2011年北京市高考數(shù)學試卷（理科）一、選擇題（共8小題，每小題5分，滿分40分）)1.已知集合?，??．若，則?的取值范圍是（）A.?B.C.?D.?2.復數(shù)A.B.C.D.3.在極坐標系中，圓sin的圓心的極坐標是()A.B.C.D.4.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的值為A.B.C.D.5.如圖，，，分別與圓切于點，，，延長與圓交于另一點．給出下列三個結論：①；②；③.其中正確結論的序號是()A.①②B.②③C.①③D.①②③試卷第1頁，總9頁,6.根據(jù)統(tǒng)計，一名工人組裝第件某產(chǎn)品所用的時間（單位：分鐘）為?（，為常數(shù)）．已知工人組裝第件產(chǎn)品用時分鐘，組裝第件產(chǎn)品用時分鐘，那么和的值分別是（）A.，B.，C.，D.，7.某四面體的三視圖如圖所示，該四面體四個面的面積中，最大的是（）A.B.C.D.8.設，，?，??．記?為平行四邊形內(nèi)部（不含邊界）的整點的個數(shù)，其中整點是指橫、縱坐標都是整數(shù)的點，則函數(shù)?的值域為（）A.?B.?C.?D.?二、填空題（共6小題，每小題5分，滿分30分）)9.在中．若，，tan，則sin________；?________．10.已知向量?，，?．若?與共線，則?________．11.在等比數(shù)列??中，?，?，則公比________；??????________．12.用數(shù)字，組成四位數(shù)，且數(shù)字，至少都出現(xiàn)一次，這樣的四位數(shù)共有________個．（用數(shù)字作答），13.已知函數(shù)若關于的方程?有兩個不同的實根，，?則數(shù)?的取值范圍是________．14.曲線是平面內(nèi)與兩個定點和的距離的積等于常數(shù)??的點的軌跡．給出下列三個結論：①曲線過坐標原點；②曲線關于坐標原點對稱；③若點在曲線上，則的面積不大于?．其中，所有正確結論的序號是________．試卷第2頁，總9頁,三、解答題（共6小題，滿分80分）)15.已知cossin．求的最小正周期；求在區(qū)間?上的最大值和最小值．16.如圖，在四棱錐中，平面，底面是菱形，，．（1）求證：平面；（2）若，求與所成角的余弦值；（3）當平面與平面垂直時，求的長．17.以下莖葉圖記錄了甲、乙兩組各四名同學的植樹棵數(shù)．乙組記錄中有一個數(shù)據(jù)模糊，無法確認，在圖中以表示．（1）如果，求乙組同學植樹棵數(shù)的平均數(shù)和方差；（2）如果，分別從甲、乙兩組中隨機選取一名同學，求這兩名同學的植樹總棵數(shù)的分布列和數(shù)學期望．（注：方差?，其中為，，…的平均數(shù)）18.已知函數(shù)??．（1）求的單調(diào)區(qū)間；（2）若對于任意的，都有，求?的取值范圍．19.已知橢圓：．過點過作圓的切線交橢圓于，兩點．求橢圓的焦點坐標和離心率；將表示為過的函數(shù)，并求的最大值．20.若數(shù)列?，?，…，?滿足?????,…,，數(shù)列為數(shù)列，記??????．（1）寫出一個滿足??，且的數(shù)列；（2）若?，，證明：數(shù)列是遞增數(shù)列的充要條件是?；試卷第3頁，總9頁,（3）對任意給定的整數(shù)，是否存在首項為的數(shù)列，使得？如果存在，寫出一個滿足條件的數(shù)列；如果不存在，說明理由．試卷第4頁，總9頁,參考答案與試題解析2011年北京市高考數(shù)學試卷（理科）一、選擇題（共8小題，每小題5分，滿分40分）1.C2.A3.B4.D5.A6.D7.C8.C二、填空題（共6小題，每小題5分，滿分30分）9.,10.11.,12.13.14.②③三、解答題（共6小題，滿分80分）15.解：∵cossin，cossincossincossincossin，所以函數(shù)的最小正周期為；∵，∴，∴當，即時，取最大值，當時，即時，取得最小值．16.解：（1）證明：因為四邊形是菱形，所以，又因為平面，所以，所以平面試卷第5頁，總9頁,（2）設，因為，，所以，，以為坐標原點，分別以，為軸、軸，以過且垂直于平面的直線為軸，建立空間直角坐標系，則，，，所以，設與所成的角為，則cos（3）由（2）知，設，??，則?設平面的法向量過則過過，所以令，則，，??平面的法向量所以過，?同理平面的法向量，因為平面平面，?所以過，即，解得?，?所以．17.解：（1）當，乙組同學植樹棵數(shù)是，，，，平均數(shù)是，方差為?；（2）當時，甲組同學的植樹棵數(shù)是，，，；乙組同學的植樹棵數(shù)是，，，，分別從甲和乙兩組中隨機取一名同學，共有種結果，這兩名同學植樹的總棵數(shù)可能是，，，，，事件，表示甲組選出的同學植樹棵，乙組選出的同學植樹棵，∴，試卷第6頁，總9頁,?????∴隨機變量的期望是．18.解：（1）???????，??令?，得?當?時，?隨的變化情況如下：???????+-+遞?遞遞增減增所以，的單調(diào)遞增區(qū)間是?，和?，單調(diào)遞減區(qū)間是??；當??時，?隨的變化情況如下：???????-+-遞遞?遞減增減所以，的單調(diào)遞減區(qū)間是?，和?，單調(diào)遞增區(qū)間是??；?（2）當?時，有??，不合題意，?當??時，由（1）知在上的最大值是?，?∴任意的，，?，解得??，故對于任意的，都有，?的取值范圍是??．19.解：由題意得?，，∴.∴橢圓的焦點坐標，，∴離心率．?由題意知：過，當過時，切線的方程為，點點此時；當過時，同理可得；當過時，設切線的方程為：?過，由試卷第7頁，總9頁,?過??過?過，設，?過?過則?，?又由與圓相切，?過?∴圓心到直線的距離等于圓的半徑即過，??∴???過?過????過，過由于當過時，，過當過時，，過此時過?，過又（當且僅當過時，），過過過∴的最大值為．故的最大值為．20.解：（1），，，，是一個滿足條件的數(shù)列（2）必要性：因為數(shù)列是遞增數(shù)列所以?????,…,所以是首項為，公差為的等差數(shù)列．所以?充分性：由于????…??，所以??，即??又因為?，?所以??故?????,…,，即是遞增數(shù)列．綜上所述，結論成立．（3）設??????,…,，則?因為????…?????所以????????????因為?，所以?為偶數(shù)?,…,）試卷第8頁，總9頁,所以???為偶數(shù)所以要使，必須使為偶數(shù)即整除，亦即過或過過當過過時，數(shù)列的項滿足??，?，??????,…,）此時，有?且成立當過過時，數(shù)列的項滿足?????????,…,）?過時，亦有?且成立當過或過過過時，不能被整除，此時不存在數(shù)列數(shù)列，使得?且成立試卷第9頁，總9頁