2018年北京市高考數(shù)學(xué)試卷（理科）一、選擇題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題列出的四個選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)。)1.已知集合A={x||x|<2}，B={-2,?0,?1,?2}，則A∩B=()A.{0,?1}B.{-1,?0,?1}C.{-2,?0,?1,?2}D.{-1,?0,?1,?2}2.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)11-i的共軛復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)位于（????）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限3.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的s值為（）A.12B.56C.76D.7124.“十二平均律”是通用的音律體系，明代朱載堉最早用數(shù)學(xué)方法計(jì)算出半音比例，為這個理論的發(fā)展做出了重要貢獻(xiàn)．十二平均律將一個純八度音程分成十二份，依次得到十三個單音，從第二個單音起，每一個單音的頻率與它的前一個單音的頻率的比都等于122．若第一個單音的頻率為f，則第八個單音的頻率為（????）A.32fB.322fC.1225fD.1227f5.某四棱錐的三視圖如圖所示，在此四棱錐的側(cè)面中，直角三角形的個數(shù)為（????）A.1B.2C.3D.4試卷第9頁，總9頁 6.設(shè)a→，b→均為單位向量，則“|a→-3b→|=|3a→+b→|”是“a→⊥b→”的（）A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件7.在平面直角坐標(biāo)系中，記d為點(diǎn)P(cosθ,?sinθ)到直線x-my-2=0的距離．當(dāng)θ，m變化時，d的最大值為（）A.1B.2C.3D.48.設(shè)集合A={(x,?y)|x-y≥1,?ax+y>4,?x-ay≤2}，則（）A.對任意實(shí)數(shù)a，(2,?1)∈AB.對任意實(shí)數(shù)a，(2,?1)?AC.當(dāng)且僅當(dāng)a<0時，(2,?1)?AD.當(dāng)且僅當(dāng)a≤32時，(2,?1)?A二、填空題共6小題，每小題5分，共30分。)9.設(shè){an}是等差數(shù)列，且a1=3，a2+a5=36，則{an}的通項(xiàng)公式為________．10.在極坐標(biāo)系中，直線ρcosθ+ρsinθ=a(a>0)與圓ρ=2cosθ相切，則a=________．11.設(shè)函數(shù)f(x)=cos(ωx-π6)(ω>0)，若f(x)≤f(π4)對任意的實(shí)數(shù)x都成立，則ω的最小值為________．12.若x，y滿足x+1≤y≤2x，則2y-x的最小值是________．13.能說明“若f(x)>f(0)對任意的x∈(0,?2]都成立，則f(x)在[0,?2]上是增函數(shù)”為假命題的一個函數(shù)是________．14.已知橢圓M:x2a2+y2b2=1(a>b>0)，雙曲線N:x2m2-y2n2=1．若雙曲線N的兩條漸近線與橢圓M的四個交點(diǎn)及橢圓M的兩個焦點(diǎn)恰為一個正六邊形的頂點(diǎn)，則橢圓M的離心率為________；雙曲線N的離心率為________．三、解答題共6小題，共80分。解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程。)15.在△ABC中，a=7，b=8，cosB=-17．(1)求∠A；(2)求AC邊上的高．16.如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，CC1⊥平面ABC，D，E，F(xiàn)，G分別為AA1，AC，A1C1，BB1的中點(diǎn)，AB=BC=5，AC=AA1=2．(1)求證：AC⊥平面BEF；試卷第9頁，總9頁 (2)求二面角B-CD-C1的余弦值；(3)證明：直線FG與平面BCD相交．17.電影公司隨機(jī)收集了電影的有關(guān)數(shù)據(jù)，經(jīng)分類整理得到下表：電影類型第一類第二類第三類第四類第五類第六類電影部數(shù)14050300200800510好評率0.40.20.150.250.20.1好評率是指：一類電影中獲得好評的部數(shù)與該類電影的部數(shù)的比值．假設(shè)所有電影是否獲得好評相互獨(dú)立．（1）從電影公司收集的電影中隨機(jī)選取1部，求這部電影是獲得好評的第四類電影的概率；（2）從第四類電影和第五類電影中各隨機(jī)選取1部，估計(jì)恰有1部獲得好評的概率；（3）假設(shè)每類電影得到人們喜歡的概率與表格中該類電影的好評率相等．