2020年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試(江蘇卷)數(shù)學(xué)Ⅰ一、填空題:本大題共14小題,每小題5分,共計(jì)70分.請(qǐng)把答案填寫在答題卡相應(yīng)位置上.1.已知集合,則_____.【答案】【解析】【分析】根據(jù)集合交集即可計(jì)算.【詳解】∵,∴故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查了交集及其運(yùn)算,是基礎(chǔ)題型.2.已知是虛數(shù)單位,則復(fù)數(shù)的實(shí)部是_____.【答案】3【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則,化簡(jiǎn)即可求得實(shí)部的值.【詳解】∵復(fù)數(shù)∴∴復(fù)數(shù)的實(shí)部為3.故答案為:3.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的基本概念,是基礎(chǔ)題.3.已知一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為4,則的值是_____.【答案】2【解析】【分析】
根據(jù)平均數(shù)的公式進(jìn)行求解即可.【詳解】∵數(shù)據(jù)的平均數(shù)為4∴,即.故答案為:2.【點(diǎn)睛】本題主要考查平均數(shù)的計(jì)算和應(yīng)用,比較基礎(chǔ).4.將一顆質(zhì)地均勻的正方體骰子先后拋擲2次,觀察向上的點(diǎn)數(shù),則點(diǎn)數(shù)和為5的概率是_____.【答案】【解析】【分析】分別求出基本事件總數(shù),點(diǎn)數(shù)和為5的種數(shù),再根據(jù)概率公式解答即可.【詳解】根據(jù)題意可得基本事件數(shù)總為個(gè).點(diǎn)數(shù)和為5的基本事件有,,,共4個(gè).∴出現(xiàn)向上的點(diǎn)數(shù)和為5的概率為.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查概率的求法,考查古典概型、列舉法等基礎(chǔ)知識(shí),考查運(yùn)算求解能力,是基礎(chǔ)題.5.如圖是一個(gè)算法流程圖,若輸出的值為,則輸入的值是_____.【答案】【解析】【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì),判斷出,由此求得的值.
【詳解】由于,所以,解得.故答案為:【點(diǎn)睛】本小題主要考查根據(jù)程序框圖輸出結(jié)果求輸入值,考查指數(shù)函數(shù)的性質(zhì),屬于基礎(chǔ)題.6.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,若雙曲線﹣=1(a>0)的一條漸近線方程為y=x,則該雙曲線的離心率是____.【答案】【解析】【分析】根據(jù)漸近線方程求得,由此求得,進(jìn)而求得雙曲線的離心率.【詳解】雙曲線,故.由于雙曲線的一條漸近線方程為,即,所以,所以雙曲線的離心率為.故答案為:【點(diǎn)睛】本小題主要考查雙曲線的漸近線,考查雙曲線離心率的求法,屬于基礎(chǔ)題.7.已知y=f(x)是奇函數(shù),當(dāng)x≥0時(shí),,則f(-8)的值是____.【答案】【解析】【分析】先求,再根據(jù)奇函數(shù)求【詳解】,因?yàn)闉槠婧瘮?shù),所以故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)奇函數(shù)性質(zhì)求函數(shù)值,考查基本分析求解能力,屬基礎(chǔ)題.8.已知=,則的值是____.【答案】
【解析】【分析】直接按照兩角和正弦公式展開,再平方即得結(jié)果.【詳解】故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查兩角和正弦公式、二倍角正弦公式,考查基本分析求解能力,屬基礎(chǔ)題.9.如圖,六角螺帽毛坯是由一個(gè)正六棱柱挖去一個(gè)圓柱所構(gòu)成的.已知螺帽的底面正六邊形邊長(zhǎng)為2cm,高為2cm,內(nèi)孔半輕為0.5cm,則此六角螺帽毛坯的體積是____cm.【答案】【解析】【分析】先求正六棱柱體積,再求圓柱體積,相減得結(jié)果.【詳解】正六棱柱體積為圓柱體積為所求幾何體體積為故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查正六棱柱體積、圓柱體積,考查基本分析求解能力,屬基礎(chǔ)題.10.將函數(shù)y=的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度,則平移后的圖象中與y軸最近的對(duì)稱軸的方程是____.
