2003年北京市春季高考數(shù)學(xué)試卷（理科）一、選擇題（共12小題，每小題5分，滿分60分）)1.若集合????，????，則??A.?????.D???.C???.B??2.若??，則方程?＝的根是（）??A.B.C.D.??3.設(shè)復(fù)數(shù)????，??，則arg???A.B.C.D.?????4.函數(shù)??的最大值是????A.B.C.D.5.在同一坐標(biāo)系中，方程???????與?的曲線大致是（）A.B.C.D.6.若，，是的三個(gè)內(nèi)角，且???，則下列結(jié)論中正確的是（）A.sin?sinB.cos?cosC.???D.?????cos，7.橢圓（為參數(shù)）的焦點(diǎn)坐標(biāo)為()?sin，A.?????，????.B????，???C.?????，????.D????，???試卷第1頁，總9頁,8.如圖，在正三角形中，，，分別為各邊的中點(diǎn)，，，，分別為，，、的中點(diǎn)．將沿，，折成三棱錐以后，與所成角的度數(shù)為（）A.?.D.C?.B?9.某班新年聯(lián)歡會(huì)原定的個(gè)節(jié)目已排成節(jié)目單，開演前又增加了兩個(gè)新節(jié)目．如果將這兩個(gè)新節(jié)目插入原節(jié)目單中，那么不同插法的種數(shù)為（）A.B.C.?D.?10.已知直線??????圓與???相切，則三條邊長(zhǎng)分別為??，??，??的三角形（）A.是銳角三角形B.是直角三角形C.是鈍角三角形D.不存在11.若不等式????的解集為???，則實(shí)數(shù)等于（）A.?B.C.D.?12.在直角坐標(biāo)系?中，已知?三邊所在直線的方程分別為???，?，???，則?內(nèi)部和邊上整點(diǎn)（即橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)）的總數(shù)是（）A.B.?C.??D.二、填空題（共4小題，每小題4分，滿分16分）)13.如圖，一個(gè)底面半徑為的圓柱形量杯中裝有適量的水．若放入一個(gè)半徑為的實(shí)心鐵球，水面高度恰好升高，則?________．14.在某報(bào)《自測(cè)健康狀況》的報(bào)道中，自測(cè)血壓結(jié)果與相應(yīng)年齡的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表．觀察表中數(shù)據(jù)的特點(diǎn)，用適當(dāng)?shù)臄?shù)填入表中空白（）內(nèi)．年齡（歲）????收縮壓（水銀柱毫米）?________????????????舒張壓（水銀柱毫米）??????________??試卷第2頁，總9頁,15.如圖，???圓橢為別分，?的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)在橢圓上，?是面積為的正三角形，則的值是________．16.若存在常數(shù)?，使得函數(shù)?滿足????，則?的一個(gè)正周期為________．三、解答題（共6小題，滿分74分）)17.解不等式：log????gol??．cos?sin18.已知函數(shù)??，求?的定義域，判斷它的奇偶性，并求其值域．cos19.如圖，正四棱柱????中，底面邊長(zhǎng)為，側(cè)棱長(zhǎng)為．，分別為棱，的中點(diǎn)，＝．?Ⅰ求證：平面??面平?；?Ⅱ求點(diǎn)?面平到?的距離；?Ⅲ求三棱錐??的體積．20.某租賃公司擁有汽車???為金租月的車輛每當(dāng)．輛???元時(shí)，可全部租出．當(dāng)每輛車的月租金每增加?元時(shí)，未租出的車將會(huì)增加一輛．租出的車每輛每月需要維護(hù)費(fèi)?費(fèi)護(hù)維要需月每輛每車的出租未，元??元．（1）當(dāng)每輛車的月租金定為??元時(shí)，能租出多少輛車？（2）當(dāng)每輛車的月租金定為多少元時(shí)，租賃公司的月收益最大？最大月收益是多少？21.如圖，在邊長(zhǎng)為的等邊中，圓??為的內(nèi)切圓，圓?與圓??外切，且與，相切，…，圓???與圓?外切，且與，相切，如此無限繼續(xù)下去．記圓?的面積為?．（1）證明?是等比數(shù)列；lim（2）求????????