2005年北京市高考數(shù)學(xué)試卷(文科)一、選擇題(共8小題,每小題5分,滿分40分))1.設(shè)全集U=R,集合M={x|x>l},P={x|x2>l},則下列關(guān)系中正確的是()A.M=PB.P⊂MC.M⊂PD.CUM∩P=?2.為了得到函數(shù)y=2x-3-1的圖象,只需把函數(shù)y=2x上所有點(diǎn)()A.向右平移3個(gè)單位長度,再向下平移1個(gè)單位長度B.向左平移3個(gè)單位長度,再向下平移1個(gè)單位長度C.向右平移3個(gè)單位長度,再向上平移1個(gè)單位長度D.向左平移3個(gè)單位長度,再向上平移1個(gè)單位長度3.“m=12”是“直線(m+2)x+3my+1=0與直線(m-2)x+(m+2)y-3=0相互垂直”的( )A.充分必要條件B.充分而不必要條件C.必要而不充分條件D.既不充分也不必要條件4.若|a→|=1,|b→|=2,c→=a→+b→,且c→⊥a→,則向量a→與b→的夾角為( )A.30°B.60°C.120°D.150°5.從原點(diǎn)向圓x2+y2-12y+27=0作兩條切線,則該圓夾在兩條切線問的劣弧長為()A.πB.2πC.4πD.6π6.對(duì)任意的銳角α,β,下列不等關(guān)系中正確的是()A.sin(α+β)>sinα+sinβB.sin(α+β)>cosα+cosβC.cos(α+β)0;④f(x1+x22)0)與直線l2:y=-kx之間的陰影區(qū)域(不含邊界)記為W,其左半部分記為W1,右半部分記為W2.(1)分別用不等式組表示W(wǎng)1和W2.(2)若區(qū)域W中的動(dòng)點(diǎn)P(x, y)到l1,l2的距離之積等于d2,求點(diǎn)P的軌跡C的方程;(3)設(shè)不過原點(diǎn)O的直線l與(2)中的曲線C相交于M1,M2兩點(diǎn),且與l1,l2分別交于M3,M4兩點(diǎn).求證△OM1M2的重心與△OM3M4的重心重合.試卷第7頁,總7頁, 參考答案與試題解析2005年北京市高考數(shù)學(xué)試卷(文科)一、選擇題(共8小題,每小題5分,滿分40分)1.C2.A3.B4.C5.B6.D7.C8.B二、填空題(共6小題,每小題5分,滿分30分)9.x=-1,(1, 0)10.-2011.[-1, 2)∪(2, +∞)12.213.①③④14.12n(n+3),2n三、解答題(共6小題,15題12分,16、19、20題每題14分,17、18題每題13分,滿分80分)15.解:(I)∵tanα2=2,∴tanα=2tanα21-tan2α2=2×21-4=-43∴tan(α+π4)=tanα+tanπ41-tanαtanπ4=tanα+11-tanα=-43+11+43=-17(II)由( I)∵tanα=-43∴6sinα+cosα3sinα-2cosα=6tanα+13tanα-2=6(-43)+13(-43)-2=766(-43)+13(-43)-2=7616.(1)證明:直三棱柱ABC-A1B1C1,底面三邊長AC=3,BC=4,AB=5,∴AC⊥BC,且試卷第7頁,總7頁, BC1在平面ABC內(nèi)的射影為BC,∴AC⊥BC1;(2)證明:設(shè)CB1與C1B的交點(diǎn)為E,連接DE,∵D是AB的中點(diǎn),E是BC1的中點(diǎn),∴DE // AC1,∵DE⊂平面CDB1,AC1⊄平面CDB1,∴AC1 // 平面CDB1;(3)解:∵DE // AC1,∴∠CED為AC1與B1C所成的角,在△CED中,ED=12AC1=52,CD=12AB=52,CE=12CB1=22,∴cos∠CED=82⋅22⋅52=225,∴異面直線AC1與B1C所成角的余弦值225.17.解:(1)由a1=1,an+1=13Sn,n=1,2,3,…,得a2=13S1=13a1=13,a3=13S2=13(a1+a2)=49,a4=13S3=13(a1+a2+a3)=1627,由an+1-an=13(Sn-Sn-1)=13an(n≥2),得an+1=43an(n≥2),又a2=13,所以an=13(43)n-2(n≥2),∴數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=1n=113(43)n-2n≥2;( II)由( I)可知a2,a4,…,a2n是首項(xiàng)為13,公比為(43)2項(xiàng)數(shù)為n的等比數(shù)列,∴a2+a4+a6+...