2008年上海市高考數(shù)學(xué)試卷（理科）一、填空題（共11小題，每小題4分，滿分44分）)1.不等式??的解集是________．2.若集合?，?滿足?，則實(shí)數(shù)________．3.若復(fù)數(shù)滿足???（是虛數(shù)單位），則________．4.若函數(shù)??的反函數(shù)為??????，則??________．5.若向量，滿足?且與的夾角為，則________．6.函數(shù)??sinsin??的最大值是________．7.在平面直角坐標(biāo)系中，從六個(gè)點(diǎn)：?????、????、???、????、???、???中任取三個(gè)，這三點(diǎn)能構(gòu)成三角形的概率是________（結(jié)果用分?jǐn)?shù)表示）．8.設(shè)函數(shù)??是定義在上的奇函數(shù)，若當(dāng)????時(shí)，??lg，則滿足???的?shù)娜≈捣秶莀_______．9.已知總體的各個(gè)體的值由小到大依次為，，，，，，，?，′?，?，且總體的中位數(shù)為???，平均數(shù)為?．若要使該總體的方差最小，則、的取值分別是________．10.某海域內(nèi)有一孤島，島四周的海平面（視為平面）上有一淺水區(qū)（含邊界），其邊界是長軸長為，短軸長為的橢圓，已知島上甲、乙導(dǎo)航燈的海拔高度分別為、，且兩個(gè)導(dǎo)航燈在海平面上的投影恰好落在橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)上，現(xiàn)有船只經(jīng)過該海域（船只的大小忽略不計(jì)），在船上測(cè)得甲、乙導(dǎo)航燈的仰角分別為、，那么船只已進(jìn)入該淺水區(qū)的判別條件是________．11.方程??的解可視為函數(shù)?shù)膱D象與函數(shù)?shù)膱D象交點(diǎn)?shù)臋M坐標(biāo)，若??的各個(gè)實(shí)根，，…，??所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)?????,…,?均在直線?shù)耐瑐?cè)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是________．二、選擇題（共4小題，每小題4分，滿分16分）)12.組合數(shù)??、?恒等于（）??A.B.????????C.D.??13.給定空間中的直線及平面，條件“直線與平面內(nèi)無數(shù)條直線都垂直”是“直線與平面垂直”的（）條件．試卷第1頁，總7頁
A.充要B.充分非必要C.必要非充分D.既非充分又非必要14.若數(shù)列?是首項(xiàng)為，公比為?的無窮等比數(shù)列，且?各項(xiàng)的和為，則的值是（）?A.B.C.D.15.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，是一個(gè)與軸的正半軸、軸的正半軸分別相切于點(diǎn)、的定圓所圍成區(qū)域（含邊界），、、、是該圓的四等分點(diǎn)，若點(diǎn)???、???滿足且，則稱優(yōu)于，如果中的點(diǎn)滿足：不存在中的其它點(diǎn)優(yōu)于，那么所有這樣的點(diǎn)組成的集合是劣弧（）A.B.C.D.三、解答題（共6小題，滿分90分）)16.如圖，在棱長為的正方體?中，是的中點(diǎn)．求直線與平面所成角的大?。ńY(jié)果用反三角函數(shù)值表示）．17.如圖，某住宅小區(qū)的平面圖呈圓心角為?的扇形扇，小區(qū)的兩個(gè)出入口設(shè)置在點(diǎn)及點(diǎn)處，且小區(qū)里有一條平行于扇的小路，已知某人從沿走到用了?分鐘，從沿走到用了分鐘，若此人步行的速度為每分鐘??米，求該扇形的半徑扇的長（精確到米）18.已知雙曲線：?，為雙曲線上任意一點(diǎn)．試卷第2頁，總7頁
