2013年北京市高考數(shù)學試卷（文科）一、選擇題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項．)1.已知集合A={-1, 0, 1}，B={x|-1≤x<1}，則A∩B=（）A.{0}B.{-1, 0}C.{0, 1}D.{-1, 0, 1}2.設a，b，c∈R，且a>b，則(    )A.ac>bcB.1a<1bC.a2>b2D.a3>b33.下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在區(qū)間(0, +∞)上是單調遞減的是()A.y=1xB.y=e-xC.y=-x2+1D.y=lg|x|4.在復平面內，復數(shù)i(2-i)對應的點位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限5.在△ABC中，a=3，b=5，sinA=13，則sinB=（）A.15B.59C.53D.16.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的S值為(    )A.1B.23C.1321D.6109877.雙曲線x2-y2m=1的離心率大于2的充分必要條件是（）A.m>12B.m≥1C.m>1D.m>2試卷第7頁，總7頁, 8.如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，P為對角線BD1的三等分點，P到各頂點的距離的不同取值有（）A.3個B.4個C.5個D.6個二、填空題共6小題，每小題5分，共30分．)9.若拋物線y2=2px的焦點坐標為(1, 0)，則p=________；準線方程為________．10.某四棱錐的三視圖如圖所示，該四棱錐的體積為________．11.若等比數(shù)列{an}滿足a2+a4=20，a3+a5=40，則公比q=________；前n項和Sn=________．12.設D為不等式組x≥02x-y≤0x+y-3≤0表示的平面區(qū)域，區(qū)域D上的點與點(1, 0)之間的距離的最小值為________．13.函數(shù)f(x)=log12x,x≥12x,x<1?的值域為________．14.已知點A(1, -1)，B(3, 0)，C(2, 1)．若平面區(qū)域D由所有滿足AP→=λAB→+μAC→(1≤λ≤2, 0≤μ≤1)的點P組成，則D的面積為________．三、解答題共6小題，共80分．解答應寫出文字說明，演算步驟或證明過程．)15.已知函數(shù)f(x)=(2cos2x-1)sin2x+12cos4x．(1)求f(x)的最小正周期及最大值；(2)若α∈π2,π，且f(α)=22，求α的值．16.如圖是某市3月1日至14日的空氣質量指數(shù)趨勢圖．空氣質量指數(shù)小于100表示空氣質量優(yōu)良，空氣質量指數(shù)大于200表示空氣重度污染．某人隨機選擇3月1日至3月13日試卷第7頁，總7頁, 中的某一天到達該市，并停留2天．(1)求此人到達當日空氣重度污染的概率；(2)求此人在該市停留期間只有1天空氣重度污染的概率；(3)由圖判斷從哪天開始連續(xù)三天的空氣質量指數(shù)方差最大？（結論不要求證明）17.如圖，在四棱錐P-ABCD中，AB // CD，AB⊥AD，CD=2AB，平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD．E和F分別是CD和PC的中點，求證：(1)PA⊥底面ABCD；(2)BE // 平面PAD；(3)平面BEF⊥平面PCD．18.已知函數(shù)f(x)=x2+xsinx+cosx.(1)若曲線y=f(x)在點(a, f(a))處與直線y=b相切，求a，b的值；(2)若曲線y=f(x)與直線y=b有兩個不同交點，求b的取值范圍．19.直線y=kx+m(m≠0)與橢圓W:x24+y2=1相交于A，C兩點，O是坐標原點．(1)當點B的坐標為(0, 1)，且四邊形OABC為菱形時，求AC的長；(2)當點B在W上且不是W的頂點時，證明：四邊形OABC不可能為菱形．20.給定數(shù)列a1，a2，…，an．對i=1，2，…，n-1，該數(shù)列前i項的最大值記為Ai，后n-i項ai+1，ai+2，…，an的最小值記為Bi，di=Ai-Bi．(1)設數(shù)列{an}為3，4，7，1，寫出d1，d2，d3的值；(2)設a1，a2，…，an-1(n≥4)是公比大于1的等比數(shù)列，且a1>0．證明：d1，d2，…，dn-1是等比數(shù)列；(3)設d1，d2，…，dn-1是公差大于0的等差數(shù)列，且d1>0．證明：a1，a2，…，an-1是等差數(shù)列．試卷第7頁，總7頁, 參考答案與試題解析2013年北京市高考數(shù)學試卷（文科）一、選擇題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項．