2002年北京市高考數(shù)學試卷（理科）一、選擇題（共12小題，每小題5分，滿分60分）)1.滿足條件???的集合的個數(shù)是（）A.B.C.D.?2.在平面直角坐標系中，已知兩點cossin，cossin，則的值是（）?A.B.C.D.?3.下列四個函數(shù)中，以為最小正周期，且在區(qū)間上為減函數(shù)的是（）B.?sinC.??cosA.?cosD.??cot4.個直徑都為的球，記它們的體積之和為，表面積之和為；一個直徑為甲甲的球，記其體積為，表面積為，則（）乙乙A.且B.且甲乙甲乙甲乙甲乙C.?且D.?且?甲乙甲乙甲乙甲乙?sec5.已知某曲線的參數(shù)方程是（為參數(shù)）．若以原點為極點，軸的正半軸?tan為極軸，長度單位不變，建立極坐標系，則該曲線的極坐標方程是（）A.??B.cos??C.sin??D.cos??6.給定四條曲線：①?，②??，③??，④??，其中與直線??僅有一個交點的曲線是（）A.①②③B.②③④C.①②④D.①③④7.已知?，且???．若???，則??的最大值是()A.B.C.D.cot??cos8.若??，則的值為（）cot??sin?A.B.?C.?D.?9.?名同學分別到三個不同的路口進行車流量的調查，若每個路口人，則不同的分配方案共有（）A.種B.種???C.種D.種?試卷第1頁，總8頁 10.在一個不透明的袋中，裝有若干個除顏色不同外其余都相同的球，如果袋中有?個紅球且摸到紅球的概率為，那么袋中球的總個數(shù)為（）A.?B.??C.?D.?11.已知是定義在?上的奇函數(shù)，當時，的圖象如圖所示，那么不等式cos的解集為（）A.???B.????C.?????D.????12.如圖所示，????是定義在?上的四個函數(shù)，其中滿足性質：“對?中任意的?和，任意?，??????恒成立”的只有（）A.B.C.D.二、填空題（共4小題，每小題4分，滿分16分）)13.arcsin?，arccos?，arctan?從小到大的順序是________．14.等差數(shù)列中，??，公差不為零，且?，，??恰好是某等比數(shù)列的前三項，那么該等比數(shù)列公比的值等于________．15.關于直角于在定平面內的射影有如下判斷：①可能是的角；②可能是銳角；③可能是直角；④可能是鈍角；⑤可能是?的角．其中正確判斷的序號是________（注：把你認為是正確判斷的序號都填上）．試卷第2頁，總8頁 16.已知是直線＝上的動點，，是圓???＝的兩條切線，，是切點，是圓心，那么四邊形面積的最小值為________．三、解答題（共6小題，滿分74分）)17.解不等式???．18.如圖，在多面體???????中，上、下底面平行且均為矩形，相對的側面與同一底面所成的二面角大小相等，側棱延長后相交于，兩點，上、下底面矩形的長、寬分別為，與，，且，，兩底面間的距離為．（1）求側面??與底面?所成二面角的大?。唬?）證明：面?．?19.數(shù)列由下列條件確定：??，??，．（1）證明：對，總有；（2）證明：對，總有?；lim（3）若數(shù)列的極限存在，且大于零，求的值．20.在研究并行計算的基本算法時，有以下簡單模型問題：用計算機求個不同的數(shù)?，，…，的和?????????．計算開始前，個數(shù)存貯在臺由網(wǎng)絡連接的計算機中，每臺機器存一個數(shù)，計算開始后，在一個單位時間內，每臺機器至多到一臺其他機器中讀數(shù)據(jù)，并與自己原有數(shù)據(jù)相加得到新的數(shù)據(jù)，各臺機器可同時完成上述工作．為了用盡可能少的單位時間，使各臺機器都得到這個數(shù)的和，需要設計一種讀和加的方法．比如?時，一個單位時間即可完成計算，方法可用下表表示：機器號初始時第一單位時間第二單位時間第三單位時間被讀機號結果被讀機號結果被讀機號結果?????（1）當?時，至少需要多少個單位時間可完成計算？把你設計的方法填入下表機器號初始時第一單位時間第二單位時間第三單位時間被讀機號結果被讀機號結果被讀機號結果??試卷第3頁，總8頁 （2）當??時，要使所有機器都得到????，至少需要多少個單位時間可完成計算？（結論不要求證明）21.已知于，?，是于的三個頂點．（1）寫出于的重心，外心，垂心的坐標，并證明，，三點共線；（2）當直線與于平行時，求頂點的軌跡．22.已知是定義在上的不恒為零的函數(shù)，且對于任意的，都滿足：?．（1）求及?的值；（2）判斷的奇偶性，并證明你的結論；（3）若?，?，求證數(shù)列是等差數(shù)列，并求的通項公式．試卷第4頁，總8頁 參考答案與試題解析2002年北京市高考數(shù)學試卷（理科）一、選擇題（共12小題，每小題5分，滿分60分）1.C2.D3.B4.C5.D6.D7.C8.A9.A10.C11.B12.A二、填空題（共4小題，每小題4分，滿分16分）13.arctan?arcsin?arccos?14.15.①②③④⑤16.三、解答題（共6小題，滿分74分）??17.解：原不等式的解集是下面不等式組?及的解集的并集：?或????????解不等式組?得解集解不等式組得解集?所以原不等式的解集為18.解：（1）過??作底面?的垂直平面，交底面于，過?作?，垂足為．∵平面?平面?，????????∴，?．∴?為所求二面角的平面角．過?作?，垂足為．由于相對側面與底面所成二面角的大小相等，故四邊形??為等腰梯形．試卷第5頁，總8頁 ?∴??，又??，∴tan??，?∴??arctan，?即所求二面角的大小為arctan．?（2）證明：∵，?是矩形?的一組對邊，有?，又?是面?與面?的交線，∴面?．∵是面與面?的交線，∴．∵是平面?內的一條直線，在平面?外，∴面?．?19.證明：（1）由??，及??，可歸納證明．?從而有???，所以，當時，成立．（2）證法一：當時，?因為，?????所以?????，故當時，?成立．?證法二：當時，因為，??，??所以????，故當時，?成立．limlim（3）解：記?，則??，且．??由??，得?．lim由，解得?，故?．20.解：（1）當?時，只用個單位時間即可完成計算．方法之一如下：試卷第6頁，總8頁 機器號初始時第一單位時間第二單位時間第三單位時間被讀機結果被讀機結果被讀機結果號號號??????????（2）當???時，至少需要個單位時間才能完成計算．21.解：（1）由于三頂點坐標于，?，，?可求得重心，，??外心，，?垂心．??當?時，，，三點的橫坐標均為，故三點共線；?當時，設，所在直線的斜率為，，所在直線的斜率為．???因為???，??????????，???所以?，，，，三點共線．綜上可得，，，三點共線．?（2）解：若于，由??，???得?????配方得??，即???．???即???．??所以，頂點的軌跡是中心在，，長半軸長為，短半軸長為，且短軸在軸上的橢圓，??但除去，?，，，，?四點．22.解：（1）令??，代入得??．令???，代入得??????，則??．試卷第7頁，總8頁 （2）∵????????????，∴???．令???，?，則??????????，因此是奇函數(shù)．?（3）因為??????????，即????，所以是等差數(shù)列．又首項????，公差為?，?所以?，?．試卷第8頁，總8頁