2001年北京市高考數(shù)學(xué)試卷（理）一、選擇題（共12小題，每小題5分，滿分60分）)1.集合M={1, 2, 3, 4, 5}的子集個(gè)數(shù)是（）A.32B.31C.16D.152.函數(shù)f(x)=ax（a>0且a≠1），對(duì)于任意實(shí)數(shù)x、y都有（    ）A.f(xy)=f(x)f(y)B.f(xy)=f(x)+f(y)C.f(x+y)=f(x)f(y)D.f(x+y)=f(x)+f(y)3.limn→∞C2nnC2n+2n+1=()A.0B.2C.12D.144.函數(shù)y=-1-x(x≤1)的反函數(shù)是（）A.y=x2-1(-1≤x≤0)B.y=x2-1(0≤x≤1)C.y=1-x2(x≤0)D.y=1-x2(0≤x≤1)5.極坐標(biāo)系中，圓ρ=4cosθ+3sinθ的圓心的極坐標(biāo)是(    )A.(52，arcsin35)B.(5,arcsin45)C.(5,arcsin35)D.(52，arcsin45)6.設(shè)動(dòng)點(diǎn)P在直線x=1上，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．以O(shè)P為直角邊、點(diǎn)O為直角頂點(diǎn)作等腰Rt△OPQ，則動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡是（）A.圓B.兩條平行直線C.拋物線D.雙曲線7.已知f(x6)=log2x，那么f(8)等于(    )A.43B.8C.18D.128.若A、B是銳角△ABC的兩個(gè)內(nèi)角，則點(diǎn)P(cosB-sinA, sinB-cosA)在（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限9.如果圓錐的側(cè)面展開圖是半圓，那么這個(gè)圓錐的頂角（圓錐軸截面中兩條母線的夾角）是(    )A.30°B.45°C.60°D.90°10.若b為實(shí)數(shù)，且a+b=2，則3a+3b的最小值為（）A.18B.6C.23D.24311.如圖是正方體的平面展開圖，在這個(gè)正方體中，①BM與ED平行；②CN與BE是異面直線；③CN與BM成60°角；④DM與BN垂直．以上四個(gè)命題中，正確命題的序號(hào)是試卷第7頁(yè)，總7頁(yè), (    )A.①②③B.②④C.③④D.②③④12.根據(jù)市場(chǎng)調(diào)查結(jié)果，預(yù)測(cè)某種家用商品從年初開始的n個(gè)月內(nèi)累積的需求量Sn（萬(wàn)件）近似的滿足關(guān)系式Sn=n90(21n-n2-5)(n=1, 2,3,?,12)，按此預(yù)測(cè)，在本年度內(nèi)，需求量超過(guò)1.5萬(wàn)件的月份是（）A.5，6月B.6，7月C.7，8月D.8，9月二、填空題（共4小題，每小題4分，滿分16分）)13.已知球內(nèi)接正方體的表面積為S，那么球的體積等于________．14.橢圓x2+4y2=4長(zhǎng)軸上一個(gè)頂點(diǎn)為A，以A為直角頂點(diǎn)作一個(gè)內(nèi)接于橢圓的等腰直角三角形，該三角形的面積是________．15.已知sin2α+sin2β+sin2γ=1（α、β、γ均為銳角），那么cosαcosβcosγ的最大值等于________．16.已知m、n是直線，α、β、γ是平面，給出下列命題：①若α⊥β，α∩β=m，n⊥m，則n⊥α或n⊥β；②若α // β，α∩γ=m，β∩γ=n，則m // n；③若m不垂直于α，則m不可能垂直于α內(nèi)的無(wú)數(shù)條直線；④若α∩β=m，n // m；且n∉α，n∉β，則n // α且n // β．其中正確的命題的序號(hào)是________．（注：把你認(rèn)為正確的命題的序號(hào)都填上）三、解答題（共6小題，滿分74分）)17.設(shè)函數(shù)f(x)=x+ax+b(a>b>0)，求f(x)的單調(diào)區(qū)間，并證明f(x)在其單調(diào)區(qū)間上的單調(diào)性．18.已知z7=1(z∈C且z≠1)．（1）證明1+z+z2+z3+z4+z5+z6=0；（2）設(shè)z的輻角為α，求cosα+cos2α+cos4α的值．19.如圖已知VC是△ABC所在平面的一條斜線，點(diǎn)N是V在平面ABC上的射影，且在△ABC的高CD上．AB=a，VC與AB之間的距離為h，點(diǎn)M∈VC．（1）證明∠MDC是二面角M-AB-C的平面角；（2）當(dāng)∠MDC=∠CVN時(shí)，證明VC⊥平面AMB．試卷第7頁(yè)，總7頁(yè), 20.在1與2之間插入n個(gè)正數(shù)a1，a2，a3，…，an，使這n+2個(gè)數(shù)成等比數(shù)列；又在1與2之間插入n個(gè)正數(shù)b1，b2，b3，…，bn，使這n+2個(gè)數(shù)成等差數(shù)列．記An=a1a2a3...an，Bn=b1+b2+b3+...+bn．