2011年北京市高考數(shù)學(xué)試卷（文科）一、選擇題（共8小題，每小題5分，滿分40分）)1.已知全集U=R，集合P={x|x2≤1}，那么?UP=()A.(-∞, -1]B.[1, +∞)C.[-1, 1]D.(-∞, -1)∪(1, +∞)2.復(fù)數(shù)i-21+2i=()A.iB.-iC.-45-35iD.-45+35i3.如果log12x0)的一條漸近線的方程為y=2x，則b=________．11.已知向量a→=(3, 1)，b→=(0, -1)，c→=(k, 3)．若a→-2b→與c→共線，則k=________．12.在等比數(shù)列{an}中，a1=12，a4=-4，則公比q=________；a1+a2+...+an=________．13.已知函數(shù)f(x)=2x，x≥2(x-1)3，x<2若關(guān)于x 的方程f(x)=k有兩個(gè)不同的實(shí)根，則數(shù)k的取值范圍是________．14.設(shè)A(0, 0)，B(4, 0)，C(t+4, 3)，D(t, 3)(t∈R)．記N(t)為平行四邊形ABCD內(nèi)部（不含邊界）的整點(diǎn)的個(gè)數(shù)，其中整點(diǎn)是指橫、縱坐標(biāo)都是整數(shù)的點(diǎn)，則N(0)=________，N(t)的所有可能取值為_(kāi)_______．三、解答題（共6小題，滿分80分）)15.已知f(x)=4cosxsin(x+π6)-1．1求f(x)的最小正周期；2求f(x)在區(qū)間[-π6, π4]上的最大值和最小值．16.以下莖葉圖記錄了甲、乙兩組各四名同學(xué)的植樹(shù)棵樹(shù)．乙組記錄中有一個(gè)數(shù)據(jù)模糊，無(wú)法確認(rèn)，在圖中以X表示．（1）如果X=8，求乙組同學(xué)植樹(shù)棵樹(shù)的平均數(shù)和方差；（注：方差S2=1n[(x1-x→)2+(x2-x→)2+…+(xn-x→)2]，其中x→為x1，x2，…，xn的平均數(shù)）（2）如果X=9，分別從甲、乙兩組中隨機(jī)選取一名同學(xué)，求這兩名同學(xué)的植樹(shù)總棵數(shù)為19的概率．試卷第7頁(yè)，總7頁(yè), 17.如圖，在四面體PABC中，PC⊥AB，PA⊥BC，點(diǎn)D，E，F(xiàn)，G分別是棱AP，AC，BC，PB的中點(diǎn)．（1）求證：DE // 平面BCP；（2）求證：四邊形DEFG為矩形；（3）是否存在點(diǎn)Q，到四面體PABC六條棱的中點(diǎn)的距離相等？說(shuō)明理由．18.已知函數(shù)f(x)=(x-k)ex．（1）求f(x)的單調(diào)區(qū)間；（2）求f(x)在區(qū)間[0, 1]上的最小值．19.已知橢圓G:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的離心率為63，右焦點(diǎn)為(22, 0)，斜率為1的直線l與橢圓G交與A、B兩點(diǎn)，以AB為底邊作等腰三角形，頂點(diǎn)為P(-3, 2)．(1)求橢圓G的方程；(2)求△PAB的面積．20.若數(shù)列An:a1，a2，…，an(n≥2)滿足|ak+1-ak|=1(k=1, 2,…,n-1)，則稱An為E數(shù)列，記S(An)=a1+a2+...+an．（1）寫(xiě)出一個(gè)E數(shù)列A5滿足a1=a3=0；（2）若a1=12，n=2000，證明：E數(shù)列An是遞增數(shù)列的充要條件是an=2011；（3）在a1=4的E數(shù)列An中，求使得S(An)=0成立得n的最小值．