2012年北京市高考數(shù)學(xué)試卷（理科）一、選擇題共8小題．每小題5分.共40分.在每小題列出的四個選項(xiàng)中，選出符合勝目要求的一項(xiàng).)1.已知集合???，????，則??A.???B.???C.﹙?，﹚D.??，2.設(shè)不等式組表示的平面區(qū)域?yàn)椋趨^(qū)域內(nèi)隨機(jī)取一個點(diǎn)，則此點(diǎn)??，到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離大于?的概率是???A.B.C.D.?3.設(shè)，．“＝?”是“復(fù)數(shù)是純虛數(shù)”的（）A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件4.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出的的值為A.?.D.C.B?5.如圖，??，?于點(diǎn)，以為直徑的圓與?交于點(diǎn)．則（）試卷第1頁，總9頁 A.??B.??C.????.D?6.從?、?從．字?jǐn)?shù)個一選中?、、中選兩個數(shù)字，組成無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)．其中奇數(shù)的個數(shù)為（）A.??.C?.B?D.7.某三棱錐的三視圖如圖所示，該三棱錐的表面積是A.???.D??.C?.B?8.某棵果樹前年的總產(chǎn)量與之間的關(guān)系如圖所示．從目前記錄的結(jié)果看，前年的年平均產(chǎn)量最高，則的值為（）A.B.C.D.??二.填空題共6小題．每小題5分．共30分.)?cos9.直線（為參數(shù)）與曲線（為參數(shù)）的交點(diǎn)個數(shù)為________．???sin?10.已知﹛﹜是等差數(shù)列，為其前項(xiàng)和．若?則，?，?________．??11.在?中，若?，，cos?，則________．12.在直角坐標(biāo)系2中．直線過拋物線?的焦點(diǎn)．且與該拋物線相交于、兩點(diǎn)．其中點(diǎn)在軸上方．若直線的傾斜角為?．則2的面積為________．13.已知正方形?的邊長為?，點(diǎn)是邊上的動點(diǎn)．則?的值為________．14.已知????，?，若同時(shí)滿足條件：①，?或?，②??，?，則的取值范圍為________．試卷第2頁，總9頁 三、解答題公6小題，共80分．解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程．)sin?cossin?15.已知函數(shù)．sin?求的定義域及最小正周期；?求的單調(diào)遞增區(qū)間．16.如圖?，在?中，??，?，?，，分別是?，上的點(diǎn)，且?，?使，置位的?到起折沿將，???，如圖?．?：證求??平面?；?面平與?求，點(diǎn)中的?是若?所成角的大??；線段?上是否存在點(diǎn)，使平面?面平與?垂直？說明理由．17.近年來，某市為了促進(jìn)生活垃圾的分類處理，將生活垃圾分為廚余垃圾、可回收物和其他垃圾三類，并分別設(shè)置了相應(yīng)的垃圾箱，為調(diào)查居民生活垃圾分類投放情況，現(xiàn)隨機(jī)抽取了該市三類垃圾箱中總計(jì)????噸生活垃圾，數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)如下（單位：噸）：“廚余垃圾”箱“可回收物”箱“其他垃圾”箱廚余垃圾????????可回收物????其他垃圾??????試估計(jì)廚余垃圾投放正確的概率；?試估計(jì)生活垃圾投放錯誤的概率；假設(shè)廚余垃圾在“廚余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的投放量分別為，，，其中?，??．當(dāng)數(shù)據(jù)，，的方差?最大時(shí)，寫出，，的值（結(jié)論不要求證明），并求此時(shí)?的值．?????（注：?，?據(jù)數(shù)為中其，?????，，的平均數(shù)）18.已知函數(shù)???，（1）若曲線與曲線在它們的交點(diǎn)?處具有公共切線，求、的值；（2）當(dāng)???間區(qū)在其求并，間區(qū)調(diào)單的數(shù)函求，時(shí)?上的最大值．19.已知曲線?：?????試卷第3頁，總9頁 （1）若曲線?是焦點(diǎn)在軸點(diǎn)上的橢圓，求的取值范圍；（2）設(shè)，曲線與軸的交點(diǎn)為，（點(diǎn)位于點(diǎn)的上方），直線與曲線交于不同的兩點(diǎn)、，直線?與直線交于點(diǎn)．求證：，，三點(diǎn)共線．20.設(shè)是由個實(shí)數(shù)組成的行列的數(shù)表，滿足：每個數(shù)的絕對值不大于?，且所有數(shù)的和為零，記為所有這樣的數(shù)表構(gòu)成的集合．對于，記為的第ⅰ行各數(shù)之和?和之?dāng)?shù)各列第的為?，ⅰ?；記為????，????，??，…，???，???，…，???中的最小值．（1）如表，求的值；?????????????（2）設(shè)數(shù)表?形如????求的最大值；（3）給定正整數(shù)，對于所有的???，求的最大值．