用“ξk=1”表示第k類電影得到人們喜歡．“ξk=0”表示第k類電影沒有得到人們喜歡(k=1,?2,?3,?4,?5,?6)．寫出方差Dξ1，Dξ2，Dξ3，Dξ4，Dξ5，Dξ6的大小關(guān)系．18.設(shè)函數(shù)f(x)=[ax2-(4a+1)x+4a+3]ex．(1)若曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,?f(1))處的切線與x軸平行，求a；(2)若f(x)在x=2處取得極小值，求a的取值范圍．19.已知拋物線C:y2=2px經(jīng)過點(diǎn)P(1,?2)，過點(diǎn)Q(0,?1)的直線l與拋物線C有兩個不同的交點(diǎn)A，B，且直線PA交y軸于M，直線PB交y軸于N．(1)求直線l的斜率的取值范圍；(2)設(shè)O為原點(diǎn)，QM→=λQO→，QN→=μQO→，求證：1λ+1μ為定值．20.設(shè)n為正整數(shù)，集合A＝{α|α＝(t1,?t2,?...tn),?tk∈{0,?1},?k＝1,?2,?...,?n}，對于集合A中的任意元素α＝(x1,?x2,…,xn)和β＝(y1,?y2,…yn)，記M(α,?β)=12[(x1+y1-|x1-y1|)+(x2+y2-|x2-y2|)+...(xn+yn-|xn-yn|)](Ⅰ)當(dāng)n＝3時，若α＝(1,?1,?0)，β＝(0,?1,?1)，求M(α,?α)和M(α,?β)的值；(Ⅱ)當(dāng)n＝4時，設(shè)B是A的子集，且滿足：對于B中的任意元素α，β，當(dāng)α，β相同時，M(α,?β)是奇數(shù)；當(dāng)α，β不同時，M(α,?β)是偶數(shù)．求集合B中元素個數(shù)的最大值；(Ⅲ)給定不小于2的n，設(shè)B是A的子集，且滿足：對于B中的任意兩個不同的元素α，β，M(α,?β)＝0，寫出一個集合B，使其元素個數(shù)最多，并說明理由．試卷第9頁，總9頁 參考答案與試題解析2018年北京市高考數(shù)學(xué)試卷（理科）一、選擇題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題列出的四個選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)。1.A2.D3.B4.D5.C6.C7.C8.D二、填空題共6小題，每小題5分，共30分。9.an=6n-310.1+211.2312.313.f(x)=sinx14.3-1,2三、解答題共6小題，共80分。解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程。15.解：(1)在△ABC中，因?yàn)閏osB=-17，所以sinB=1-cos2B=437.由正弦定理得sinA=asinBb=32.由題知π2=n→?EB→|n→||EB→|=221×2=2121．由圖形可知二面角B-CD-C1為鈍二面角，∴二面角B-CD-C1的余弦值為-2121．(3)證明：F(0,?0,?2)，G(2,?0,?1)，∴FG→=(2,?0,?-1)，∴FG→?n→=2+0-4=-2≠0，∴FG→與n→不垂直，∴FG與平面BCD不平行，又FG?平面BCD，∴FG與平面BCD相交．17.解：（1）設(shè)事件A表示“從電影公司收集的電影中隨機(jī)選取1部，求這部電影是獲得好評的第四類電影”，總的電影部數(shù)為140+50+300+200+800+510=2000部，第四類電影中獲得好評的電影有：200×0.25=50部，∴從電影公司收集的電影中隨機(jī)選取1試卷第9頁，總9頁 部，求這部電影是獲得好評的第四類電影的頻率為：P(A)=50200=0.025．（2）設(shè)事件B表示“從第四類電影和第五類電影中各隨機(jī)選取1部，恰有1部獲得好評”，第四類獲得好評的有：200×0.25=50部，第五類獲得好評的有：800×0.2=160部，則從第四類電影和第五類電影中各隨機(jī)選取1部，估計(jì)恰有1部獲得好評的概率：P(B)=50×(800-160)+(200-50)×160200×800=0.35．（3）由題意知，定義隨機(jī)變量如下：ξk=0，第k類電影沒有得到人們喜歡1，第k類電影得到人們喜歡，則ξk服從兩點(diǎn)分布，則六類電影的分布列及方差計(jì)算如下：第一類電影：?ξ1?1?0?P?0.4?0.6E(ξ1)=1×0.4+0×0.6=0.4，D(ξ1)=(1-0.4)2×0.4+(0-0.4)2×0.6=0.24．第二類電影：?ξ2?1?0?P?0.2?0.8E(ξ2)=1×0.2+0×0.8=0.2，D(ξ2)=(1-0.2)2×0.2+(0-0.2)2×0.8=0.16．第三類電影：?ξ3?1?0?P?0.15?0.85E(ξ3)=1×0.15+0×0.85=0.15，D(ξ3)=(1-0.15)2×0.15+(0-0.85)2×0.85=0.1275．