2009年北京市高考數(shù)學(xué)試卷（理科）一、選擇題（共8小題，每小題5分，滿分40分）)1.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)＝??對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限2.已知向量?量，?量，??，，如果，那么（）A.且與同向B.且與反向C.且與同向D.且與反向??3.為了得到函數(shù)lg的圖象，只需把函數(shù)lg的圖象上所有的點(diǎn)（）A.向左平移?個(gè)單位長(zhǎng)度，再向上平移個(gè)單位長(zhǎng)度B.向右平移?個(gè)單位長(zhǎng)度，再向上平移個(gè)單位長(zhǎng)度C.向左平移?個(gè)單位長(zhǎng)度，再向下平移個(gè)單位長(zhǎng)度D.向右平移?個(gè)單位長(zhǎng)度，再向下平移個(gè)單位長(zhǎng)度4.若正四棱柱????的底面邊長(zhǎng)為，?與底面??成角，則到底面??的距離為（）?A.B.C.D.??5.“??”是“cos”的()A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件6.若???（，為有理數(shù)），則??A.B.C.D.7.用到這個(gè)數(shù)字，可以組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的三位偶數(shù)的個(gè)數(shù)為（）A.?B.?C.?D.8.點(diǎn)在直線?上，若存在過(guò)的直線交拋物線于，?兩點(diǎn)，且?，則稱點(diǎn)為“點(diǎn)”，那么下列結(jié)論中正確的是()A.直線上的所有點(diǎn)都是“點(diǎn)”B.直線上僅有有限個(gè)點(diǎn)是“點(diǎn)”C.直線上的所有點(diǎn)都不是“點(diǎn)”D.直線上有無(wú)窮多個(gè)點(diǎn)（點(diǎn)不是所有的點(diǎn)）是“點(diǎn)”試卷第1頁(yè)，總8頁(yè) 二、填空題（共6小題，每小題5分，滿分30分）)lim9.________．?10.若實(shí)數(shù)，滿足則的最小值為_(kāi)_______．11.設(shè)?是偶函數(shù)，若曲線?在點(diǎn)（量?）處的切線的斜率為，則該曲線在（量?）處的切線的斜率為_(kāi)_______．12.橢圓?的焦點(diǎn)為、，點(diǎn)在橢圓上，若，則________，的大小為_(kāi)_______．晦13.若函數(shù)?則不等式?的解集為_(kāi)_______．???14.滿足：，，，則________；?________．三、解答題（共6小題，滿分80分）)15.在?中，角，?，的對(duì)邊分別為量量量?，cos，?．?（1）求sin的值；（2）求?的面積．16.如圖，在三棱錐?中，底面?，?，?，?，點(diǎn)?、分別在棱?、上，且??．（1）求證：?平面；（2）當(dāng)?為?的中點(diǎn)時(shí)，求?與平面所成的角的正弦值；（3）是否存在點(diǎn)使得二面角?為直二面角？并說(shuō)明理由．17.某學(xué)生在上學(xué)路上要經(jīng)過(guò)個(gè)路口，假設(shè)在各路口是否遇到紅燈是相互獨(dú)立的，遇到紅燈的概率都是，遇到紅燈時(shí)停留的時(shí)間都是min．?（1）求這名學(xué)生在上學(xué)路上到第三個(gè)路口時(shí)首次遇到紅燈的概率；（2）求這名學(xué)生在上學(xué)路上因遇到紅燈停留的總時(shí)間的分布列及期望．試卷第2頁(yè)，總8頁(yè) 18.設(shè)函數(shù)??．（1）求曲線?在點(diǎn)（量?）處的切線方程；（2）求函數(shù)?的單調(diào)區(qū)間；（3）若函數(shù)?在區(qū)間?量?jī)?nèi)單調(diào)遞增，求的取值范圍．?19.已知雙曲線??量的離心率為?，右準(zhǔn)線方程為?（1）求雙曲線的方程；（2）設(shè)直線是圓??上動(dòng)點(diǎn)?量?處的切線，與雙曲線交于不同的兩點(diǎn)，?，證明?的大小為定值．20.已知數(shù)集量量量?晦晦量具有性質(zhì)；對(duì)任意的，?，與兩數(shù)中至少有一個(gè)屬于．（1）分別判斷數(shù)集量?量與量量?