+a2n=13⋅1-(43)2n1-(43)2=37[(43)2n-1]18.解:(1)乙射擊三次,每次擊中目標(biāo)的概率是定值,可以看作是獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn),乙至少擊中目標(biāo)兩次包含擊中兩次和擊中三次,∴乙至少擊中目標(biāo)2次的概率為C32(23)2⋅(13)+C33(23)3=2027.試卷第7頁,總7頁, (2)設(shè)乙恰好比甲多擊中目標(biāo)2次為事件A,乙恰擊中目標(biāo)2次且甲恰擊中目標(biāo)0次為事件B1,乙恰擊中目標(biāo)3次且甲恰擊中目標(biāo)1次為事件B2,則A=B1+B2,B1,B2為互斥事件,∴P(A)=P(B1)+P(B2)=C32(23)2⋅13⋅C30(12)3+C33(23)3⋅C31(12)3=118+19=16,∴乙恰好比甲多擊中目標(biāo)2次的概率為16.19.解:(1)f'(x)=-3x2+6x+9.令f'(x)<0,解得x<-1或x>3,所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(-∞, -1),(3, +∞).(2)因?yàn)閒(-2)=8+12-18+a=2+a,f(2)=-8+12+18+a=22+a,所以f(2)>f(-2).因?yàn)樵?-1, 3)上f'(x)>0,所以f(x)在[-1, 2]上單調(diào)遞增,又由于f(x)在[-2, -1]上單調(diào)遞減,因此f(2)和f(-1)分別是f(x)在區(qū)間[-2, 2]上的最大值和最小值,于是有22+a=20,解得a=-2.故f(x)=-x3+3x2+9x-2,因此f(-1)=1+3-9-2=-7,即函數(shù)f(x)在區(qū)間[-2, 2]上的最小值為-7.20.解:(1)根據(jù)圖象可知陰影區(qū)域左半部分,在y=-kx的下方,在y=kx的上邊,故y的范圍可知kx0∴W1={(x, y)|kx0},(2)直線l1:kx-y=0,直線l2:kx+y=0,由題意得|kx-y|k2+1⋅|kx+y|k2+1=d2,即|k2x2-y2|k2+1=d2,由P(x, y)∈W,知k2x2-y2>0,所以k2x2-y2k2+1=d2,即k2x2-y2-(k2+1)d2=0,所以動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程為k2x2-y2-(k2+1)d2=0;(3)當(dāng)直線l與x軸垂直時(shí),可設(shè)直線l的方程為x=a(a≠0).由于直線l,曲線C關(guān)于x軸對(duì)稱,且l1與l2關(guān)于x軸對(duì)稱,于是M1M2,M3M4的中點(diǎn)坐標(biāo)都為(a, 0),所以△OM1M2,△OM3M4的重心坐標(biāo)都為(23a, 0),即它們的重心重合,當(dāng)直線l1與x軸不垂直時(shí),設(shè)直線l的方程為y=mx+n(n≠0).由k2x2-y2-(k2+1)d2=0y=mx+n,得(k2-m2)x2-2mnx-n2-k2d2-d2=0由直線l與曲線C有兩個(gè)不同交點(diǎn),可知k2-m2≠0且△=(2mn)2+4(k2-m2)×(n2+k2d2+d2)>0設(shè)M1,M2的坐標(biāo)分別為(x1, y1),(x2, y2),則x1+x2=2mnk2-m2,y1+y2=m(x1+x2)+2n,設(shè)M3,M4的坐標(biāo)分別為(x3, y3),(x4, y4),由y=kxy=mx+n得x3=nk-m,x4=-nk+m從而x3+x4=2mnk2-m2=x1+x2,所以y3+y4=m(x3+x4)+2n=m(x1+x2)+2n=y1+y2,于是△OM1M2的重心與△OM3M4試卷第7頁,總7頁, 的重心也重合.試卷第7頁,總7頁