絕密★啟用前2020年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試（天津卷）數(shù)學(xué)本試卷分為第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，共150分，考試用時(shí)120分鐘．第Ⅰ卷1至3頁(yè)，第Ⅱ卷4至6頁(yè)．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)、考場(chǎng)號(hào)和座位號(hào)填寫在答題卡上，并在規(guī)定位置粘貼考試用條形碼。答卷時(shí)，考生務(wù)必將答案涂寫在答題卡上，答在試卷上的無效。考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。祝各位考生考試順利！第I卷注意事項(xiàng)：1．每小題選出答案后，用鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑．如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)．2．本卷共9小題，每小題5分，共45分．參考公式：·如果事件與事件互斥，那么．·如果事件與事件相互獨(dú)立，那么．·球的表面積公式，其中表示球的半徑．一、選擇題：在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．設(shè)全集，集合，則（）A．B．C．D．2．設(shè)，則“”是“”的（）A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件3．函數(shù)的圖象大致為（） A．B．C．D．4．從一批零件中抽取80個(gè)，測(cè)量其直徑（單位：），將所得數(shù)據(jù)分為9組：，并整理得到如下頻率分布直方圖，則在被抽取的零件中，直徑落在區(qū)間內(nèi)的個(gè)數(shù)為（）A．10B．18C．20D．365．若棱長(zhǎng)為的正方體的頂點(diǎn)都在同一球面上，則該球的表面積為（）A．B．C．D．6．設(shè)，則的大小關(guān)系為（）A．B．C．D．7．設(shè)雙曲線的方程為，過拋物線的焦點(diǎn)和點(diǎn)的直線為．若的一條漸近線與平行，另一條漸近線與垂直，則雙曲線的方程為（） A．B．C．D．8．已知函數(shù)．給出下列結(jié)論：①的最小正周期為；②是的最大值；③把函數(shù)的圖象上所有點(diǎn)向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，可得到函數(shù)的圖象．其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是A．①B．①③C．②③D．①②③9．已知函數(shù)若函數(shù)恰有4個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是（）A．B．C．D． 絕密★啟用前2020年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試（天津卷）數(shù)學(xué)第Ⅱ卷注意事項(xiàng)：1．用黑色墨水的鋼筆或簽字筆將答案寫在答題卡上．2．本卷共11小題，共105分．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分．試題中包含兩個(gè)空的，答對(duì)1個(gè)的給3分，全部答對(duì)的給5分．10．是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)_________．11．在的展開式中，的系數(shù)是_________．12．已知直線和圓相交于兩點(diǎn)．若，則的值為_________．13．已知甲、乙兩球落入盒子的概率分別為和．假定兩球是否落入盒子互不影響，則甲、乙兩球都落入盒子的概率為_________；甲、乙兩球至少有一個(gè)落入盒子的概率為_________．14．已知，且，則的最小值為_________．15．如圖，在四邊形中，，，且，則實(shí)數(shù)的值為_________，若是線段上的動(dòng)點(diǎn)，且，則的最小值為_________．三、解答題：本大題共5小題，共75分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．16．（本小題滿分14分）在中，角所對(duì)的邊分別為．已知． （Ⅰ）求角的大??；（Ⅱ）求的值；（Ⅲ）求的值．17．（本小題滿分15分）如圖，在三棱柱中，平面，，點(diǎn)分別在棱和棱上，且為棱的中點(diǎn)．（Ⅰ）求證：；（Ⅱ）求二面角的正弦值；（Ⅲ）求直線與平面所成角的正弦值．18．（本小題滿分15分）已知橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)為，右焦點(diǎn)為，且，其中為原點(diǎn)．（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）已知點(diǎn)滿足，點(diǎn)在橢圓上（異于橢圓的頂點(diǎn)），直線與以為圓心的圓相切于點(diǎn)，且為線段的中點(diǎn)．求直線的方程．19．（本小題滿分15分）已知為等差數(shù)列，為等比數(shù)列，．（Ⅰ）求和的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）記的前項(xiàng)和為，求證：； （Ⅲ）對(duì)任意的正整數(shù)，設(shè)求數(shù)列的前項(xiàng)和．20．（本小題滿分16分）已知函數(shù)，為的導(dǎo)函數(shù)．（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，（i）求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（ii）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值；（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，求證：對(duì)任意的，且，有．絕密★啟用前2020年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試（天津卷）數(shù)學(xué)參考解答一、選擇題：每小題5分，滿分45分．1．C2．A3．A4．B5．C6．D7．D8．B9．D二、填空題：每小題5分，滿分30分．試題中包含兩個(gè)空的，答對(duì)1個(gè)的給3分，全部答對(duì)的給5分．10．11．1012．513．；14．415．；三、解答題16．滿分14分．（Ⅰ）解：在中，由余弦定理及，有．又因?yàn)?，所以．（Ⅱ）解：在中，由正弦定理及，可得．（Ⅲ）解；由及，可得，進(jìn)而 ．所以，．17．滿分15分．依題意，以為原點(diǎn)，分別以的方向?yàn)檩S，軸，軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系（如圖），可得，，．（Ⅰ）證明：依題意，，，從而，所以．（Ⅱ）解：依題意，是平面的一個(gè)法向量，，．設(shè)為平面的法向量，則即不妨設(shè)，可得．因此有，于是．所以，二面角的正弦值為．（Ⅲ）解：依題意，．由（Ⅱ）知為平面的一個(gè)法向量，于是 ．所以，直線與平面所成角的正弦值為．18．滿分15分．（Ⅰ）解：由已知可得．記半焦距為，由可得．又由，可得．所以，橢圓的方程為．（Ⅱ）解：因?yàn)橹本€與以為圓心的圓相切于點(diǎn)，所以．依題意，直線和直線的斜率均存在．設(shè)直線的方程為．由方程組消去，可得，解得，或．依題意，可得點(diǎn)的坐標(biāo)．因?yàn)闉榫€段的中點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為．由，得點(diǎn)的坐標(biāo)為，故直線的斜率為，即．又因?yàn)?，所以，整理得，解得，或．所以，直線的方程為，或．19．滿分15分．（Ⅰ）解：設(shè)等差數(shù)列的公差為，等比數(shù)列的公比為．由，，可得，從而的通項(xiàng)公式為．由，又，可得，解得，從而的通項(xiàng)公式為．（Ⅱ）證明：由（Ⅰ）可得，故，，從而，所以． （Ⅲ）解：當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，；當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，．對(duì)任意的正整數(shù)，有，和．①由①得．②由①②得，從而得．因此，．所以，數(shù)列的前項(xiàng)和為．20．滿分16分．（Ⅰ）（i）解：當(dāng)時(shí)，，故．可得，，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即．（ii）解：依題意，．從而可得，整理可得．令，解得．當(dāng)變化時(shí)，的變化情況如下表： 1-0+↘極小值↗所以，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為；的極小值為，無極大值．（Ⅱ）證明：由，得．對(duì)任意的，且，令，則．①令．當(dāng)時(shí)，，由此可得在單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，，即．因?yàn)?，，所以，．②由（Ⅰ）（ii）可知，當(dāng)時(shí)，，即，故．③由①②③可得．所以，當(dāng)時(shí)，對(duì)任意的 ，且，有．