（1）求數(shù)列{An}和{Bn}的通項(xiàng)；（2）當(dāng)n≥7時(shí)，比較An和Bn的大小，并證明你的結(jié)論．21.某摩托車生產(chǎn)企業(yè)，上年度生產(chǎn)摩托車的投入成本為1萬(wàn)元/輛，出廠價(jià)為1.2萬(wàn)元/輛，年銷售量為1000輛．本年度為適應(yīng)市場(chǎng)需求，計(jì)劃提高產(chǎn)品檔次，適度增加投入成本．若每輛車投入成本增加的比例為x(00)．過(guò)動(dòng)點(diǎn)M(a, 0)且斜率為1的直線l與該拋物線交于不同的兩點(diǎn)A、B，|AB|≤2p．（1）求a的取值范圍；（2）若線段AB的垂直平分線交x軸于點(diǎn)N，求△NAB面積的最大值．試卷第7頁(yè)，總7頁(yè), 參考答案與試題解析2001年北京市高考數(shù)學(xué)試卷（理）一、選擇題（共12小題，每小題5分，滿分60分）1.A2.C3.D4.D5.A6.B7.D8.B9.C10.B11.C12.C二、填空題（共4小題，每小題4分，滿分16分）13.πS2S2414.162515.26916.②④三、解答題（共6小題，滿分74分）17.解：函數(shù)f(x)=x+ax+b的定義域?yàn)?-∞, -b)∪(-b, +∞)．f(x)在(-∞, -b)內(nèi)是減函數(shù)，f(x)在(-b, +∞)內(nèi)也是減函數(shù)．證明f(x)在(-b, +∞)內(nèi)是減函數(shù)．取x1，x2∈(-b, +∞)，且x10，x2-x1>0，(x1+b)(x2+b)>0，∴f(x1)-f(x2)>0，即f(x)在(-b, +∞)內(nèi)是減函數(shù)．同理可證f(x)在(-∞, -b)內(nèi)是減函數(shù)．18.解：（1）由z(1+z+z2+z3+z4+z5+z6)=z+z2+z3+z4+z5+z6+z7=1+z+z2+z3+z4+z5+z6，得(z-1)(1+z+z2+z3+z4+z5+z6)=0．因?yàn)閦≠1，z-1≠0，所以1+z+z2+z3+z4+z5+z6=0．（2）因?yàn)閦7=1．可知|z|=1，所以z⋅z=1，而z7=1，所以z⋅z6=1，z6=z，同理z2=z5，z4=z3，z+z2+z4=z3+z5+z6由(I)知z+z2+z4+z3+z5+z6=-1，即z+z2+z4+z+z2+z4=-1，所以z+z2+z4試卷第7頁(yè)，總7頁(yè), 的實(shí)部為-12，而z的輻角為α時(shí)，復(fù)數(shù)z+z2+z4的實(shí)部為cosα+cos2α+cos4α，所以cosα+cos2α+cos4α=-12．19.（1）證明：如圖由已知，CD⊥AB，VN⊥平面ABC，N∈CD，AB⊂平面ABC，∴VN⊥AB．∴AB⊥平面VNC．又V、M、N、D都在VNC所在的平面內(nèi)，所以，DM與VN必相交，且AB⊥DM，AB⊥CD，∴∠MDC為二面角M-AB-C的平面角．（2）證明：由已知，∠MDC=∠CVN，在△VNC與△DMC中，∠NCV=∠MCD，又∵∠VNC=90°，∴∠DMC=∠VNC=90°，故有DM⊥VC，又AB⊥VC，∴VC⊥平面AMB．20.解：（1）∵1，a1，a2，a3，an，2成等比數(shù)列，∴a1an=a2an-1=a3an-2=akan-k+1=1×2=2，∴An2=(a1an)(a2an-1)(a3an-2)(an-1a2)(ana1)=(1×2)n=2n，∴An=2n2．∵1，b1，b2，b3，bn，2成等差數(shù)列，∴b1+bn=1+2=3，∴Bn=b1+bn2⋅n=32n．所以，數(shù)列{An}的通項(xiàng)An=2n2，數(shù)列{Bn}的通項(xiàng)Bn=32n．（2）∵An=2n2，Bn=32n，∴An2=2n，Bn2=94n2，要比較An和Bn的大小，只需比較An2與Bn2的大小，也即比較當(dāng)n≥7時(shí)，2n與94n2的大?。?dāng)n=7時(shí)，2n=128，94n2=94×49，得知2n>94n2，試卷第7頁(yè)，總7頁(yè), 經(jīng)驗(yàn)證n=8，n=9時(shí)，均有命題2n>94n2成立．猜想當(dāng)n≥7時(shí)有2n>94n2．用數(shù)學(xué)歸納法證明．①當(dāng)n=7時(shí)，已驗(yàn)證2n>94n2，命題成立．②假設(shè)n=k(k≥7)時(shí)，命題成立，即2k>94k2，那么2k+1>2×94k2，又當(dāng)k≥7時(shí)，有k2>2k+1，∴2k+1>94×(k2+2k+1)=94×(k+1)2．這就是說(shuō)，當(dāng)n=k+1時(shí)，命題2n>94n2成立．根據(jù)(I)、(II)，可知命題對(duì)于n≥7都成立．故當(dāng)n≥7時(shí)，An>Bn．21.解：1由題意得：y=[1.2×(1+0.75x)-1×(1+x)]×1000×(1+0.6x)(00，00，00x1+x2=2(a+p)x1x2=a2?又y1＝x1-a，y2＝x2-a，∴|AB|=(x1-x2)2+(y1-y2)2=2[(x1+x2)2-4x1x2]=8p(p+2a)．∵0<|AB|≤2p，8p(p+2a)>0，∴0<8p(p+2a)≤2p．解得-p2