試卷第4頁，總9頁 參考答案與試題解析2012年北京市高考數(shù)學(xué)試卷（理科）一、選擇題共8小題．每小題5分.共40分.在每小題列出的四個選項(xiàng)中，選出符合勝目要求的一項(xiàng).1.D2.D3.B4.C5.A6.B7.B8.C二.填空題共6小題．每小題5分．共30分.9.?10.?11.12.13.?14.???三、解答題公6小題，共80分．解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程．sin?cossin?15.解：?sinsin?cos?sincossin?sin?coscossin????nis??soc????，∵sin?，∴，即原函數(shù)的定義域?yàn)?，?∵，∴最小正周期為．??????由?，，??解得?，，又?，原函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為?，，.16.??，?，?∵：明證?，∴平面??，又∵??平面??，試卷第5頁，總9頁 ∴??，又???，?，∴??平面?.???，??，????，????，????則，系建圖如：解??，∴??????，????設(shè)平面?法向量為，??，??，???∴??????∴???∴???,又∵???，∴????,?∴cos?????????.????∴?與平面?所成角的大小.解：設(shè)線段?上存在點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為??，則?，∴?，?????，設(shè)平面????為量向法?，?????，則????，試卷第6頁，總9頁 ??，∴????，?∴??，假設(shè)平面?則，直垂?面平與??，∴??，???，???.∵?，∴不存在線段?上存在點(diǎn)，使平面?面平與?垂直.17.解：??????為圾垃余廚：知可格表由?????（噸），投放到“廚余垃圾”箱的廚余垃圾??噸，???故廚余垃圾投放正確的概率為.???有共圾垃活生：知可格表由????噸，生活垃圾投放錯誤有??????????????（噸），??故生活垃圾投放錯誤的概率為??.??????∵??，∴，，的平均數(shù)為???，?????∴???????????????????????????????????????????????????.∵??????????，??故???????????????，因此有當(dāng)??，?，?時(shí)，方差?最大為????．18.解：（1）??，?則，???，，則?，?，由?：得可，點(diǎn)切共公為?①又??，??，∴??，即，代入①式可得：．????（2）由題設(shè)，設(shè)????則?，??：得解，?令，??；?∵?，∴??，?試卷第7頁，總9頁 ????????，?，?+-+極極大小值值∴原函數(shù)在??單調(diào)遞增，在?，?單調(diào)遞減，在?，上單調(diào)??遞增①若????在，時(shí)??即，??遞增，無最大值；?②若????為值大最，時(shí)?即，??；??③若???為值大最，時(shí)即，時(shí)??．?綜上所述：當(dāng)???為值大最，時(shí)?當(dāng)；值大最無，時(shí)?．???19.（1）解：原曲線方程可化簡得：???????由題意，曲線?是焦點(diǎn)在軸點(diǎn)上的橢圓可得：?，解得：?????（2）證明：由已知直線代入橢圓方程化簡得：???????，??????，解得：???由韋達(dá)定理得：??，①???，②??設(shè)，，??：為程方，?，則，?，∴??，?，欲證，，三點(diǎn)共線，只需證，共線即??成立，化簡得：?將①②代入可得等式成立，則，，三點(diǎn)共線得證．20.解：（1）由題意可知?，????，?????，??????，???∴??試卷第8頁，總9頁 （2）先用反證法證明?：若?則????????，∴?同理可知?，∴?由題目所有數(shù)和為?即??∴??????與題目條件矛盾∴?．易知當(dāng)?時(shí)，?存在∴的最大值為???（3）的最大值為．???首先構(gòu)造滿足的????：??,…,??????????????，????????，??，???????????．經(jīng)計(jì)算知，中每個元素的絕對值都小于??且，?為和之素元有所，????????????????????，??，???????????????????．????下面證明是最大值．若不然，則存在一個數(shù)表???，使得???．?由的定義知的每一列兩個數(shù)之和的絕對值都不小于，而兩個絕對值不超過?的數(shù)的和，其絕對值不超過?間區(qū)在都值對絕的和之?dāng)?shù)個兩列一每的故，?中．由于?，故的每一列兩個數(shù)符號均與列和的符號相同，且絕對值均不小于??．設(shè)中有列的列和為正，有列的列和為負(fù)，由對稱性不妨設(shè)，則，?．另外，由對稱性不妨設(shè)的第一行行和為正，第二行行和為負(fù)．考慮的第一行，由前面結(jié)論知的第一行有不超過個正數(shù)和不少于?個負(fù)數(shù)，每個正數(shù)的絕對值不超過?過超不均數(shù)正個每即（?），每個負(fù)數(shù)的絕對值不小于??????????此因．）??過超不均數(shù)負(fù)個每即（????????，??故的第一行行和的絕對值小于，與假設(shè)矛盾．因此的最大值為．?試卷第9頁，總9頁