2008年上海市春季高考數(shù)學(xué)試卷一、填空題（共12小題，每小題4分，滿分48分）)1.已知集合????灰椆或??，???灰??，則?________．?椆2.計(jì)算：lim?________．?椆灰3.函數(shù)???的定義域是________灰椆4.方程cos?灰?間區(qū)?間區(qū)在椆??內(nèi)的解是________．?5.已知數(shù)列?是公差不為零的等差數(shù)列，椆?椆、若椆、、成等比數(shù)列，則?________6.化簡：cos???nis??________．?7.已知是雙曲線灰?椆右支上的一點(diǎn)，雙曲線的一條漸近線方程為?灰?區(qū)、設(shè)椆、分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)、若????，則?椆??________．8.已知一個(gè)凸多面體共有個(gè)面，所有棱長均為椆，其平面展開圖如圖所示，則該凸多面體的體積＝________．椆9.已知無窮數(shù)列?前項(xiàng)和?灰椆，則數(shù)列?的各項(xiàng)和為________?10.古代“五行”學(xué)說認(rèn)為：“物質(zhì)分金、木、土、水、火五種屬性，金克木，木克土，土克水，水克火，火克金、”將五種不同屬性的物質(zhì)任意排成一列，設(shè)事件表示“排列中屬性相克的兩種物質(zhì)不相鄰”，則事件出現(xiàn)的概率是________（結(jié)果用數(shù)值表示）．11.已知椆，，…，；椆，，…，（是正整數(shù)），令椆?椆???，?????，…，?、某人用右圖分析得到恒等式：椆椆????椆椆???????????，則?________??．12.已知?椆間??間??，?，直線椆?區(qū)，?區(qū)和??灰椆?區(qū)、設(shè)是??椆間間??上與、兩點(diǎn)距離平方和最小的點(diǎn)，則椆?的面積是________．試卷第1頁，總8頁
二、選擇題（共4小題，每小題4分，滿分16分）)13.已知向量??間灰??間???，?，若，則等于（）A.B.灰C.灰D.灰??14.已知橢圓?椆，長軸在軸上，若焦距為?，則等于??椆區(qū)灰灰A.?B.C.D.15.???，??”則，???????，數(shù)函的上在義定是??，?均為偶函數(shù)”是“??為偶函數(shù)”的（）A.充要條件B.充分而不必要的條件C.必要而不充分的條件D.既不充分也不必要的條件16.已知，且?灰灰?＝椆，為虛數(shù)單位，則?灰?的最小值是（）A.B.?C.?D.三、解答題（共6小題，滿分86分）)cos17.已知cos?灰，?間?，求灰的值．?sinsin18.在平面直角坐標(biāo)系8中，、分別為直線?與、軸的交點(diǎn)，為的中點(diǎn)、若拋物線??區(qū)?過點(diǎn)，求焦點(diǎn)到直線的距離．19.已知函數(shù)??椆?log??（1）求證：函數(shù)??在?灰間?內(nèi)單調(diào)遞增；（2）記灰椆??????椆灰程方的于關(guān)，數(shù)函反的??數(shù)函為?在椆間上有解，求的取值范圍．20.某廠根據(jù)市場需求開發(fā)折疊式小凳（如圖所示）、凳面為三角形的尼龍布，凳腳為三根細(xì)鋼管、考慮到鋼管的受力和人的舒適度等因素，設(shè)計(jì)小凳應(yīng)滿足：①凳子高度為?區(qū)，②三根細(xì)鋼管相交處的節(jié)點(diǎn)8與凳面三角形重心的連線垂直于凳面和地面．?椆?若凳面是邊長為區(qū)的正三角形，三只凳腳與地面所成的角均為?，確定節(jié)點(diǎn)8分細(xì)鋼管上下兩段的比值（精確到區(qū)?區(qū)椆）；??若凳面是頂角為椆區(qū)的等腰三角形，腰長為?，節(jié)點(diǎn)8分細(xì)鋼管上下兩段之比為?，確定三根細(xì)鋼管的長度（精確到區(qū)?椆）．試卷第2頁，總8頁
21.在直角坐標(biāo)平面8上的一列點(diǎn)椆?椆間椆?間?，…，?間?，?，…，簡記為?、若由?椆構(gòu)成的數(shù)列?滿足椆，＝椆，，…，其中為方向與軸正方向相同的單位向量，則稱?為點(diǎn)列，椆椆椆（1）判斷椆?椆間椆?間?間?間???間?間，?間?間，是否為點(diǎn)列，并說明理由；?（2）若?為點(diǎn)列，且點(diǎn)在點(diǎn)椆的右上方、任取其中連續(xù)三點(diǎn)、椆、，判斷椆的形狀（銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形），并予以證明；（3）若?為點(diǎn)列，正整數(shù)椆???滿足＝，求證：．22.已知是實(shí)系數(shù)方程?