（1）求證：點(diǎn)到雙曲線的兩條漸近線的距離的乘積是一個(gè)常數(shù)；（2）若點(diǎn)????，求的最小值．19.已知函數(shù)???．（1）若??，求?shù)闹?；?）若?????對(duì)于，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．20.設(shè)??????是平面直角坐標(biāo)系扇中的點(diǎn)，是經(jīng)過原點(diǎn)與點(diǎn)???的直線，記是直線與拋物線?????的異于原點(diǎn)的交點(diǎn)（1）若，，?，求點(diǎn)的坐標(biāo)（2）若點(diǎn)??????在橢圓上，?，求證：點(diǎn)落在雙曲線?上（3）若動(dòng)點(diǎn)???滿足?，?，若點(diǎn)始終落在一條關(guān)于軸對(duì)稱的拋物線上，試問動(dòng)點(diǎn)的軌跡落在哪種二次曲線上，并說明理由．?21.已知以為首項(xiàng)的數(shù)列?滿足：（1）當(dāng)，，時(shí)，求數(shù)列?的通項(xiàng)公式（2）當(dāng)???，，時(shí)，試用表示數(shù)列?的前??項(xiàng)的和??（3）當(dāng)???（是正整數(shù)），，時(shí)，求證：數(shù)列?，?，?，?成等比數(shù)列當(dāng)且僅當(dāng)．試卷第3頁，總7頁
參考答案與試題解析2008年上海市高考數(shù)學(xué)試卷（理科）一、填空題（共11小題，每小題4分，滿分44分）1.????2.3.4.5.6.7.8.????????9.???，???10.cotcot11.????????二、選擇題（共4小題，每小題4分，滿分16分）12.D13.C14.B15.D三、解答題（共6小題，滿分90分）16.解：過作，交于，連接．∵，∴，而平面∴平面，∴是直線與平面所成的角由題意，得．∵，?．試卷第4頁，總7頁
?∵，∴tan．??故直線與平面所成角的大小是arctan?17.該扇形的半徑扇的長約為?米．法二：連接，作扇，交于，由題意，得???（米），??（米），?在扇中，?cos?????????????．∴??（米）．?cos．在直角扇中，??（米），cos扇，??∴扇?（米）．cos扇答：該扇形的半徑扇的長約為?米．18.（1）證明：設(shè)???，由題意得雙曲線的兩條漸近線方程分別為???和?，則點(diǎn)???到兩條漸近線的距離分別為和，又????，所以點(diǎn)到雙曲線的兩條漸線的距離的乘積是一個(gè)常????數(shù)．（2）解：設(shè)???，則?????????????因?yàn)辋敚援?dāng)時(shí)，有最小值，???即的最小值為．?19.解（1）當(dāng)??時(shí)，????，∴??無解；當(dāng)?時(shí)，???，?，∴?????，∴．∵?，∴?（舍）．∴，試卷第5頁，總7頁
∴log??．（2）∵，，∴????，∴???????．∴???，即，時(shí)??恒成立又??????，∴?．∴實(shí)數(shù)的取值范圍為???．20.解：（1）當(dāng)，，?時(shí)，′解方程組得即點(diǎn)的坐標(biāo)為?′??（2）證明：由方程組得即點(diǎn)的坐標(biāo)為?，?∵時(shí)橢圓上的點(diǎn)，即∴????????，因此點(diǎn)落在雙曲線?上（3）設(shè)所在的拋物線方程為???，?將?，?代入方程，得???，即?當(dāng)?時(shí)，，此時(shí)點(diǎn)的軌跡落在拋物線上；當(dāng)時(shí)，???，此時(shí)點(diǎn)的軌跡落在圓上；???當(dāng)?且時(shí)，，此時(shí)點(diǎn)的軌跡落在橢圓上；???當(dāng)??時(shí)?，此時(shí)點(diǎn)的軌跡落在雙曲線上；?????21.解：（1）由題意得??，???（2）當(dāng)???時(shí)，，，，?，，，??，?，?∴???????????′???試卷第6頁，總7頁
?????????????′（3）當(dāng)時(shí)，，?∵???，∴；∵???∴；∵???，∴，∴?，?，?，∴?綜上所述，當(dāng)時(shí)，數(shù)列?，?，?，?是公比為的等比數(shù)列當(dāng)時(shí)，????，???，????，?????，由于???，??，??故數(shù)列?，?，?，?，不是等比數(shù)列所以，數(shù)列?，?，?，?，成等比數(shù)列當(dāng)且僅當(dāng)試卷第7頁，總7頁
