2007年上海市春季高考數學試卷一、填空題（本大題滿分44分）本大題共有11題，只要求直接填寫結果，每題填對得4分，否則一律得零分．)1.計算limn→∞2n2+13n(n+1)=________．2.若關于x的一元二次實系數方程x2+px+q=0有一個根為1+i（i是虛數單位），則q=________．3.若關于x的不等式x-ax+1>0的解集為(-∞, -1)∪(4, +∞)，則實數a＝________．4.函數y＝(sinx+cosx)2的最小正周期是________．5.設函數y=f(x)是奇函數．若f(-2)+f(-1)-3=f(1)+f(2)+3，則f(1)+f(2)=________．6.在平面直角坐標系xoy中，若拋物線y2=4x上的點P到該拋物線的焦點的距離為6，則點P的橫坐標x=________．7.在平面直角坐標系xOy中，若曲線x=4-y2與直線x=m有且只有一個公共點，則實數m=________．8.若向量a→，b→滿足|a→|=2，|b→|=1，a→⋅(a→+b→)=1，則向量a→，b→的夾角的大小為________．9.若x1、x2為方程2x=(12)-1x+1的兩個實數解，則x1+x2＝________．10.在一次教師聯歡會上，到會的女教師比男教師多12人，從這些教師中隨機挑選一人表演節(jié)目．若選到男教師的概率為920，則參加聯歡會的教師共有________人．11.函數y=x2+1，x≥02x，x<0  的反函數是________．二、選擇題（本大題滿分16分）本大題共有4題，每題都給出四個結論，其中有且只有一個結論是正確的，必須把正確結論的代號寫在題后的圓括號內，選對得4分，否則一律得零分．)12.若集合A={1, m2}，B={2, 4}，則“m=2”是“A∩B={4}”的________條件.(填“充分不必要”或“必要不充分”或“充要”或“既不充分也不必要”)13.如圖，平面內的兩條相交直線OP1和OP2將該平面分割成四個部分I、II、III、IV（不包括邊界）．若OP→=aOP1→+bOP2→，且點P落在第III部分，則實數a、b滿足（）A.a>0，b>0B.a>0，b<0C.a<0，b>0D.a<0，b<0試卷第7頁，總8頁, 14.下列四個函數中，圖象如圖所示的只能是（）A.y=x+lgxB.y=x-lgxC.y=-x+lgxD.y=-x-lgx15.設a、b是正實數，以下不等式：①ab>2aba+b；②a>|a-b|-b；③a2+b2>4ab-3b2；④ab+2ab>2恒成立的序號為（）A.①③B.①④C.②③D.②④三、解答題（本大題滿分90分）本大題共有6題，解答下列各題必須寫出必要的步驟．)16.如圖，在棱長為2的正方體ABCD-A'B'C'D'中，E，F分別是A'B'和AB的中點，求異面直線A'F與CE所成角的大小 （結果用反三角函數值表示）．17.求出一個數學問題的正確結論后，將其作為條件之一，提出與原來問題有關的新問題，我們把它稱為原來問題的一個“逆向”問題．例如，原來問題是“若正四棱錐底面邊長為4，側棱長為3，求該正四棱錐的體積”．求出體積163后，它的一個“逆向”問題可以是“若正四棱錐底面邊長為4，體積為163，求側棱長”；也可以是“若正四棱錐的體積為163，求所有側面面積之和的最小值”．試給出問題“在平面直角坐標系xoy中，求點P(2, 1)到直線3x+4y=0的距離．”的一個有意義的“逆向”問題，并解答你所給出的“逆向”問題．18.在直角坐標系中，設橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右兩個焦點分別為F1，F2．