的概率；（2）根據(jù)所給數(shù)據(jù)，完成下面的列聯(lián)表：（3）根據(jù)（2）中的列聯(lián)表，判斷是否有的把握認為該市一天空氣中濃度與濃度有關？附：，0.0500.0100.0013.8416.63510.828【答案】（1）；（2）答案見解析；（3）有【解析】【分析】（1）根據(jù)表格中數(shù)據(jù)以及古典概型的概率公式可求得結果；（2）根據(jù)表格中數(shù)據(jù)可得列聯(lián)表；（3）計算出，結合臨界值表可得結論.【詳解】（1）由表格可知，該市100天中，空氣中的濃度不超過75，且濃度不超過150的天數(shù)有天，
所以該市一天中，空氣中濃度不超過75，且濃度不超過150的概率為；（2）由所給數(shù)據(jù)，可得列聯(lián)表為：合計641680101020合計7426100（3）根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)可得，因為根據(jù)臨界值表可知，有的把握認為該市一天空氣中濃度與濃度有關.【點睛】本題考查了古典概型的概率公式，考查了完善列聯(lián)表，考查了獨立性檢驗，屬于中檔題.20.如圖，四棱錐P-ABCD的底面為正方形，PD⊥底面ABCD．設平面PAD與平面PBC的交線為l．（1）證明：l⊥平面PDC；（2）已知PD=AD=1，Q為l上的點，求PB與平面QCD所成角的正弦值的最大值．【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】
【分析】（1）利用線面垂直的判定定理證得平面，利用線面平行的判定定理以及性質(zhì)定理，證得，從而得到平面；（2）根據(jù)題意，建立相應的空間直角坐標系，得到相應點的坐標，設出點，之后求得平面的法向量以及向量的坐標，求得的最大值，即為直線與平面所成角的正弦值的最大值.【詳解】（1）證明：在正方形中，，因平面，平面，所以平面，又因為平面，平面平面，所以，因為在四棱錐中，底面是正方形，所以且平面，所以因為所以平面；（2）如圖建立空間直角坐標系，因為，則有，設，則有，
設平面的法向量為，則，即，令，則，所以平面的一個法向量為，則根據(jù)直線的方向向量與平面法向量所成角的余弦值的絕對值即為直線與平面所成角的正弦值，所以直線與平面所成角的正弦值等于，當且僅當時取等號，所以直線與平面所成角的正弦值的最大值為.【點睛】該題考查的是有關立體幾何的問題，涉及到的知識點有線面平行的判定和性質(zhì)，線面垂直的判定和性質(zhì)，利用空間向量求線面角，利用基本不等式求最值，屬于中檔題目.21.已知函數(shù)．（1）當時，求曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線與兩坐標軸圍成的三角形的面積；（2）若f（x）≥1，求a的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先求導數(shù)，再根據(jù)導數(shù)幾何意義得切線斜率，根據(jù)點斜式得切線方程，求出與坐標軸交點坐標，最后根據(jù)三角形面積公式得結果；（2）解法一：利用導數(shù)研究，得到函數(shù)得導函數(shù)的單調(diào)遞增，當a=1時由得,符合題意；當a>1時，可證，從而存在零點，使得，得到
，利用零點的條件，結合指數(shù)對數(shù)的運算化簡后，利用基本不等式可以證得恒成立；當時，研究.即可得到不符合題意.綜合可得a的取值范圍.解法二：利用指數(shù)對數(shù)的運算可將,令,上述不等式等價于,注意到的單調(diào)性，進一步等價轉化為，令,利用導數(shù)求得，進而根據(jù)不等式恒成立的意義得到關于a的對數(shù)不等式，解得a的取值范圍.【詳解】（1），，.，∴切點坐標為(1,1+e),∴函數(shù)f(x)在點(1,f(1)處的切線方程為,即,切線與坐標軸交點坐標分別為,∴所求三角形面積為;（2）解法一：,，且.設,則∴g(x)在上單調(diào)遞增，即在上單調(diào)遞增，當時，,∴,∴成立.當時，，，,∴存在唯一，使得，且當時，當時，，，因此
>1,∴∴恒成立；當時，∴不是恒成立.綜上所述，實數(shù)a的取值范圍是[1,+∞).解法二：等價于,令,上述不等式等價于,顯然為單調(diào)增函數(shù)，∴又等價于，即，令,則在上h’(x)>0,h(x)單調(diào)遞增；在(1,+∞)上h’(x)<0,h(x)單調(diào)遞減，∴,，∴a的取值范圍是[1,+∞).【點睛】本題考查導數(shù)幾何意義、利用導數(shù)研究不等式恒成立問題，考查綜合分析求解能力，分類討論思想和等價轉化思想，屬較難試題.22.已知橢圓C：的離心率為，且過點A（2，1）．（1）求C的方程：（2）點M，N在C上，且AM⊥AN，AD⊥MN，D為垂足．證明：存在定點Q，使得|DQ|為定值．【答案】（1）；（2）詳見解析.【解析】【分析】(1)由題意得到關于a,b,c的方程組，求解方程組即可確定橢圓方程.(2)設出點M，N的坐標，在斜率存在時設方程為,
聯(lián)立直線方程與橢圓方程，根據(jù)已知條件，已得到m,k的關系，進而得直線MN恒過定點，在直線斜率不存在時要單獨驗證，然后結合直角三角形的性質(zhì)即可確定滿足題意的點Q的位置.【詳解】(1)由題意可得：，解得：，故橢圓方程為：.(2)設點.因為AM⊥AN，∴，即,①當直線MN的斜率存在時，設方程為,如圖1.代入橢圓方程消去并整理得：,②,根據(jù),代入①整理可得：將②代入，，整理化簡得,∵不在直線上，∴，∴，于是MN的方程為，所以直線過定點直線過定點.當直線MN的斜率不存在時，可得,如圖2.
代入得,結合,解得,此時直線MN過點,由于AE為定值，且△ADE為直角三角形，AE為斜邊，所以AE中點Q滿足為定值（AE長度的一半）.由于，故由中點坐標公式可得.故存在點，使得|DQ|為定值.【點睛】本題考查橢圓的標準方程和性質(zhì)，圓錐曲線中的定點定值問題，關鍵是第二問中證明直線MN經(jīng)過定點，并求得定點的坐標,屬綜合題，難度較大.