1.B2.D3.C4.A5.B6.C7.C8.B二、填空題共6小題，每小題5分，共30分．9.2,x=-110.311.2,2n+1-212.25513.(-∞, 2)14.3三、解答題共6小題，共80分．解答應寫出文字說明，演算步驟或證明過程．15.解：(1)因為f(x)=(2cos2x-1)sin2x+12cos4x=12sin4x+12cos4x=22sin(4x+π4)∴T=2π4=π2，函數(shù)的最大值為：22．(2)∵f(x)=22sin(4x+π4)，f(α)=22，∴sin(4α+π4)=1，∴4α+π4=π2+2kπ，k∈Z，∴α=π16+kπ2，又∵α∈π2,π，∴α=916π．16.解：(1)由圖看出，1日至13日13天的時間內，空氣重度污染的是5日、8日共2天．由古典概型概率計算公式得，此人到達當日空氣質量重度污染的概率P=213.試卷第7頁，總7頁, (2)此人在該市停留期間兩天的空氣質量指數(shù)為(86, 25)，(25, 57)，(57, 143)，(143, 220)，(220, 160)，(160, 40)，(40, 217)，(217, 160)，(160, 121)，(121, 158)，(158, 86)，(86, 79)，(79, 37)共13種情況,其中只有1天空氣重度污染的是(143, 220)，(220, 160)，(40, 217)，(217, 160)共4種情況，所以，此人在該市停留期間只有1天空氣重度污染的概率P=413.(3)因為方差越大，說明三天的空氣質量指數(shù)越不穩(wěn)定，由圖看出從5日開始連續(xù)5，6，7三天的空氣質量指數(shù)方差最大．17.證明：(1)∵PA⊥AD，平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，∴由平面和平面垂直的性質定理可得，PA⊥平面ABCD．(2)∵AB // CD，AB⊥AD，CD=2AB，E和F分別是CD和PC的中點，∴AB=//12CD=DE，∴四邊形ABED為平行四邊形，故有BE // AD．又AD⊂平面PAD，BE不在平面PAD內，故有BE // 平面PAD．(3)平行四邊形ABED中，由AB⊥AD可得，ABED為矩形，故有BE⊥CD①．由PA⊥平面ABCD，可得PA⊥AB，再由AB⊥AD可得AB⊥平面PAD，∴CD⊥平面PAD，故有CD⊥PD．再由E、F分別為CD和PC的中點，可得EF // PD，∴CD⊥EF②．而EF和BE是平面BEF內的兩條相交直線，故有CD⊥平面BEF．由于CD⊂平面PCD，∴平面BEF⊥平面PCD．18.解：(1)f'(x)=2x+xcosx=x(2+cosx)，∵曲線y=f(x)在點(a, f(a))處與直線y=b相切，∴f'(a)=a(2+cosa)=0，f(a)＝b，聯(lián)立2a+acosa=0，a2+asina+cosa=b，?解得a=0，b=1，?故a=0，b=1．(2)∵f'(x)=x(2+cosx)．令f'(x)=0，得x=0，x，f(x)，f'(x)的變化情況如表：試卷第7頁，總7頁, x(-∞, 0)0(0, +∞)f'(x)-0+f(x)1∴函數(shù)f(x)在區(qū)間(-∞, 0)上單調遞減，在區(qū)間(0, +∞)上單調遞增，f(0)=1是f(x)的最小值．故當b>1時曲線y=f(x)與直線y=b有且只有兩個不同的交點．19.解：(1)∵點B的坐標為(0, 1)，當四邊形OABC為菱形時，AC⊥OB，而B(0, 1)，O(0, 0)，∴線段OB的垂直平分線為y=12，將y=12代入橢圓方程得x=±3，因此A、C的坐標為(±3, 12)，如圖，于是AC=23．(2)欲證明四邊形OABC不可能為菱形，利用反證法，假設四邊形OABC為菱形，則有OA=OC，設OA=OC=r，則A、C為圓x2+y2=r2與橢圓W:x24+y2=1的交點，故3x24=r2-1，x2=43(r2-1)，則A、C兩點的橫坐標相等或互為相反數(shù)．從而得到點B是W的頂點．這與題設矛盾．于是結論得證．20.(1)解：當i=1時，A1=3，B1=1，故d1=A1-B1=2，同理可求d2=3，d3=6.(2)證明：因為 a1>0，公比q>1，所以數(shù)列a1,a2,a3，…，ann≥4是遞增數(shù)列．因此，對i=1,2，…，n-1,Ai=ai,Bi=ai+1,所以di=Ai-Bi=ai-ai+1．所以di≠0，且di+1di=qi=1，2…，n-2）.所以數(shù)列d1，d2，…，dn-1是等比數(shù)列.(3)證明：設d為d1，d2，…，dn-1的公差，對1≤i≤n-2，因為Bi≤Bi+1，d>0，所以Ai+1=Bi+1+di+1≥Bi+di+d>Bi+di=Ai，又因為Ai+1=max{Ai, ai+1}，所以ai+1=Ai+1>Ai≥ai．從而a1，a2，…，an-1為遞增數(shù)列．因為Ai=ai(i=1, 2,…n-1)，又因為B1=A1-d1=a1-d1