區(qū)的虛根，記它在直角坐標(biāo)平面上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，?椆?若?間?在直線?區(qū)上，求證：在圓：?灰椆??椆上；椆??區(qū)間、???灰?：圓定給?，則存在唯一的線段滿足：①若在圓上，則?間?在線段上；②若?間?是線段上一點(diǎn)（非端點(diǎn)），則在圓上、寫出線段的表達(dá)式，并說明理由；???由??知線段與圓之間確定了一種對(duì)應(yīng)關(guān)系，通過這種對(duì)應(yīng)關(guān)系的研究，填寫表（表中椆是?椆?中圓椆的對(duì)應(yīng)線段）．線段與線段椆的關(guān)系、的取值或表達(dá)式所在直線平行于椆所在直線所在直線平分線段椆試卷第3頁，總8頁
參考答案與試題解析2008年上海市春季高考數(shù)學(xué)試卷一、填空題（共12小題，每小題4分，滿分48分）1.????椆2.?3.灰間椆??椆間?4.?椆5.灰椆6.cos7.8.椆9.灰椆椆10.椆11.灰灰椆?12.二、選擇題（共4小題，每小題4分，滿分16分）13.C14.D15.B16.B三、解答題（共6小題，滿分86分）cos椆灰cossin17.解：原式?灰??sincossinsincoscos又cos?灰，?間?，?∴sin?椆灰?，?cos椆?∴灰?灰sinsin18.解：由已知可得?間區(qū)?椆間椆?，?間區(qū)?，?，解得拋物線方程為?椆于是焦點(diǎn)?，區(qū)??椆?區(qū)灰??∴點(diǎn)到直線的距離為?試卷第4頁，總8頁
19.解：（1）任取?，則??椆?log灰?椆椆?log???灰??椆椆椆椆log，椆∵?，∴區(qū)?椆椆?椆，椆椆椆椆椆∴區(qū)?椆?椆，log椆?區(qū)，∴?椆????，即函數(shù)??在?灰間?內(nèi)單調(diào)遞增（2）∵灰椆??區(qū)??椆灰?log??，灰椆灰椆∴???椆灰椆?log?椆log??椆?log灰?椆灰?log???灰?當(dāng)椆時(shí)，，椆?椆?∴椆灰?椆椆?∴的取值范圍是log???log，??20.解：?椆?設(shè)的重心為，連結(jié)8，區(qū)?由題意可得，?，?設(shè)細(xì)鋼管上下兩段之比為，?區(qū)已知凳子高度為?區(qū)，則8?，椆∵節(jié)點(diǎn)8與凳面三角形重心的連線與地面垂直，且凳面與地面平行，∴8就是8與平面所成的角，亦即8??，∵?8，?區(qū)區(qū)?∴?，椆??解得?區(qū)??，灰?即節(jié)點(diǎn)8分細(xì)鋼管上下兩段的比值約為區(qū)??.??設(shè)?椆區(qū)，∴???，???，設(shè)的重心為，則?間?，由節(jié)點(diǎn)8分細(xì)鋼管上下兩段之比為?，可知8?椆，試卷第5頁，總8頁
設(shè)過點(diǎn)，，的細(xì)鋼管分別為，，，則??8?8?椆區(qū)?區(qū)?，?8?8?椆區(qū)椆???椆，∴對(duì)應(yīng)于，，三點(diǎn)的三根細(xì)鋼管長度分別為區(qū)?，??椆和區(qū)?.椆21.由題意可知?，椆椆灰椆∴?灰?，椆?椆?顯然有椆，∴?是點(diǎn)列在椆中，椆??灰椆間灰椆?間椆??椆間灰椆?，椆椆?灰椆?灰椆??灰椆?∵點(diǎn)在點(diǎn)椆的右上方，∴椆＝灰椆區(qū)，∵?為點(diǎn)列，∴椆區(qū)，∴?灰椆??灰椆?＝灰椆?區(qū)，則椆椆?區(qū)∴椆為鈍角，∴椆為鈍角三角形、∵椆???，＝，∴灰＝灰區(qū)①灰＝灰灰椆灰椆灰灰???椆灰＝灰椆灰????灰?②同理灰＝灰椆灰????灰?灰椆、③由于?為點(diǎn)列，于是灰椆，④由①、②、③、④可推得灰灰，∴灰灰，即22.解：?椆?由題意可得?區(qū)，解方程灰?區(qū)，得?灰灰灰∴點(diǎn)?灰間灰灰?灰灰灰間灰?或?，將點(diǎn)代入圓椆的方程，等號(hào)成立，∴在圓：?灰椆??椆上；椆??當(dāng)?區(qū)，即?時(shí)，解得?灰灰，∴點(diǎn)?灰間灰?灰灰間灰?或?，由題意可得?灰灰?灰?，整理后得?灰灰，∵???灰??，區(qū)??灰?，∴?灰灰間灰?∴線段為：?灰灰，灰灰間灰試卷第6頁，總8頁
若?間?是線段上一點(diǎn)（非端點(diǎn)），則實(shí)系數(shù)方程為灰灰?區(qū)，?灰灰間灰?此時(shí)?區(qū)，且點(diǎn)?灰間灰????灰間灰灰???在圓上；???所求如下表：、線的段取值與或線表段達(dá)椆式的關(guān)系?所椆在，直線椆平行于椆所在直線灰所?灰在椆??直椆線，平椆分線段椆線?椆段???與線段椆長試卷第7頁，總8頁
度相等試卷第8頁，總8頁