的值．試卷第3頁，總9頁,22.已知?jiǎng)訄A過定點(diǎn)???線直定與且，???相切，點(diǎn)在上．（1）求動(dòng)圓圓心的軌跡的方程；（2）設(shè)過點(diǎn)，且斜率為的直線與曲線相交于，兩點(diǎn)．?問：能否為正三角形？若能，求點(diǎn)的坐標(biāo)；若不能，說明理由；?當(dāng)為鈍角三角形時(shí)，求這種點(diǎn)的縱坐標(biāo)的取值范圍．試卷第4頁，總9頁,參考答案與試題解析2003年北京市春季高考數(shù)學(xué)試卷（理科）一、選擇題（共12小題，每小題5分，滿分60分）1.C2.A3.C4.D5.D6.A7.D8.B9.A10.B11.C12.B二、填空題（共4小題，每小題4分，滿分16分）13.14.??,?15.16.（或的整數(shù)倍）三、解答題（共6小題，滿分74分）17.解：原不等式變形為log??log??．??????所以原不等式????????????．故原不等式的解集為????．18.解：由cos?，得?，解得?，．所以?的定義域?yàn)??且?，?因?yàn)?的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，cos??sin?且??cos?試卷第5頁，總9頁,cos?sin???，cos所以?是偶函數(shù)．當(dāng)?，時(shí)，cos?sin??cos?cos?cos????cos?，cos??所以?的值域?yàn)????或?．19.（1）證法一：連接．∵正四棱柱????的底面是正方形，∴，又??面平故，?．∵，分別為，的中點(diǎn)，故，∴平面??，∴平面??面平?．證法二：∵＝，＝＝，∴．又?∴平面??，∴平面??面平?．（2）在對(duì)角面??中，作??，垂足為．∵平面??面平?，且平面?＝??面平?，∴?面平?，且垂足為，∴點(diǎn)?＝離距的?面平到?．解法一：在??sin??＝?，中??．∵???????，?sin?sin??????，??????∴????．??解法二：∵???，???∴?，?????∴?????．????解法三：連接??形方正于等積面的??形角三則，?面積的一半，??即????，???∴????．??試卷第6頁，總9頁,??Ⅲ???????????????．?20.解：（1）當(dāng)每輛車的月租金定為??元時(shí)，?????未租出的車輛數(shù)為??，?所以這時(shí)租出了??輛車．（2）設(shè)每輛車的月租金定為元，??????則租賃公司的月收益為??????????，???整理得????????????????．??所以，當(dāng)????????為值大最，大最?，時(shí)??，即當(dāng)每輛車的月租金定為???為益收月大最，大最益收月的司公賃租，時(shí)元??元．21.（1）證明：記為圓?的半徑，則?tan???，???sin??．???所以???，試卷第7頁，總9頁,?于是????，??????故?成等比數(shù)列．??（2）解：因?yàn)????，lim?所以????????．?22.解：（1）依題意，曲線是以點(diǎn)為焦點(diǎn)，直線為準(zhǔn)線的拋物線，所以曲線的方程為?．??由題意得，???直線的方程為???由??消得?得解，??????，?．?所以點(diǎn)坐標(biāo)為?，，?點(diǎn)坐標(biāo)為??，???????．假設(shè)存在點(diǎn)???，使為正三角形，則?????且?????，?????????即①②?????????由①-②得???????，?解得?．?但?不符合①，所以由①，②組成的方程組無解．因此，直線上不存在點(diǎn)，使得是正三角形．?設(shè)???使成鈍角三角形，???由得?，??即當(dāng)點(diǎn)的坐標(biāo)為???時(shí)，，，三點(diǎn)共線，試卷第8頁，總9頁,故．??又?????????，?????????????，??????．當(dāng)???????，?即?????，即時(shí)，為鈍角．當(dāng)???????，?即?????，??即?時(shí)為鈍角．又???????，?即?????，即???????，?．該不等式無解，所以不可能為鈍角．因此，當(dāng)為鈍角三角形時(shí)，??點(diǎn)的縱坐標(biāo)的取值范圍是?或?．試卷第9頁，總9頁