2016年北京市高考數(shù)學(xué)試卷（理科）一、選擇題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)．)1.已知集合A={x||x|<2}，集合B={-1, 0, 1, 2, 3}，則A∩B=(    )A.{0, 1}B.{0, 1, 2}C.{-1, 0, 1}D.{-1, 0, 1, 2}2.若x，y滿足2x-y≤0x+y≤3x≥0?，則2x+y的最大值為(    )A.0B.3C.4D.53.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸入的a值為1，則輸出的k值為(    )A.1B.2C.3D.44.設(shè)a→，b→是向量，則“|a→|=|b→|”是“|a→+b→|=|a→-b→|”的(    )A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件5.已知x，y∈R，且x>y>0，則(    )A.1x-1y>0B.sinx-siny>0C.(12)x-(12)y<0D.lnx+lny>0試卷第9頁(yè)，總9頁(yè), 6.某三棱錐的三視圖如圖所示，則該三棱錐的體積為(    )A.16B.13C.12D.17.將函數(shù)y=sin2x-π3圖象上的點(diǎn)Pπ4,t向左平移s(s>0)個(gè)單位長(zhǎng)度得到點(diǎn)P'．若P'位于函數(shù)y=sin?2x的圖象上，則(    )A.t=12，s的最小值為π6B.t=32，s的最小值為π6C.t=12，s的最小值為π3D.t=32，s的最小值為π38.袋中裝有偶數(shù)個(gè)球，其中紅球、黑球各占一半．甲、乙、丙是三個(gè)空盒．每次從袋中任意取出兩個(gè)球，將其中一個(gè)球放入甲盒，如果這個(gè)球是紅球，就將另一個(gè)球放入乙盒，否則就放入丙盒．重復(fù)上述過(guò)程，直到袋中所有球都被放入盒中，則(    )A.乙盒中黑球不多于丙盒中黑球B.乙盒中紅球與丙盒中黑球一樣多C.乙盒中紅球不多于丙盒中紅球D.乙盒中黑球與丙盒中紅球一樣多二、填空題共6小題，每小題5分，共30分．)9.設(shè)a∈R，若復(fù)數(shù)(1+i)(a+i)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于實(shí)軸上，則a=________．10.在(1-2x)6的展開(kāi)式中，x2的系數(shù)為_(kāi)_______．（用數(shù)字作答）11.在極坐標(biāo)系中，直線ρcosθ-3ρsinθ-1=0與圓ρ=2cosθ交于A，B兩點(diǎn)，則|AB|=________．12.已知{an}為等差數(shù)列，Sn為其前n項(xiàng)和．若a1=6，a3+a5=0，則S6=________．13.雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0, b>0)的漸近線為正方形OABC的邊OA，OC所在的直線，點(diǎn)B為該雙曲線的焦點(diǎn)．若正方形OABC的邊長(zhǎng)為2，則a=________．14.設(shè)函數(shù)f(x)=x3-3x，x≤a-2x,x>a．①若a=0，則f(x)的最大值為_(kāi)_______；②若f(x)無(wú)最大值，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．三、解答題共6小題，共80分，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，演算步驟或證明過(guò)程．)15.在△ABC中，a2+c2=b2+2ac．試卷第9頁(yè)，總9頁(yè), (1)求∠B的大??；(2)求2cosA+cosC的最大值．16.A，B，C三個(gè)班共有100名學(xué)生，為調(diào)查他們的體育鍛煉情況，通過(guò)分層抽樣獲得了部分學(xué)生一周的鍛煉時(shí)間，數(shù)據(jù)如表（單位：小時(shí)）：A班6    6.5    7    7.5    8B班6     7    8     9     10    11    12C班3    4.5   6    7.5     9    10.5    12    13.5(1)試估計(jì)C班的學(xué)生人數(shù)；(2)從A班和C班抽出的學(xué)生中，各隨機(jī)選取一個(gè)人，A班選出的人記為甲，C班選出的人記為乙．