【答案】【解析】【分析】先根據(jù)圖象變換得解析式,再求對(duì)稱軸方程,最后確定結(jié)果.【詳解】當(dāng)時(shí)故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)圖象變換、正弦函數(shù)對(duì)稱軸,考查基本分析求解能力,屬基礎(chǔ)題.11.設(shè){an}是公差為d的等差數(shù)列,{bn}是公比為q的等比數(shù)列.已知數(shù)列{an+bn}的前n項(xiàng)和,則d+q的值是_______.【答案】【解析】【分析】結(jié)合等差數(shù)列和等比數(shù)列前項(xiàng)和公式的特點(diǎn),分別求得的公差和公比,由此求得.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為,等比數(shù)列的公比為,根據(jù)題意.等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式為,等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式為,依題意,即,
通過(guò)對(duì)比系數(shù)可知,故.故答案為:【點(diǎn)睛】本小題主要考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式,屬于中檔題.12.已知,則的最小值是_______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)題設(shè)條件可得,可得,利用基本不等式即可求解.【詳解】∵∴且∴,當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí)取等號(hào).∴的最小值為.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查了基本不等式在求最值中的應(yīng)用.利用基本不等式求最值時(shí),一定要正確理解和掌握“一正,二定,三相等”的內(nèi)涵:一正是,首先要判斷參數(shù)是否為正;二定是,其次要看和或積是否為定值(和定積最大,積定和最?。蝗嗟仁?,最后一定要驗(yàn)證等號(hào)能否成立(主要注意兩點(diǎn),一是相等時(shí)參數(shù)否在定義域內(nèi),二是多次用或時(shí)等號(hào)能否同時(shí)成立).13.在△ABC中,D在邊BC上,延長(zhǎng)AD到P,使得AP=9,若(m為常數(shù)),則CD的長(zhǎng)度是________.
【答案】【解析】【分析】根據(jù)題設(shè)條件可設(shè),結(jié)合與三點(diǎn)共線,可求得,再根據(jù)勾股定理求出,然后根據(jù)余弦定理即可求解.【詳解】∵三點(diǎn)共線,∴可設(shè),∵,∴,即,若且,則三點(diǎn)共線,∴,即,∵,∴,∵,,,∴,設(shè),,則,.∴根據(jù)余弦定理可得,,∵,∴,解得,∴的長(zhǎng)度為.
當(dāng)時(shí),,重合,此時(shí)的長(zhǎng)度為,當(dāng)時(shí),,重合,此時(shí),不合題意,舍去.故答案為:0或.【點(diǎn)睛】本題考查了平面向量知識(shí)的應(yīng)用、余弦定理的應(yīng)用以及求解運(yùn)算能力,解答本題的關(guān)鍵是設(shè)出.14.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知,A,B是圓C:上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),滿足,則△PAB面積的最大值是__________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)條件得,再用圓心到直線距離表示三角形PAB面積,最后利用導(dǎo)數(shù)求最大值.【詳解】設(shè)圓心到直線距離為,則所以令(負(fù)值舍去)當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),,因此當(dāng)時(shí),取最大值,即取最大值為,故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查垂徑定理、利用導(dǎo)數(shù)求最值,考查綜合分析求解能力,屬中檔題.二、解答題:本大題共6小題,共計(jì)90分,請(qǐng)?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答,解答時(shí)應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15.在三棱柱ABC-A1B1C1中,AB⊥AC,B1C⊥平面ABC,E,F(xiàn)分別是AC,B1C的中點(diǎn).
(1)求證:EF∥平面AB1C1;(2)求證:平面AB1C⊥平面ABB1.【答案】(1)證明詳見解析;(2)證明詳見解析.【解析】【分析】(1)通過(guò)證明,來(lái)證得平面.(2)通過(guò)證明平面,來(lái)證得平面平面.【詳解】(1)由于分別是的中點(diǎn),所以.由于平面,平面,所以平面.(2)由于平面,平面,所以.由于,所以平面,由于平面,所以平面平面.【點(diǎn)睛】本小題主要考查線面平行的證明,考查面面垂直的證明,屬于中檔題.
16.在△ABC中,角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知.(1)求的值;(2)在邊BC上取一點(diǎn)D,使得,求的值.【答案】(1);(2).【解析】【分析】(1)利用余弦定理求得,利用正弦定理求得.(2)根據(jù)的值,求得的值,由(1)求得的值,從而求得的值,進(jìn)而求得的值.【詳解】(1)由余弦定理得,所以.由正弦定理得.(2)由于,,所以.由于,所以,所以所以.
