2011年北京市高考數(shù)學(xué)試卷（理科）一、選擇題（共8小題，每小題5分，滿分40分）)1.已知集合?，??．若，則?的取值范圍是（）A.?B.C.?D.?2.復(fù)數(shù)A.B.C.D.3.在極坐標(biāo)系中，圓sin的圓心的極坐標(biāo)是()A.B.C.D.4.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的值為A.B.C.D.5.如圖，，，分別與圓切于點(diǎn)，，，延長(zhǎng)與圓交于另一點(diǎn)．給出下列三個(gè)結(jié)論：①；②；③.其中正確結(jié)論的序號(hào)是()A.①②B.②③C.①③D.①②③試卷第1頁，總9頁,6.根據(jù)統(tǒng)計(jì)，一名工人組裝第件某產(chǎn)品所用的時(shí)間（單位：分鐘）為?（，為常數(shù)）．已知工人組裝第件產(chǎn)品用時(shí)分鐘，組裝第件產(chǎn)品用時(shí)分鐘，那么和的值分別是（）A.，B.，C.，D.，7.某四面體的三視圖如圖所示，該四面體四個(gè)面的面積中，最大的是（）A.B.C.D.8.設(shè)，，?，??．記?為平行四邊形內(nèi)部（不含邊界）的整點(diǎn)的個(gè)數(shù)，其中整點(diǎn)是指橫、縱坐標(biāo)都是整數(shù)的點(diǎn)，則函數(shù)?的值域?yàn)椋ǎ〢.?B.?C.?D.?二、填空題（共6小題，每小題5分，滿分30分）)9.在中．若，，tan，則sin________；?________．10.已知向量?，，?．若?與共線，則?________．11.在等比數(shù)列??中，?，?，則公比________；??????________．12.用數(shù)字，組成四位數(shù)，且數(shù)字，至少都出現(xiàn)一次，這樣的四位數(shù)共有________個(gè)．（用數(shù)字作答），13.已知函數(shù)若關(guān)于的方程?有兩個(gè)不同的實(shí)根，，?則數(shù)?的取值范圍是________．14.曲線是平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)和的距離的積等于常數(shù)??的點(diǎn)的軌跡．給出下列三個(gè)結(jié)論：①曲線過坐標(biāo)原點(diǎn)；②曲線關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱；③若點(diǎn)在曲線上，則的面積不大于?．其中，所有正確結(jié)論的序號(hào)是________．試卷第2頁，總9頁,三、解答題（共6小題，滿分80分）)15.已知cossin．求的最小正周期；求在區(qū)間?上的最大值和最小值．16.如圖，在四棱錐中，平面，底面是菱形，，．（1）求證：平面；（2）若，求與所成角的余弦值；（3）當(dāng)平面與平面垂直時(shí)，求的長(zhǎng)．17.以下莖葉圖記錄了甲、乙兩組各四名同學(xué)的植樹棵數(shù)．乙組記錄中有一個(gè)數(shù)據(jù)模糊，無法確認(rèn)，在圖中以表示．（1）如果，求乙組同學(xué)植樹棵數(shù)的平均數(shù)和方差；（2）如果，分別從甲、乙兩組中隨機(jī)選取一名同學(xué)，求這兩名同學(xué)的植樹總棵數(shù)的分布列和數(shù)學(xué)期望．（注：方差?，其中為，，…的平均數(shù)）18.已知函數(shù)??．（1）求的單調(diào)區(qū)間；（2）若對(duì)于任意的，都有，求?的取值范圍．19.已知橢圓：．過點(diǎn)過作圓的切線交橢圓于，兩點(diǎn)．求橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)和離心率；將表示為過的函數(shù)，并求的最大值．20.若數(shù)列?，?，…，?滿足?????,…,，數(shù)列為數(shù)列，記??????．（1）寫出一個(gè)滿足??，且的數(shù)列；（2）若?，，證明：數(shù)列是遞增數(shù)列的充要條件是?；試卷第3頁，總9頁,（3）對(duì)任意給定的整數(shù)，是否存在首項(xiàng)為的數(shù)列，使得？如果存在，寫出一個(gè)滿足條件的數(shù)列；如果不存在，說明理由．