假設(shè)所有學(xué)生的鍛煉時(shí)間相對(duì)獨(dú)立，求該周甲的鍛煉時(shí)間比乙的鍛煉時(shí)間長(zhǎng)的概率；(3)再?gòu)腁，B，C三班中各隨機(jī)抽取一名學(xué)生，他們?cè)撝苠憻挄r(shí)間分別是7，9，8.25（單位：小時(shí)），這3個(gè)新數(shù)據(jù)與表格中的數(shù)據(jù)構(gòu)成的新樣本的平均數(shù)記為μ1，表格中數(shù)據(jù)的平均數(shù)記為μ0，試判斷μ0和μ1的大?。ńY(jié)論不要求證明）17.如圖，在四棱錐P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，PA=PD，AB⊥AD，AB=1，AD=2，AC=CD=5．(1)求證：PD⊥平面PAB；(2)求直線PB與平面PCD所成角的正弦值；(3)在棱PA上是否存在點(diǎn)M，使得BM // 平面PCD？若存在，求AMAP的值，若不存在，說(shuō)明理由．18.設(shè)函數(shù)f(x)=xea-x+bx，曲線y=f(x)在點(diǎn)(2, f(2))處的切線方程為y=(e-1)x+4.(1)求a，b的值；(2)求f(x)的單調(diào)區(qū)間．19.已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的離心率為32，A(a, 0)，B(0, b)，O(0, 0)，△OAB的面積為1．(1)求橢圓C的方程；(2)設(shè)P是橢圓C上一點(diǎn)，直線PA與y軸交于點(diǎn)M，直線PB與x軸交于點(diǎn)N．求證：|AN|⋅|BM|為定值．20.設(shè)數(shù)列A:a1，a2，…，aN (N≥2)．如果對(duì)小于n(2≤n≤N)的每個(gè)正整數(shù)k都有aka1，則G(A)≠?；(3)證明：若數(shù)列A滿足an-an-1≤1(n=2, 3,?,N)，則G(A)的元素個(gè)數(shù)不小于aN-a1．試卷第9頁(yè)，總9頁(yè), 參考答案與試題解析2016年北京市高考數(shù)學(xué)試卷（理科）一、選擇題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)．1.C2.C3.B4.D5.C6.A7.A8.B二、填空題共6小題，每小題5分，共30分．9.-110.6011.212.613.214.2,(-∞, -1)三、解答題共6小題，共80分，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，演算步驟或證明過(guò)程．15.解：(1)∵在△ABC中，a2+c2＝b2+2ac，∴a2+c2-b2=2ac，∴cosB=a2+c2-b22ac=2ac2ac=22，∴B=π4.(2)由(1)得：C=3π4-A，∴2cosA+cosC=2cosA+cos(3π4-A)=2cosA-22cosA+22sinA=22cosA+22sinA＝sin(A+π4)．∵A∈(0, 3π4)，∴A+π4∈(π4, π)，故當(dāng)A+π4=π2時(shí)，sin(A+π4)取最大值1，即2cosA+cosC的最大值為1．試卷第9頁(yè)，總9頁(yè), 16.解：(1)由題意得：三個(gè)班共抽取20個(gè)學(xué)生，其中C班抽取8個(gè)，故抽樣比K=20100=15，故C班有學(xué)生8÷15=40人.(2)從A班和C班抽出的學(xué)生中，各隨機(jī)選取一個(gè)人，共有5×8=40種情況，而且這些情況是等可能發(fā)生的，當(dāng)甲鍛煉時(shí)間為6時(shí)，甲的鍛煉時(shí)間比乙的鍛煉時(shí)間長(zhǎng)有2種情況；當(dāng)甲鍛煉時(shí)間為6.5時(shí)，甲的鍛煉時(shí)間比乙的鍛煉時(shí)間長(zhǎng)有3種情況；當(dāng)甲鍛煉時(shí)間為7時(shí)，甲的鍛煉時(shí)間比乙的鍛煉時(shí)間長(zhǎng)有3種情況；當(dāng)甲鍛煉時(shí)間為7.5時(shí)，甲的鍛煉時(shí)間比乙的鍛煉時(shí)間長(zhǎng)有3種情況；當(dāng)甲鍛煉時(shí)間為8時(shí)，甲的鍛煉時(shí)間比乙的鍛煉時(shí)間長(zhǎng)有4種情況；故該周甲的鍛煉時(shí)間比乙的鍛煉時(shí)間長(zhǎng)的概率P=2+3+3+3+440=38.(3)根據(jù)表中數(shù)據(jù)易知μ0=7×5+9×7+8.25×820=8.2，μ1=164+7+9+8.2523≈8.18，所以μ0>μ1．17.(1)證明：∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，且AB⊥AD，AB⊂平面ABCD，∴AB⊥平面PAD.∵PD⊂平面PAD，∴AB⊥PD.