由于,所以.所以.【點(diǎn)睛】本小題主要考查正弦定理、余弦定理解三角形,考查三角恒等變換,屬于中檔題.17.某地準(zhǔn)備在山谷中建一座橋梁,橋址位置的豎直截面圖如圖所示:谷底O在水平線MN上、橋AB與MN平行,為鉛垂線(在AB上).經(jīng)測(cè)量,左側(cè)曲線AO上任一點(diǎn)D到MN的距離(米)與D到的距離a(米)之間滿足關(guān)系式;右側(cè)曲線BO上任一點(diǎn)F到MN的距離(米)與F到的距離b(米)之間滿足關(guān)系式.已知點(diǎn)B到的距離為40米.(1)求橋AB的長(zhǎng)度;(2)計(jì)劃在谷底兩側(cè)建造平行于的橋墩CD和EF,且CE為80米,其中C,E在AB上(不包括端點(diǎn)).橋墩EF每米造價(jià)k(萬(wàn)元)、橋墩CD每米造價(jià)(萬(wàn)元)(k>0).問為多少米時(shí),橋墩CD與EF的總造價(jià)最低?【答案】(1)120米(2)米【解析】【分析】(1)根據(jù)A,B高度一致列方程求得結(jié)果;(2)根據(jù)題意列總造價(jià)的函數(shù)關(guān)系式,利用導(dǎo)數(shù)求最值,即得結(jié)果.
【詳解】(1)由題意得米(2)設(shè)總造價(jià)為萬(wàn)元,,設(shè),(0舍去)當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),,因此當(dāng)時(shí),取最小值,答:當(dāng)米時(shí),橋墩CD與EF的總造價(jià)最低.【點(diǎn)睛】本題考查實(shí)際成本問題、利用導(dǎo)數(shù)求最值,考查基本分析求解能力,屬中檔題.18.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F(xiàn)2,點(diǎn)A在橢圓E上且在第一象限內(nèi),AF2⊥F1F2,直線AF1與橢圓E相交于另一點(diǎn)B.(1)求△AF1F2的周長(zhǎng);(2)在x軸上任取一點(diǎn)P,直線AP與橢圓E的右準(zhǔn)線相交于點(diǎn)Q,求的最小值;(3)設(shè)點(diǎn)M在橢圓E上,記△OAB與△MAB的面積分別為S1,S2,若S2=3S1,求點(diǎn)M的坐標(biāo).【答案】(1)6;(2)-4;(3)或.【解析】【分析】(1)根據(jù)橢圓定義可得,從而可求出的周長(zhǎng);
(2)設(shè),根據(jù)點(diǎn)在橢圓上,且在第一象限,,求出,根據(jù)準(zhǔn)線方程得點(diǎn)坐標(biāo),再根據(jù)向量坐標(biāo)公式,結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)即可出最小值;(3)設(shè)出設(shè),點(diǎn)到直線的距離為,由點(diǎn)到直線的距離與,可推出,根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式,以及滿足橢圓方程,解方程組即可求得坐標(biāo).【詳解】(1)∵橢圓的方程為∴,由橢圓定義可得:.∴的周長(zhǎng)為(2)設(shè),根據(jù)題意可得.∵點(diǎn)在橢圓上,且在第一象限,∴∵準(zhǔn)線方程為∴∴,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).∴的最小值為.(3)設(shè),點(diǎn)到直線的距離為.∵,∴直線的方程為∵點(diǎn)到直線的距離為,
∴∴∴①∵②∴聯(lián)立①②解得,.∴或.【點(diǎn)睛】本題考查了橢圓的定義,直線與橢圓相交問題、點(diǎn)到直線距離公式的運(yùn)用,熟悉運(yùn)用公式以及根據(jù)推出是解答本題的關(guān)鍵.19.已知關(guān)于x的函數(shù)與在區(qū)間D上恒有.(1)若,求h(x)的表達(dá)式;(2)若,求k的取值范圍;(3)若求證:.【答案】(1);(2);(3)證明詳見解析【解析】【分析】(1)求得與的公共點(diǎn),并求得過(guò)該點(diǎn)的公切線方程,由此求得的表達(dá)式.
