2006年北京市高考數(shù)學(xué)試卷（理科）一、選擇題（共8小題，每小題5分，滿分40分）)1.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)1+ii對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限2.若a→與b→-c→都是非零向量，則“a→⋅b→=a→⋅c→”是“a→⊥(b→-c→)”的（）A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件3.在1，2，3，4，5這五個(gè)數(shù)字組成的沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)中，各位數(shù)字之和為奇數(shù)的共有（）A.36個(gè)B.24個(gè)C.18個(gè)D.6個(gè)4.平面α的斜線AB交α于點(diǎn)B，過定點(diǎn)A的動(dòng)直線l與AB垂直，且交α于點(diǎn)C，則動(dòng)點(diǎn)C的軌跡是（）A.一條直線B.一個(gè)圓C.一個(gè)橢圓D.雙曲線的一支5.已知f(x)=(3a-1)x+4a,x≤1，logax，x>1是(-∞, +∞)上的減函數(shù)，那么a的取值范圍是(     )A.(0, 1)B.(0,13)C.[17，13)D.[17，1)6.在下列四個(gè)函數(shù)中，滿足性質(zhì)：“對(duì)于區(qū)間(1, 2)上的任意x1，x2(x1≠x2)，|f(x1)-f(x2)|<|x2-x1|恒成立”的只有（）A.f(x)=1xB.f(x)=|x|C.f(x)=2xD.f(x)=x27.設(shè)f(n)＝2+24+27+210+...+23n+10(n∈N)，則f(n)等于（）A.27(8n-1)B.27(8n+1-1)C.27(8n+3-1)D.27(8n+4-1)8.如圖為某三岔路口交通環(huán)島的簡(jiǎn)化模型，在某高峰時(shí)段，單位時(shí)間進(jìn)出路口A，B，C的機(jī)動(dòng)車輛數(shù)如圖所示，圖中x1，x2，x3分別表示該時(shí)段單位時(shí)間通過路段AB,BC,CA的機(jī)動(dòng)車輛數(shù)（假設(shè)：?jiǎn)挝粫r(shí)間內(nèi)，在上述路段中，同一路段上駛?cè)肱c駛出的車輛數(shù)相等），則（）A.x1>x2>x3B.x1>x3>x2C.x2>x3>x1D.x3>x2>x1試卷第5頁(yè)，總6頁(yè), 二、填空題（共6小題，每小題5分，滿分30分）)9.limx→-1x2+3x+2x2-1的值等于________．10.在(x-2x)7的展開式中，x2的系數(shù)為________（用數(shù)字作答）．11.若三點(diǎn)A(2, 2)，B(a, 0)，C(0, b)(ab≠0)共線，則1a+1b的值為________．12.在△ABC中，若sinA:sinB:sinC=5:7:8，則∠B的大小是________．13.已知點(diǎn)P(x, y)的坐標(biāo)滿足條件x+y≤4y≥xx≥1，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，那么|PO|的最小值等于________，最大值等于________．14.已知A，B，C三點(diǎn)在球心為O，半徑為R的球面上，AC⊥BC，且AB=R，那么A，B兩點(diǎn)的球面距離為________，球心到平面ABC的距離為________．三、解答題（共6小題，滿分80分）)15.已知函數(shù)f(x)=1-2sin(2x-π4)cosx，(I)求f(x)的定義域；(II)設(shè)α是第四象限的角，且tanα=-43，求f(α)的值．16.