過右焦點F2且與x軸垂直的直線l與橢圓C相交，其中一個交點為M(2, 1)．試卷第7頁，總8頁, （1）求橢圓C的方程；（2）設橢圓C的一個頂點為B(0, -b)，直線BF2交橢圓C于另一點N，求△F1BN的面積．19.某人定制了一批地磚．每塊地磚 （如圖1所示）是邊長為0.4米的正方形ABCD，點E、F分別在邊BC和CD上，△CFE、△ABE和四邊形AEFD均由單一材料制成，制成△CFE、△ABE和四邊形AEFD的三種材料的每平方米價格之比依次為3:2:1．若將此種地磚按圖2所示的形式鋪設，能使中間的深色陰影部分成四邊形EFGH．（1）求證：四邊形EFGH是正方形；（2）E，F在什么位置時，定制這批地磚所需的材料費用最??？20.通常用a、b、c表示△ABC的三個內角∠A、∠B、∠C所對邊的邊長，R表示△ABC外接圓半徑．（1）如圖所示，在以O為圓心，半徑為2的⊙O中，BC和BA是⊙O的弦，其中BC=2，∠ABC=45°，求弦AB的長；（2）在△ABC中，若∠C是鈍角，求證：a2+b2<4R2；（3）給定三個正實數a、b、R，其中b≤a，問：a、b、R滿足怎樣的關系時，以a、b為邊長，R為外接圓半徑的△ABC不存在，存在一個或兩個（全等的三角形算作同一個）？在△ABC存在的情況下，用a、b、R表示c．21.我們在下面的表格內填寫數值：先將第1行的所有空格填上1；再把一個首項為1，公比為q的數列{an}依次填入第一列的空格內；然后按照“任意一格的數是它上面一格的數與它左邊一格的數之和”的規(guī)則填寫其它空格．第1列第2列第3列…第n列第1行111…1第2行q第3行q2……第n行qn-1（1）設第2行的數依次為B1，B2，…，Bn，試用n，q表示B1+B2+...+Bn的值；（2）設第3列的數依次為c1，c2，c3，…，cn，求證：對于任意非零實數q，c1+c3>2c2；試卷第7頁，總8頁, （3）請在以下兩個問題中選擇一個進行研究 （只能選擇一個問題，如果都選，被認為選擇了第一問）．①能否找到q的值，使得（2）中的數列c1，c2，c3，…，cn的前m項c1，c2，…，cm (m≥3)成為等比數列？若能找到，m的值有多少個？若不能找到，說明理由．②能否找到q的值，使得填完表格后，除第1列外，還有不同的兩列數的前三項各自依次成等比數列？并說明理由．試卷第7頁，總8頁, 參考答案與試題解析2007年上海市春季高考數學試卷一、填空題（本大題滿分44分）本大題共有11題，只要求直接填寫結果，每題填對得4分，否則一律得零分．1.232.23.44.π5.-36.57.28.3π49.-110.12011.y=x-1，x≥12x，x<0.二、選擇題（本大題滿分16分）本大題共有4題，每題都給出四個結論，其中有且只有一個結論是正確的，必須把正確結論的代號寫在題后的圓括號內，選對得4分，否則一律得零分．12.充分不必要13.B14.B15.D三、解答題（本大題滿分90分）本大題共有6題，解答下列各題必須寫出必要的步驟．16.解：（法一）如圖建立空間直角坐標系．   …由題意可知A'(2, 0, 2)，C(0, 2, 0)，E(2, 1, 2)，F(2, 1, 0)．∴A'F→=(0,1,-2)，CE→=(2,-1,2)．…設直線A'F與CE所成角為θ，則cosθ=|A'F→|⋅|CE→|˙=55⋅3=53．  …∴θ=arccos53，即異面直線A'F與CE所成角的大小為arccos53．試卷第7頁，總8頁,           …（法二）：連接EB，…∵A'E // BF，且A'E=BF，∴A'FBE是平行四邊形，則A'F // EB，∴異面直線A'F與CE所成的角就是CE與EB所成的角．     …由CB⊥平面ABB'A'，得CB⊥BE．