第四類電影：?ξ4?1?0?P?0.25?0.75E(ξ4)=1×0.25+0×0.75=0.15，D(ξ4)=(1-0.25)2×0.25+(0-0.75)2×0.75=0.1875．第五類電影：?ξ5?1?0?P?0.2?0.8E(ξ5)=1×0.2+0×0.8=0.2，D(ξ5)=(1-0.2)2×0.2+(0-0.2)2×0.8=0.16．第六類電影：?ξ6?1?0?P?0.1?0.9E(ξ6)=1×0.1+0×0.9=0.1，D(ξ5)=(1-0.1)2×0.1+(0-0.1)2×0.9=0.09．∴方差Dξ1，Dξ2，Dξ3，Dξ4，Dξ5，Dξ6的大小關(guān)系為：Dξ60，f(x)單調(diào)遞增；當(dāng)x>2時，f'(x)<0，f(x)單調(diào)遞減，∴在x=2處f(x)取得極大值，不符題意；②若a>0，且a=12時，f'(x)=12(x-2)2ex≥0，∴f(x)單調(diào)遞增，無極值；③若a>12，則1a<2，∴f(x)在(1a,?2)上單調(diào)遞減；在(2,?+∞)，(-∞,?1a)上單調(diào)遞增，可得f(x)在x=2處取得極小值；④若02，f(x)在(2,?1a)上單調(diào)遞減；在(1a,?+∞)，(-∞,?2)上單調(diào)遞增，可得f(x)在x=2處取得極大值，不符題意；⑤若a<0，則1a<2，f(x)在(1a,?2)上單調(diào)遞增；在(2,?+∞)，(-∞,?1a)上單調(diào)遞減，可得f(x)在x=2處取得極大值，不符題意．綜上可得，a的范圍是(12,?+∞)．19.(1)解：∵拋物線C:y2=2px經(jīng)過點(diǎn)P(1,?2)，∴4=2p，解得p=2，設(shè)過點(diǎn)(0,?1)的直線方程為y=kx+1，設(shè)A(x1,?y1)，B(x2,?y2)聯(lián)立方程組可得y2=4x，y=kx+1，消y可得k2x2+(2k-4)x+1=0，∴試卷第9頁，總9頁 Δ=(2k-4)2-4k2>0，且k≠0,解得k<1，且k≠0，x1+x2=-2k-4k2，x1x2=1k2，故直線l的斜率的取值范圍(-∞,?0)∪(0,?1)；(2)證明：設(shè)點(diǎn)M(0,?yM)，N(0,?yN)，則QM→=(0,?yM-1)，QO→=(0,?-1)因?yàn)镼M→=λQO→，所以yM-1=-λ，故λ=1-yM，同理μ=1-yN，直線PA的方程為y-2=2-y11-x1(x-1)=2-y11-y124(x-1)=42+y1(x-1)，令x=0，得yM=2y12+y1，同理可得yN=2y22+y2，因?yàn)?λ+1μ=11-yM+11-yN=2+y12-y1+2+y22-y2=8-2y1y2(2-y1)(2-y2)=8-2(kx1+1)(kx2+1)1-k(x1+x2)+k2x1x2=8-[k2x1x2+k(x1+x2)+1]1--k(x1+x2)+k2x1x2=8-2(1+4-2kk+1)1-4-2kk+1=4-2×4-2kk2-4-2kk=2，∴1λ+1μ=2，∴1λ+1μ為定值．20.(I?)?M(α,?α)＝1+1+0＝2，M(α,?β)＝0+1+0＝1．(II)考慮數(shù)對(xk,?yk)只有四種情況：(0,?0)、(0,?1)、(1,?0)、(1,?1)，相應(yīng)的xk+yk-|xk-yk|2分別為0、0、0、1，所以B中的每個元素應(yīng)有奇數(shù)個1，所以B中的元素只可能為（上下對應(yīng)的兩個元素稱之為互補(bǔ)元素）：(1,?0,?0,?0?)、(0,?1,?0,?0)、(0,?0,?1,?0)、(0,?0,?0,?1)，(0,?1,?1,?1)、(1,?0,?1,?1)、(1,?1,?0,?1)、(1,?1,?1,?0)，對于任意兩個只有1個1的元素α，β都滿足M(α,?β)是偶數(shù)，所以四元集合B＝{(1,?0,?0,?0)、(0,?1,?0,?0)、(0,?0,?1,?0)、(0,?0,?0,?1)}滿足?題意，假設(shè)B中元素個數(shù)大于等于4，就至少有一對互補(bǔ)元素，除了這對互補(bǔ)元素之外還有至少1個含有3個1的元素α，則互補(bǔ)元素中含有1個1的元素β與之滿足M(α,?β)＝1不合題意，故B中元素個數(shù)的最大值為4．(Ⅲ)?B＝{(0,?0,?0,…0)，(1,?0,?0…,0)，(0,?1,?0,…0)，(0,?0,?1...0)…，(0,?0,?0,…,1)}，此時B中有n+1個元試卷第9頁，總9頁 素，下證其為最大．對于任意兩個不同的元素α，β，滿足M(α,?β)＝0，則α，β中相同位置上的數(shù)字不能同時為1，假設(shè)存在B有多于n+1個元素，由于α＝(0,?0,?0,…,0)與任意元素β都有M(α,?β)＝0，所以除(0,?0,?0,…,0)外至少有n+1個元素含有1，根據(jù)元素的互異性，至少存在一對α，β滿足xi＝y(tǒng)i＝l，此時M(α,?β)≥1不滿足題意，故B中最多有n+1個元素．試卷第9頁，總9頁