(2)先由,求得的一個(gè)取值范圍,再由,求得的另一個(gè)取值范圍,從而求得的取值范圍.(3)先由,求得的取值范圍,由方程的兩個(gè)根,求得的表達(dá)式,利用導(dǎo)數(shù)證得不等式成立.【詳解】(1)由題設(shè)有對(duì)任意的恒成立.令,則,所以.因此即對(duì)任意的恒成立,所以,因此.故.(2)令,.又.若,則在上遞增,在上遞減,則,即,不符合題意.當(dāng)時(shí),,符合題意.當(dāng)時(shí),在上遞減,在上遞增,則,即,符合題意.綜上所述,.由當(dāng),即時(shí),在為增函數(shù),因?yàn)?,故存在,使,不符合題意.當(dāng),即時(shí),,符合題意.當(dāng),即時(shí),則需,解得.
綜上所述,的取值范圍是.(3)因?yàn)閷?duì)任意恒成立,對(duì)任意恒成立,等價(jià)于對(duì)任意恒成立.故對(duì)任意恒成立令,當(dāng),,此時(shí),當(dāng),,但對(duì)任意的恒成立.等價(jià)于對(duì)任意的恒成立.的兩根為,則,所以.令,則.構(gòu)造函數(shù),,所以時(shí),,遞減,.所以,即.【點(diǎn)睛】本小題主要考查利用的導(dǎo)數(shù)求切線方程,考查利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立問題,考查利用導(dǎo)數(shù)證明不等式,考查分類討論的數(shù)學(xué)思想方法,屬于難題.20.已知數(shù)列的首項(xiàng)a1=1,前n項(xiàng)和為Sn.設(shè)λ與k是常數(shù),若對(duì)一切正整數(shù)n,均有成立,則稱此數(shù)列為“λ–k”數(shù)列.
(1)若等差數(shù)列是“λ–1”數(shù)列,求λ的值;(2)若數(shù)列是“”數(shù)列,且an>0,求數(shù)列的通項(xiàng)公式;(3)對(duì)于給定的λ,是否存在三個(gè)不同的數(shù)列為“λ–3”數(shù)列,且an≥0?若存在,求λ的取值范圍;若不存在,說(shuō)明理由,【答案】(1)1(2)(3)【解析】【分析】(1)根據(jù)定義得,再根據(jù)和項(xiàng)與通項(xiàng)關(guān)系化簡(jiǎn)得,最后根據(jù)數(shù)列不為零數(shù)列得結(jié)果;(2)根據(jù)定義得,根據(jù)平方差公式化簡(jiǎn)得,求得,即得;(3)根據(jù)定義得,利用立方差公式化簡(jiǎn)得兩個(gè)方程,再根據(jù)方程解的個(gè)數(shù)確定參數(shù)滿足的條件,解得結(jié)果【詳解】(1)(2),
(3)假設(shè)存在三個(gè)不同的數(shù)列為數(shù)列.或或∵對(duì)于給定的,存在三個(gè)不同的數(shù)列為數(shù)列,且或有兩個(gè)不等的正根.可轉(zhuǎn)化為,不妨設(shè),則有兩個(gè)不等正根,設(shè).①當(dāng)時(shí),,即,此時(shí),,滿足題意.②當(dāng)時(shí),,即,此時(shí),,此情況有兩個(gè)不等負(fù)根,不滿足題意舍去.綜上,【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列新定義、由和項(xiàng)求通項(xiàng)、一元二次方程實(shí)根分步,考查綜合分析求解能力,屬難題.