試卷第7頁(yè)，總7頁(yè), 參考答案與試題解析2011年北京市高考數(shù)學(xué)試卷（文科）一、選擇題（共8小題，每小題5分，滿分40分）1.D2.A3.D4.D5.B6.C7.B8.A二、填空題（共6小題，每小題5分，滿分30分）9.52310.211.112.-2,1-(-2)n613.(0, 1)14.6,6、7、8三、解答題（共6小題，滿分80分）15.解：1∵f(x)=4cosxsin(x+π6)-1，=4cosx(32sinx+12cosx)-1=3sin2x+2cos2x-1=3sin2x+cos2x=2sin(2x+π6)，所以函數(shù)的最小正周期為π；2∵-π6≤x≤π4，∴-π6≤2x+π6≤2π3，∴當(dāng)2x+π6=π2，即x=π6時(shí)，f(x)取最大值2，當(dāng)2x+π6=-π6時(shí)，即x=-π6時(shí)，f(x)取得最小值-1．16.解：（1）當(dāng)X=8時(shí)，由莖葉圖可知乙組同學(xué)的植樹(shù)棵樹(shù)是8，8，9，10，∴平均數(shù)是X=8+8+9+104=354，方差是14×[(8-354)2+(8-354)2+(9-354)2+(10-354)2]=1116．（2）由題意知本題是一個(gè)等可能事件的概率．若X=9，分別從甲、乙兩組中隨機(jī)選取一名同學(xué)，共有16種結(jié)果，滿足條件的事件是這兩名同學(xué)的植樹(shù)總棵數(shù)為19，試卷第7頁(yè)，總7頁(yè), 包括：(9, 10)，(11, 8)，(11, 8)，(9, 10)共有4種結(jié)果，∴根據(jù)等可能事件的概率公式得到P=416=14．17.證明：（1）∵D，E分別為AP，AC的中點(diǎn)，∴DE // PC，∵DE⊄平面BCP，∴DE // 平面BCP．（2）∵D，E，F(xiàn)，G分別為AP，AC，BC，PB的中點(diǎn)，∴DE // PC // FG，DG // AB // EF∴四邊形DEFG為平行四邊形，∵PC⊥AB，∴DE⊥DG，∴四邊形DEFG為矩形．（3）存在點(diǎn)Q滿足條件，理由如下：連接DF，EG，設(shè)Q為EG的中點(diǎn)，由（2）知DF∩EG=Q，且QD=QE=QF=QG=12EG，分別取PC，AB的中點(diǎn)M，N，連接ME，EN，NG，MG，MN，與（2）同理，可證四邊形MENG為矩形，其對(duì)角線交點(diǎn)為EG的中點(diǎn)Q，且QM=QN=12EG，∴Q為滿足條件的點(diǎn)．18.解：（1）f'(x)=(x-k+1)ex，令f'(x)=0，得x=k-1，f'(x)f(x)隨x的變化情況如下：x(-∞, k-1)k-1(k-1, +∞) f'(x)-0+ f(x)↓-ek-1↑∴f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(-∞, k-1)，f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間(k-1, +∞)；（2）當(dāng)k-1≤0，即k≤1時(shí)，函數(shù)f(x)在區(qū)間[0, 1]上單調(diào)遞增，∴f(x)在區(qū)間[0, 1]上的最小值為f(0)=-k；當(dāng)00(k=1, 2,…,1999)，即An是遞增數(shù)列．綜上所述，結(jié)論成立．（3）對(duì)首項(xiàng)為4的E數(shù)列An，由于 a2≥a1-1=3 a3≥a2-1≥2試卷第7頁(yè)，總7頁(yè), … a8≥a7-1≥-3 …所以a1+a2+...+ak>0(k=2, 3,…,8)，所以對(duì)任意的首項(xiàng)為4的E數(shù)列An，若S(An)=0，則必有n≥9，又a1=4的E數(shù)列A9:4，3，2，1，0，-1，-2，-3，-4滿足S(A9)=0，所以n的最小值是9．試卷第7頁(yè)，總7頁(yè)