已知函數(shù)f(x)=ax3+bx2+cx在點(diǎn)x0處取得極大值5，其導(dǎo)函數(shù)y=f'(x)的圖象經(jīng)過點(diǎn)(1, 0)，(2, 0)，如圖：(1)求x0的值；(2)求a，b，c的值．17.如圖，在底面為平行四邊形的四棱錐P-ABCD中，AB⊥AC，PA⊥平面ABCD，且PA=AB，點(diǎn)E是PD的中點(diǎn)．（1）求證：PB // 平面AEC；（2）求二面角E-AC-B的大?。嚲淼?頁(yè)，總6頁(yè), 18.某公司招聘員工，指定三門考試課程，有兩種考試方案．方案一：考試三門課程，至少有兩門及格為考試通過；方案二：在三門課程中，隨機(jī)選取兩門，這兩門都及格為考試通過．假設(shè)某應(yīng)聘者對(duì)三門指定課程考試及格的概率分別是a，b，c，且三門課程考試是否及格相互之間沒有影響．(I)分別求該應(yīng)聘者用方案一和方案二時(shí)考試通過的概率；(II)試比較該應(yīng)聘者在上述兩種方案下考試通過的概率的大?。ㄕf(shuō)明理由）19.已知點(diǎn)M(-2, 0)，N(2, 0)，動(dòng)點(diǎn)P滿足條件|PM|-|PN|=22．記動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為W．（1）求W的方程；（2）若A，B是W上的不同兩點(diǎn)，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，求OA→⋅OB→的最小值．20.在數(shù)列{an}中，若a1，a2是正整數(shù)，且an=|an-1-an-2|，n=3，4，5，…，則稱{an}為“絕對(duì)差數(shù)列”．（1）舉出一個(gè)前五項(xiàng)不為零的“絕對(duì)差數(shù)列”（只要求寫出前十項(xiàng)）；（2）若“絕對(duì)差數(shù)列”{an}中，a20=3，a21=0，數(shù)列{bn}滿足bn=an+an+1+an+2，n=1，2，3，…，分別判斷當(dāng)n→∞時(shí)，an與bn的極限是否存在，如果存在，求出其極限值；（3）證明：任何“絕對(duì)差數(shù)列”中總含有無(wú)窮多個(gè)為零的項(xiàng)．試卷第5頁(yè)，總6頁(yè), 參考答案與試題解析2006年北京市高考數(shù)學(xué)試卷（理科）一、選擇題（共8小題，每小題5分，滿分40分）1.D2.C3.B4.A5.C6.A7.D8.C二、填空題（共6小題，每小題5分，滿分30分）9.-1210.-1411.1212.π313.2,1014.π3R,32R三、解答題（共6小題，滿分80分）15.(1)解：∵依題意，有cosx≠0，∴解得x≠kπ+π2，∴f(x)的定義域?yàn)閧x|x∈R, 且x≠kπ+π2, k∈Z}．(2)解：∵f(x)=1-2sin(2x-π4)cosx=-2sinx+2cosx，∴f(α)=-2sinα+2cosα，∵α是第四象限的角，且tanα=-43，∴sinα=-45，cosα=35，∴f(α)=-2sinα+2cosα=145．16.解：(1)由圖象可知，在(-∞, 1)上f'(x)>0，在(1, 2)上f'(x)<0．在(2, +∞)上f'(x)>0．故f(x)在(-∞, 1)，(2, +∞)上遞增，在(1, 2)上遞減．因此f(x)在x=1處取得極大值，所以x0=1．試卷第5頁(yè)，總6頁(yè), (2)f'(x)=3ax2+2bx+c，由f'(1)=0，f'(2)=0，f(1)=5，得3a+2b+c=012a+4b+c=0a+b+c=5解得a=2，b=-9，c=12．17.解：（1）由PA⊥平面ABCD可得PA⊥AC又AB⊥AC，所以AC⊥平面PAB，所以AC⊥PB連BD交AC于點(diǎn)O，連EO，則EO是△PDB的中位線，∴EO // PB∴PB // 平面AEC（2）取AD的中點(diǎn)F，連EF，F(xiàn)O，則EF是△PAD的中位線，∴EF // PA又PA⊥平面ABCD，∴EF⊥平面ABCD同理FO是△ADC的中位線，∴FO // AB，F(xiàn)O⊥AC由三垂線定理可知∠EOF是二面角E-AC-D的平面角．