2016年北京市高考數(shù)學(xué)試卷（文科）一、選擇題（共8小題，每小題5分，滿分40分）)1.已知集合???，?梨??汰?????或ㄠ??，則?（）A.?.B????汰????梨或ㄠ??C.?.D????汰????汰或ㄠ??㈠汰?2.復(fù)數(shù)?汰㈠?A.?B.㈠?C.㈠?D.㈠?3.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的值為()A.B.C.汰D.?4.下列函數(shù)中，在區(qū)間㈠數(shù)上為減函數(shù)的是()㈠A.?B.?cosC.?ln㈠D.?汰㈠5.圓㈠汰㈠汰?汰的圓心到直線?㈠?的距離為()A.B.汰C.汰D.汰汰6.從甲、乙等?名學(xué)生中隨機選出汰人，則甲被選中的概率為（）汰A.B.C.D.??汰?汰?7.已知汰數(shù)?，梨數(shù)．若點數(shù)在線段上，則汰㈠的最大值為（）A.㈠B.?C.D.8.某學(xué)校運動會的立定跳遠和?秒跳繩兩個單項比賽分成預(yù)賽和決賽兩個階段，表中為名學(xué)生的預(yù)賽成績，其中有三個數(shù)據(jù)模糊．學(xué)生序汰?梨?號立定跳??汰?汰????梨?汰??遠（單位：米）?秒???汰㈠?試卷第1頁，總7頁 跳繩（單位：次）在這名學(xué)生中，進入立定跳遠決賽的有人，同時進入立定跳遠決賽和?秒跳繩決賽的有人，則（）A.汰號學(xué)生進入?秒跳繩決賽B.?號學(xué)生進入?秒跳繩決賽C.號學(xué)生進入?秒跳繩決賽D.號學(xué)生進入?秒跳繩決賽二、填空題（共6小題，每小題5分，滿分30分）)9.已知向量?數(shù)?，??數(shù)，則與夾角的大小為________．10.函數(shù)?汰的最大值為________．㈠11.某四棱柱的三視圖如圖所示，則該四棱柱的體積為________．汰汰12.已知雙曲線㈠?ㄠ數(shù)ㄠ的一條漸近線為汰㈠?，一個焦點為汰汰?數(shù)，則?________，?________．汰13.在?中，?，??，則?________．?14.某網(wǎng)店統(tǒng)計了連續(xù)三天售出商品的種類情況：第一天售出種商品，第二天售出?種商品，第三天售出種商品；前兩天都售出的商品有?種，后兩天都售出的商品有梨種，則該網(wǎng)店①第一天售出但第二天未售出的商品有________種；②這三天售出的商品最少有________種．三、解答題（共6小題，滿分80分）)15.已知?，列數(shù)差等是???是等比數(shù)列，且汰??，??，?，梨?梨．求??的通項公式；汰設(shè)?㈠，求數(shù)列??的前項和．16.已知函數(shù)?汰sincos㈠cos汰ㄠ的最小正周期為．求的值；汰求的單調(diào)遞增區(qū)間．試卷第2頁，總7頁 17.某市居民用水擬實行階梯水價，每人月用水量中不超過立方米的部分按梨元/立方米收費，超出立方米的部分按元/立方米收費，從該市隨機調(diào)查了位居民，獲得了他們某月的用水量數(shù)據(jù)，整理得到如圖頻率分布直方圖：（1）如果為整數(shù)，那么根據(jù)此次調(diào)查，為使查以上居民在該月的用水價格為梨元/立方米，至少定為多少？（2）假設(shè)同組中的每個數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的右端點值代替，當??時，估計該市居民該月的人均水費．18.如圖，在四棱錐㈠?區(qū)中，?平面?區(qū)，區(qū)?，區(qū)??．求證：區(qū)?平面?；汰求證：平面平面?；?設(shè)點為的中點，在棱上是否存在點，使得平面?？說明理由．汰汰19.已知橢圓?㈠?過點汰數(shù)，數(shù)兩點．汰汰求橢圓?的方程及離心率；汰設(shè)為第三象限內(nèi)一點且在橢圓?上，直線與軸交于點，直線與軸交于點，求證：四邊形的面積為定值．20.設(shè)函數(shù)??㈠汰㈠㈠．求曲線?在點（數(shù)）處的切線方程；汰設(shè)??