又PD⊥PA，且PA∩AB=A，∴PD⊥平面PAB；(2)解：取AD中點(diǎn)為O，連結(jié)CO，PO，∵CD=AC=5，∴CO⊥AD.∵PA=PD，∴PO⊥AD．以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系如圖：則P(0, 0, 1)，B(1, 1, 0)，D(0, -1, 0)，C(2, 0, 0)，則PB→=(1,1,-1)，PD→=(0,-1,-1)，PC→=(2,0,-1)，CD→=(-2,-1,0).設(shè)n→=(x0,y0,1)為平面PCD的法向量，則由n→⋅PD→=0，n→⋅PC→=0，得-y0-1=0，2x0-1=0，∴n→=(12,-1,1)．設(shè)PB與平面PCD的夾角為θ，試卷第9頁(yè)，總9頁(yè), 則sinθ=|cos|=|n→⋅PB→|n→||PB→||=|12-1-114+1+1×3|=33；(3)解：假設(shè)存在M點(diǎn)使得BM // 平面PCD，設(shè)AMAP=λ，M(0, y1, z1)，由(2)知，A(0, 1, 0)，P(0, 0, 1)，AP→=(0,-1,1)，B(1, 1, 0)，AM→=(0,y1-1,z1)，則有AM→=λAP→，可得M(0, 1-λ, λ)，∴BM→=(-1,-λ,λ).∵BM // 平面PCD，n→=(12,-1,1)為平面PCD的法向量，∴BM→⋅n→=0，即-12+λ+λ=0，解得λ=14．綜上，存在點(diǎn)M，即當(dāng)AMAP=14時(shí)，M點(diǎn)即為所求．18.解：(1)∵y=f(x)在點(diǎn)(2, f(2))處的切線方程為y=(e-1)x+4，∴當(dāng)x=2時(shí)，y=2(e-1)+4=2e+2，即f(2)=2e+2，同時(shí)f'(2)=e-1，∵f(x)=xea-x+bx，∴f'(x)=ea-x-xea-x+b，則f(2)=2ea-2+2b=2e+2f'(2)=ea-2-2ea-2+b=e-1，即a=2，b=e.試卷第9頁(yè)，總9頁(yè), (2)∵a=2，b=e，∴f(x)=xe2-x+ex，∴f'(x)=e2-x-xe2-x+e=(1-x)e2-x+e，f″(x)=-e2-x-(1-x)e2-x=(x-2)e2-x，由f″(x)>0得x>2，由f″(x)<0得x<2，即當(dāng)x=2時(shí)，f'(x)取得極小值f'(2)=(1-2)e2-2+e=e-1>0，∴f'(x)>0恒成立，即函數(shù)f(x)是增函數(shù)，即f(x)的單調(diào)增區(qū)間是(-∞, +∞)．19.(1)解：由題意可得e=ca=32，又△OAB的面積為1，可得12ab=1，且a2-b2=c2，解得a=2，b=1，c=3，可得橢圓C的方程為x24+y2=1.(2)證明：設(shè)P(2cosθ, sinθ)，(0≤θ<2π)，直線PA:y=sinθ2cosθ-2(x-2)，令x=0，可得y=-sinθcosθ-1，則|BM|=|sinθ+cosθ-11-cosθ|，直線PB:y=sinθ-12cosθx+1，令y=0，可得x=-2cosθsinθ-1，則|AN|=|2sinθ+2cosθ-21-sinθ|．即有|AN|⋅|BM|=|2sinθ+2cosθ-21-sinθ|⋅|sinθ+cosθ-11-cosθ|=2|2+2sinθcosθ-2sinθ-2cosθ1+sinθcosθ-sinθ-cosθ|=4．則|AN|⋅|BM|為定值4．20.(1)解：根據(jù)題干可得，a1=-2，a2=2，a3=-1，a4=1，a5=3，a1a3不滿足條件，3不滿足條件，a2>a4不滿足條件，4不滿足條件，a1，a2，a3，a4，均小于a5，因此5滿足條件，因此G(A)={2, 5}．(2)證明：因?yàn)榇嬖赼n>a1，設(shè)數(shù)列A中第一個(gè)大于a1的項(xiàng)為ak，則ak>a1≥ai，其中2≤i≤k-1，所以k∈G(A)，G(A)≠?.(3)證明：設(shè)A數(shù)列的所有“G時(shí)刻”為i1a1≥ai(i=2, 3, ..., i1-1)，則ai1-ai≤ai1-ai1-1≤1．對(duì)于第二個(gè)“G時(shí)刻”試卷第9頁(yè)，總9頁(yè), i1，有ai2>ai1≥ai(i=2, 3, ..., i1-1)，則ai2-ai1≤ai2-ai2-1≤1．類似的ai3-ai2≤1，…，aik-aik-1≤1．于是，k≥(aik-aik-1)+(aik-1-aik-2)+...+(ai2-ai1)+(ai1-a1)=aik-a1．對(duì)于aN，若N∈G(A)，則aik=aN．若N∉G(A)，則aN≤aik，否則由(2)知aik，aik+1，...，aN，中存在“G時(shí)刻”與只有k個(gè)“G時(shí)刻”矛盾．從而k≥aik-a1≥aN-a1．試卷第9頁(yè)，總9頁(yè)