又FO=12AB=12PA=EF∴∠EOF=45°而二面角E-AC-B與二面角E-AC-D互補(bǔ)，故所求二面角E-AC-B的大小為135°．18.解：設(shè)三門考試課程考試通過的事件分別為A，B，C，相應(yīng)的概率為a，b，c(1)考試三門課程，至少有兩門及格的事件可表示為ABC+ABC+ABC+ABC，設(shè)其概率為P1，則P1=ab(1-c)+a(1-b)c+(1-a)bc+abc=ab+ac+bc-2abc設(shè)在三門課程中，隨機(jī)選取兩門，這兩門都及格的概率為P2，則P2=13ab+13ac+13bc(2)P1-P2=(ab+ac+bc-2abc)-(13ab+13ac+13bc)=23ab+23ac+23bc-2abc=23(ab+ac+bc-3abc)=23〔ab(1-c)+ac(1-b)+bc(1-a)〕>0∴P1>P2即用方案一的概率大于用方案二的概率．19.解：（1）依題意，點(diǎn)P的軌跡是以M，N為焦點(diǎn)的雙曲線的右支，所求方程為：x22-y22=1(x>0)（2）當(dāng)直線AB的斜率不存在時(shí)，設(shè)直線AB的方程為x=x0，此時(shí)A(x0, x02-2)，B(x0, -x02-2)，OA→⋅OB→=2當(dāng)直線AB的斜率存在時(shí)，設(shè)直線AB的方程為y=kx+b，代入雙曲線方程x22-y22=1中，得：(1-k2)x2-2kbx-b2-2=01°依題意可知方程1°有兩個(gè)不相等的正數(shù)根，設(shè)A(x1, y1)，B(x2, y2)，則△=4k2b2-4(1-k2)⋅(-b2-2)>0x1+x2=2kb1-k2>0x1x2=b2+2k2-1>0，解得|k|>1又OA→⋅OB→=x1x2+y1y2=x1x2+(kx1+b)(kx2+b)=(1+k2)x1x2+kb(x1+x2)+b2=2k2+2k2-1=2+4k2-1>2綜上可知OA→⋅OB→的最小值為試卷第5頁(yè)，總6頁(yè), 2．20.解：（1）a1=3，a2=1，a3=2，a4=1，a5=1，a6=0，a7=1，a8=1，a9=0，a10=1．（答案不惟一）（2）因?yàn)樵诮^對(duì)差數(shù)列{an}中a20=3，a21=0．所以自第20項(xiàng)開始，該數(shù)列是a20=3，a21=0，a22=3，a22=3，a24=0，a25=3，a26=3，a27=o，即自第20項(xiàng)開始．每三個(gè)相鄰的項(xiàng)周期地取值3，0，3．所以當(dāng)n→∞時(shí)，an的極限不存在．當(dāng)n≥20時(shí)，bn=an+an+1+an+2=6，所以limn→∞bn=6（3）證明：根據(jù)定義，數(shù)列{an}必在有限項(xiàng)后出現(xiàn)零項(xiàng)．證明如下：假設(shè){an}中沒有零項(xiàng)，由于an=|an-1-an-2|，所以對(duì)于任意的n，都有an≥1，從而當(dāng)an-1>an-2時(shí)，an=an-1-an-2≤an-1-1(n≥3)；當(dāng)an-1a2n)a2n(a2n-10(n=1, 2, 3,,)矛盾．從而{an}必有零項(xiàng)．若第一次出現(xiàn)的零項(xiàng)為第n項(xiàng)，記an-1=A(A≠0)，則自第n項(xiàng)開始，每三個(gè)相鄰的項(xiàng)周期地取值0，A，A，即an+3k=0an+3k+1=A，k=0，1，2，3an+3k+2=A所以絕對(duì)差數(shù)列{an}中有無(wú)窮多個(gè)為零的項(xiàng)．試卷第5頁(yè)，總6頁(yè)