量是否具有性質(zhì)，并說(shuō)明理由；???（2）證明：，且???；（3）證明：當(dāng)時(shí)，，，?，，成等比數(shù)列．試卷第3頁(yè)，總8頁(yè) 參考答案與試題解析2009年北京市高考數(shù)學(xué)試卷（理科）一、選擇題（共8小題，每小題5分，滿分40分）1.B2.D3.C4.D5.A6.C7.B8.A二、填空題（共6小題，每小題5分，滿分30分）9.10.11.12.,13.?量14.,三、解答題（共6小題，滿分80分）15.解：（1）∵、?、為?的內(nèi)角，且?，cos，?∴為銳角，?則sincos∴?????∴sinsin?cos?sin；?????（2）由（1）知sin，sin，又∵?，?，?∴在?中，由正弦定理，得sin∴，sin???????∴?的面積sin?．16.（1）證明：∵底面?，∴?．試卷第4頁(yè)，總8頁(yè) 又?，∴?，∴?平面．（2）解：∵?為?的中點(diǎn)，??，∴??．又由（1）知，?平面，∴?平面，垂足為點(diǎn)，∴?是?與平面所成的角．∵底面?，∴?．又?，∴?為等腰直角三角形，∴??．在?中，?，∴??，??∴在?中，sin?，??即?與平面所成角的正弦值為．（3）解：∵??，又由（1）知，?平面，∴?平面．又∵平面，平面?，∴?，?，∴為二面角?的平面角．∵底面?，∴，∴，∴在棱上存在一點(diǎn)，使得．這時(shí)，，故存在點(diǎn)使得二面角?是直二面角．17.解：（1）設(shè)這名學(xué)生在上學(xué)路上到第三個(gè)路口時(shí)首次遇到紅燈為事件，∵事件等于事件“這名學(xué)生在第一和第二個(gè)路口沒(méi)有遇到紅燈，在第三個(gè)路口遇到紅燈”，∴事件的概率為??????（2）由題意可得可能取的值為，，，，（單位：min）事件“”等價(jià)于事件“該學(xué)生在路上遇到次紅燈”?量量量?量，???量量量?量，∴???∴即的分布列是試卷第5頁(yè)，總8頁(yè) ??∴的期望是?????18.解：（1）????，??，?，曲線?在點(diǎn)（量?）處的切線方程為；（2）由????，得?，若，則當(dāng)?量時(shí)，??晦，函數(shù)?單調(diào)遞減，當(dāng)（量?,）時(shí)，??，函數(shù)?單調(diào)遞增，若晦，則當(dāng)?量時(shí)，??，函數(shù)?單調(diào)遞增，當(dāng)（量?,）時(shí)，??晦，函數(shù)?單調(diào)遞減；（3）由（2）知，若，則當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)??量?jī)?nèi)單調(diào)遞增，若晦，則當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)??量?jī)?nèi)單調(diào)遞增，綜上可知，函數(shù)??量?jī)?nèi)單調(diào)遞增時(shí)，的取值范圍是量?量．?19.解：（1）由題意，?，?解得，?，，∴所求雙曲的方程．（2）設(shè)??量??在?上，?圓在點(diǎn)??量處的切線方程為??，化簡(jiǎn)得??．以及??得????????，∵切與雙曲線交于不同的兩點(diǎn)、?，且晦?晦，??，且??????，設(shè)、?兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別?量，?量，試卷第6頁(yè)，總8頁(yè) ?????，??．∵cos??，且????????????????????????????．????∴?的大小為．20.解：（1）由于?與均不屬于數(shù)集，?，，∴該數(shù)集不具有性質(zhì)．?由于，?，，?，，，，，，都屬于數(shù)集，，?，，??∴該數(shù)集具有性質(zhì)．（2）∵量量量具有性質(zhì)，∴與中至少有一個(gè)屬于，由于晦晦晦，∴故．從而，．∵晦晦，，∴?量?量,…,，故?量?量,…,．由具有性質(zhì)可知?量?量,…,．又∵晦晦晦晦，∴，，…，，從而???????，???∴且???；（3）由（2）知，當(dāng)時(shí)，有，?，即?，?∵晦晦晦，∴?，∴?，由具有性質(zhì)可知．??由?，得，???且晦，∴，?試卷第7頁(yè)，總8頁(yè) ?∴，?即，，?，，是首項(xiàng)為，公比為等比數(shù)列．試卷第8頁(yè)，總8頁(yè)