在Rt△CEB中，CB=2,BE=5，則tan∠CEB=255，…∴∠CEB=arctan255．∴異面直線A'F與CE所成角的大小為arctan255．         …17.解：點(2, 1)到直線3x+4y=0的距離為|3⋅2+4⋅1|32+42=2．      “逆向”問題可以是：(1)求到直線3x+4y=0的距離為2的點的軌跡方程．      設所求軌跡上任意一點為P(x, y)，則|3x+4y|5=2，所求軌跡為3x+4y-10=0或3x+4y+10=0．       (2)若點P(2, 1)到直線l:ax+by=0的距離為2，求直線l的方程．由|2a+b|a2+b2=2，化簡得4ab-3b2=0，b=0或4a=3b，所以，直線l的方程為x=0或3x+4y=0．18.由橢圓定義可知|MF1|+|MF2|＝2a．由題意|MF2|＝1，∴|MF1|＝2a-1．又由Rt△MF1F2可知(2a-1)2=(22)2+1，a>0，∴a＝2，又a2-b2＝2，得b2＝2．∴橢圓C的方程為x24+y22=1．直線BF2的方程為y=x-2．由y=x-2x24+y22=1?得點N的縱坐標為23．又|F1F2|=22，∴S△F1BN=12×(2+23)×22=83．試卷第7頁，總8頁, 19.解：（1）證明：圖2是由四塊圖1所示地磚組成，由圖1依次逆時針旋轉90°，180°，270°后得到，∴EF=FG=GH=HE．又CE=CF，∴△CEF為等腰直角三角形．∴四邊形EFGH是正方形．（2）設CE=x，則BE=0.4-x，每塊地磚的費用為W，制成△CEF、△ABE和四邊形AEFD三種材料的每平方米價格依次為3a，2a，a（元），則W=12x2⋅3a+12(0.4-x)×0.4×2a+[0.16-12x2-12×0.4×0.4-x]⋅a=a(x2-0.2x+0.24)=a[(x-0.1)2+0.23](00，當x=0.1時，W有最小值，即總費用最省．當CE=CF=0.1米時最?。?0.解：（1）在△ABC中，BC=2，∠ABC=45°ABsinC=bsinB=asinA=2R⇒b=22sinA=12∵A為銳角∴A=30°，B=45°∴C=105°∴AB=2Rsin75°=4sin105°=6+2；（2）∠C為鈍角，∴cosC<0，且cosC≠1cosC=a2+b2-c22ab<0∴a2+b22R或a=b=2R時，△ABC不存在當a=2Rb90°時，c=a2+b2+ab2R2(4R2-a24R2-b2+ab)試卷第7頁，總8頁, 21.解：（1）由題意得，B1=q，B2=1+q，B3=1+(1+q)=2+q，…，Bn=(n-1)+q，∴B1+B2+...+Bn=1+2+...+(n-1)+nq=n(n-1)2+nq．（2）由題意得，c1=1，c2=1+(1+q)=2+q，c3=(2+q)+(1+q+q2)=3+2q+q2，由 c1+c3-2c2=1+3+2q+q2-2(2+q)=q2>0，即 c1+c3>2c2． （3）①先設c1，c2，c3成等比數列，由c1c3=c22得， 3+2q+q2=(2+q)2，q=-12．此時 c1=1，c2=32，c3=94，∴c1，c2，c3是一個公比為32的等比數列． 如果m≥4，c1，c2，…，cm為等比數列，那么c1，c2，c3一定是等比數列．由上所述，此時q=-12，c1=1，c2=32，c3=94，c4=238，由于c4c3≠32，因此，對于任意m≥4，c1，c2，…，cm一定不是等比數列．綜上所述，當且僅當m=3且q=-12時，數列c1，c2，…，cm是等比數列．②設x1，x2，x3和y1，y2，y3分別為第k+1列和第m+1列的前三項，1≤k