試卷第4頁，總9頁,參考答案與試題解析2011年北京市高考數(shù)學(xué)試卷（理科）一、選擇題（共8小題，每小題5分，滿分40分）1.C2.A3.B4.D5.A6.D7.C8.C二、填空題（共6小題，每小題5分，滿分30分）9.,10.11.,12.13.14.②③三、解答題（共6小題，滿分80分）15.解：∵cossin，cossincossincossincossin，所以函數(shù)的最小正周期為；∵，∴，∴當(dāng)，即時(shí)，取最大值，當(dāng)時(shí)，即時(shí)，取得最小值．16.解：（1）證明：因?yàn)樗倪呅问橇庑?，所以，又因?yàn)槠矫?，所以，所以平面試卷?頁，總9頁,（2）設(shè)，因?yàn)?，，所以，，以為坐?biāo)原點(diǎn)，分別以，為軸、軸，以過且垂直于平面的直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，所以，設(shè)與所成的角為，則cos（3）由（2）知，設(shè)，??，則?設(shè)平面的法向量過則過過，所以令，則，，??平面的法向量所以過，?同理平面的法向量，因?yàn)槠矫嫫矫妫?所以過，即，解得?，?所以．17.解：（1）當(dāng)，乙組同學(xué)植樹棵數(shù)是，，，，平均數(shù)是，方差為?；（2）當(dāng)時(shí)，甲組同學(xué)的植樹棵數(shù)是，，，；乙組同學(xué)的植樹棵數(shù)是，，，，分別從甲和乙兩組中隨機(jī)取一名同學(xué)，共有種結(jié)果，這兩名同學(xué)植樹的總棵數(shù)可能是，，，，，事件，表示甲組選出的同學(xué)植樹棵，乙組選出的同學(xué)植樹棵，∴，試卷第6頁，總9頁,?????∴隨機(jī)變量的期望是．18.解：（1）???????，??令?，得?當(dāng)?時(shí)，?隨的變化情況如下：???????+-+遞?遞遞增減增所以，的單調(diào)遞增區(qū)間是?，和?，單調(diào)遞減區(qū)間是??；當(dāng)??時(shí)，?隨的變化情況如下：???????-+-遞遞?遞減增減所以，的單調(diào)遞減區(qū)間是?，和?，單調(diào)遞增區(qū)間是??；?（2）當(dāng)?時(shí)，有??，不合題意，?當(dāng)??時(shí)，由（1）知在上的最大值是?，?∴任意的，，?，解得??，故對(duì)于任意的，都有，?的取值范圍是??．19.解：由題意得?，，∴.∴橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)，，∴離心率．?由題意知：過，當(dāng)過時(shí)，切線的方程為，點(diǎn)點(diǎn)此時(shí)；當(dāng)過時(shí)，同理可得；當(dāng)過時(shí)，設(shè)切線的方程為：?過，由試卷第7頁，總9頁,?過??過?過，設(shè)，?過?過則?，?又由與圓相切，?過?∴圓心到直線的距離等于圓的半徑即過，??∴???過?過????過，過由于當(dāng)過時(shí)，，過當(dāng)過時(shí)，，過此時(shí)過?，過又（當(dāng)且僅當(dāng)過時(shí)，），過過過∴的最大值為．故的最大值為．20.解：（1），，，，是一個(gè)滿足條件的數(shù)列（2）必要性：因?yàn)閿?shù)列是遞增數(shù)列所以?????,…,所以是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列．所以?充分性：由于????…??，所以??，即??又因?yàn)?，?所以??故?????,…,，即是遞增數(shù)列．綜上所述，結(jié)論成立．（3）設(shè)??????,…,，則?因?yàn)????…?????所以????????????因?yàn)?，所以?為偶數(shù)?,…,）試卷第8頁，總9頁,所以???為偶數(shù)所以要使，必須使為偶數(shù)即整除，亦即過或過過當(dāng)過過時(shí)，數(shù)列的項(xiàng)滿足??，?，??????,…,）此時(shí)，有?且成立當(dāng)過過時(shí)，數(shù)列的項(xiàng)滿足?????????,…,）?過時(shí)，亦有?且成立當(dāng)過或過過過時(shí)，不能被整除，此時(shí)不存在數(shù)列數(shù)列，使得?且成立試卷第9頁，總9頁