梨，若函數(shù)有三個不同零點，求的取值范圍；?求證：汰㈠?ㄠ是有三個不同零點的必要而不充分條件．試卷第3頁，總7頁 參考答案與試題解析2016年北京市高考數(shù)學(xué)試卷（文科）一、選擇題（共8小題，每小題5分，滿分40分）1.C2.A3.B4.D5.C6.B7.C8.B二、填空題（共6小題，每小題5分，滿分30分）9.10.汰?11.汰12.,汰13.14.,汰三、解答題（共6小題，滿分80分）15.解：?，列數(shù)差等的為差公是???是公比為的等比數(shù)列，?由汰??，??，可得???，汰?㈠汰???㈠汰??㈠，汰即有??，梨?梨?汰，梨㈠則??汰，?則?㈠㈠?㈠汰㈠?汰㈠；汰?㈠?汰㈠㈠?㈠，則數(shù)列??的前項和為㈠?㈠???㈠汰㈠㈠㈠?㈠㈠???㈠?㈠㈠??汰㈠汰㈠?汰?㈠?㈠．汰16.解：?汰sincos㈠cos汰?sin汰㈠cos汰汰汰?汰sin汰㈠cos汰汰汰試卷第4頁，總7頁 ?汰sin汰㈠．梨汰由??，得?.汰汰由得，?汰sin汰㈠．梨再由㈠㈠汰洠汰㈠㈠汰洠，洠，汰梨汰?得㈠㈠洠㈠洠，洠，?∴的單調(diào)遞增區(qū)間為㈠㈠洠數(shù)㈠洠洠．17.解：（1）由頻率分布直方圖得：用水量在??數(shù)的頻率為?，用水量在數(shù)??的頻率為??，用水量在??數(shù)汰的頻率為?汰，用水量在汰數(shù)汰??的頻率為?汰?，用水量在汰??數(shù)?的頻率為??，用水量在?數(shù)???的頻率為??，用水量在???數(shù)梨的頻率為??，用水量在梨數(shù)梨??的頻率為??，∵用水量小于等于?立方米的頻率為?查，∴為使查以上居民在該用的用水價為梨元/立方米，∴至少定為?立方米．（2）當??時，該市居民的人均水費為：?㈠????㈠?汰汰㈠?汰?汰??㈠???梨㈠???梨㈠????㈠???梨㈠??㈠???梨㈠???????，∴當??時，估計該市居民該月的人均水費為??元．18.證明：∵?平面?區(qū)，區(qū)?平面?區(qū)，∴?區(qū)?，∵區(qū)??，????，∴區(qū)?平面?；汰證明：∵區(qū)?，區(qū)??，∴?，∵?平面?區(qū)，平面?區(qū)，∴?，∵????，∴平面?，∵平面，∴平面平面?；?在棱上存在中點，使得平面?．試卷第5頁，總7頁 ∵點為的中點，∴，∵平面?，平面?，∴平面?．汰汰19.解：∵橢圓?㈠?過點汰數(shù)，數(shù)兩點，汰汰∴?汰，?，則?汰㈠汰?梨㈠??，汰汰?∴橢圓?的方程為㈠?，離心率為?.梨汰汰證明：如圖.設(shè)數(shù)，則汰㈠梨汰?梨.由題知洠?，所在直線方程為?㈠汰，㈠汰㈠汰汰取?，得?㈠.㈠汰㈠㈠洠?，所在直線方程為?㈠，取?，得?㈠.㈠汰∴???汰㈠?汰㈠，???㈠?㈠，㈠㈠汰∴?????四邊形汰汰?汰㈠㈠汰㈠㈠汰汰㈠梨㈠梨汰㈠梨㈠㈠梨?汰㈠汰㈠㈠汰梨㈠汰㈠㈠汰??梨?汰．汰㈠汰㈠㈠汰汰即四邊形的面積為定值汰．20.解：函數(shù)??㈠汰㈠㈠的導(dǎo)數(shù)為??汰㈠汰㈠，可得?在點（數(shù)）處的切線斜率為洠??，切點為數(shù)，可得切線的方程為?㈠.（2）設(shè)??梨，即有??㈠梨汰㈠梨㈠，由?，可得㈠??㈠梨汰㈠梨，由??㈠梨汰㈠梨的導(dǎo)數(shù)??汰㈠㈠梨?㈠汰?㈠汰，汰當ㄠ㈠或?㈠汰時，ㄠ，遞增；?試卷第6頁，總7頁 汰當㈠汰??㈠時，?，遞減．?即有在?㈠汰處取得極大值，且為；汰?汰在?㈠處取得極小值，且為㈠．?汰?汰由函數(shù)有三個不同零點，可得㈠?㈠?，汰?汰解得??，汰?汰則的取值范圍是數(shù).汰?證明：若有三個不同零點，令?，可得的圖象與軸有三個不同的交點．即有有?個單調(diào)區(qū)間，即為導(dǎo)數(shù)??汰㈠汰㈠的圖象與軸有兩個交點，可得ㄠ，即梨汰㈠汰ㄠ，即為汰㈠?ㄠ；若汰㈠?ㄠ，即有導(dǎo)數(shù)??汰㈠汰㈠的圖象與軸有兩個交點，當?，??梨時，滿足汰㈠?ㄠ，即有?㈠汰汰，圖象與軸交于數(shù)，㈠汰數(shù)，則的零點為汰個．故汰㈠?ㄠ是有三個不同零點的必要而不充分條件．試卷第7頁，總7頁