數(shù)學(xué)Ⅱ(附加題)【選做題】本題包括A、B、C三小題,請(qǐng)選定其中兩小題,并在相應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)作答.若多做,則按作答的前兩小題評(píng)分.解答時(shí)應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.A.[選修4-2:矩陣與變換]21.平面上點(diǎn)在矩陣對(duì)應(yīng)的變換作用下得到點(diǎn).(1)求實(shí)數(shù),的值;(2)求矩陣的逆矩陣.【答案】(1);(2).【解析】【分析】(1)根據(jù)變換寫出具體的矩陣關(guān)系式,然后進(jìn)行矩陣的計(jì)算可得出實(shí)數(shù)的值;(2)設(shè)出逆矩陣,由定義得到方程,即可求解.【詳解】(1)∵平面上點(diǎn)在矩陣對(duì)應(yīng)的變換作用下得到點(diǎn)∴∴,解得(2)設(shè),則
∴,解得∴【點(diǎn)睛】本題考查矩陣變換的應(yīng)用,考查逆矩陣的求法,解題時(shí)要認(rèn)真審題,屬于基礎(chǔ)題.B.[選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程]22.在極坐標(biāo)系中,已知點(diǎn)在直線上,點(diǎn)在圓上(其中,).(1)求,的值(2)求出直線與圓的公共點(diǎn)的極坐標(biāo).【答案】(1)(2)【解析】【分析】(1)將A,B點(diǎn)坐標(biāo)代入即得結(jié)果;(2)聯(lián)立直線與圓極坐標(biāo)方程,解得結(jié)果.【詳解】(1)以極點(diǎn)為原點(diǎn),極軸為軸的正半軸,建立平面直角坐標(biāo)系,,因?yàn)辄c(diǎn)為直線上,故其直角坐標(biāo)方程為,又對(duì)應(yīng)的圓的直角坐標(biāo)方程為:,由解得或,
對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為,故對(duì)應(yīng)的極徑為或.(2),,當(dāng)時(shí);當(dāng)時(shí),舍;即所求交點(diǎn)坐標(biāo)為當(dāng)【點(diǎn)睛】本題考查極坐標(biāo)方程及其交點(diǎn),考查基本分析求解能力,屬基礎(chǔ)題.C.[選修4-5:不等式選講]23.設(shè),解不等式.【答案】【解析】【分析】根據(jù)絕對(duì)值定義化為三個(gè)方程組,解得結(jié)果【詳解】或或或或所以解集為【點(diǎn)睛】本題考查分類討論解含絕對(duì)值不等式,考查基本分析求解能力,屬基礎(chǔ)題.【必做題】第24題、第25題,每題10分,共計(jì)20分.請(qǐng)?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答,解答時(shí)應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.24.在三棱錐A—BCD中,已知CB=CD=,BD=2,O為BD的中點(diǎn),AO⊥平面BCD,AO=2,E為AC的中點(diǎn).
(1)求直線AB與DE所成角的余弦值;(2)若點(diǎn)F在BC上,滿足BF=BC,設(shè)二面角F—DE—C的大小為θ,求sinθ的值.【答案】(1)(2)【解析】【分析】(1)建立空間直角坐標(biāo)系,利用向量數(shù)量積求直線向量夾角,即得結(jié)果;(2)先求兩個(gè)平面法向量,根據(jù)向量數(shù)量積求法向量夾角,最后根據(jù)二面角與向量夾角關(guān)系得結(jié)果.詳解】(1)連以為軸建立空間直角坐標(biāo)系,則
從而直線與所成角的余弦值為(2)設(shè)平面一個(gè)法向量為令設(shè)平面一個(gè)法向量為令因此【點(diǎn)睛】本題考查利用向量求線線角與二面角,考查基本分析求解能力,屬中檔題.25.甲口袋中裝有2個(gè)黑球和1個(gè)白球,乙口袋中裝有3個(gè)白球.現(xiàn)從甲、乙兩口袋中各任取一個(gè)球交換放入另一口袋,重復(fù)n次這樣的操作,記甲口袋中黑球個(gè)數(shù)為Xn,恰有2個(gè)黑球的概率為pn,恰有1個(gè)黑球的概率為qn.(1)求p1·q1和p2·q2;(2)求2pn+qn與2pn-1+qn-1的遞推關(guān)系式和Xn的數(shù)學(xué)期望E(Xn)(用n表示).【答案】(1)(2)【解析】【分析】(1)直接根據(jù)操作,根據(jù)古典概型概率公式可得結(jié)果;(2)根據(jù)操作,依次求,即得遞推關(guān)系,構(gòu)造等比數(shù)列求得,最后根據(jù)數(shù)學(xué)期望公式求結(jié)果.
【詳解】(1),,(2),,因此,從而,即.又的分布列為012故.【點(diǎn)睛】本題考查古典概型概率、概率中遞推關(guān)系、構(gòu)造法求數(shù)列通項(xiàng)、數(shù)學(xué)期望公式,考查綜合分析求解能力,屬難題.