2011年上海市春季高考數學試卷一、填空題（本大題滿分56分）本大題共有14題，考生應在答題紙相應編號的空格內直接填寫結果，每題填對得4分，否則一律得零分．)1.函數f(x)＝lg(x-2)的定義域是________．2.若集合A={x|x≥1}，B={x|x2≤4}，則A∩B=________．3.在△ABC中，tanA=23，則sinA=________．4.若行列式2x412=0，則x=________．5.若sinx=13，x∈[-π2,π2]，則x＝________（結果用反三角函數表示）6.(x+1x)6的二項展開式的常數項為________．7.兩條直線l1:x-3y+2=0與l2:x-y+2=0的夾角的大小是________．8.若Sn為等比數列{an}的前n項的和，8a2+a5=0，則S6S3=________．9.若橢圓C的焦點和頂點分別是雙曲線x25-y24=1的頂點和焦點，則橢圓C的方程是________．10.若點O和點F分別為橢圓x22+y2=1的中心和左焦點，點P為橢圓上的任意一點，則|OP|2+|PF|2的最小值為________．11.根據如圖所示的程序框圖，輸出結果i=________．12.2011年上海春季高考有8所高校招生，如果某3位同學恰好被其中2所高校錄取，那么錄取方法的種數為________．13.有一種多面體的飾品，其表面右6個正方形和8個正三角形組成（如圖），則AB與CD所成的角的大小是________．試卷第5頁，總6頁 14.為求方程x5-1=0的虛根，可以把原方程變形為(x-1)(x2+ax+1)(x2+bx+1)=0，由此可得原方程的一個虛根為________．二、選擇題（本大題滿分20分）本大題共有4題，每題有且只有一個正確答案，考生應在答題紙的相應編號上，將代表答案的小方格涂黑，選對得5分，否則一律得零分．)15.若向量a→=(2,0),b→=(1,1)，則下列結論正確的是（）A.a→?b→=1B.|a|=|b→|C.(a→-b→)⊥b→D.a→∥b→16.f(x)=4x-12x的圖象關于（）A.原點對稱B.直線y=x對稱C.直線y=-x對稱D.y軸對稱17.直線l:y=k(x+12)與圓C:x2+y2=1的位置關系是（）A.相交或相切B.相交或相離C.相切D.相交18.若a1→，a2→，a3→均為單位向量，則a1→=(33,?63)是a1→+a2→+a3→=(3,?6)的（）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件三、解答題（本大題滿分74分）本大題共有5題，解答下列各題必須在答題紙相應編號規(guī)定區(qū)域內寫出必要的步驟．)19.已知向量a→=(sin2x-1,?cosx)，b→=(1,?2cosx)，設函數f(x)=a→?b→，求函數f(x)的最小正周期及x∈[0,?π2]時的最大值．20.某甜品店制作蛋筒冰淇淋，其上半部分呈半球形，下半部分呈圓錐形（如圖）．現把半徑為10cm的圓形蛋皮分成5個扇形，用一個扇形蛋皮圍成錐形側面（蛋皮厚度忽略不計），求該蛋筒冰淇淋的表面積和體積（精確到0.01）．21.已知拋物線F:y2=4x（1）△ABC的三個頂點在拋物線F上，記△ABC的三邊AB、BC、CA所在的直線的斜率分別為kAB，kBC，kCA，若A的坐標在原點，求kAB-kBC+kCA的值；試卷第5頁，總6頁 （2）請你給出一個以P(2,?1)為頂點、其余各頂點均為拋物線F上的動點的多邊形，寫出各多邊形各邊所在的直線斜率之間的關系式，并說明理由．22.定義域為R，且對任意實數x1，x2都滿足不等式f(x1+x22)≤f(x1)+f(x2)2的所有函數f(x)組成的集合記為M，例如，函數f(x)=kx+b∈M．（1）已知函數f(x)=x,x≥012x，x<0，證明：f(x)∈M；（2）寫出一個函數f(x)，使得f(x0)?M，并說明理由；（3）寫出一個函數f(x)∈M，使得數列極限limn→∞f(n)n2=1，limn→∞f(-n)-n=1．23.對于給定首項x0>3a(a>0)，由遞推公式xn+1=12(xn+axn)(n∈N)得到數列{xn}，對于任意的n∈N，都有xn>3a，用數列{xn}可以計算3a的近似值．（1）取x0=5，a=100，計算x1，x2，x3的值（精確到0.01）；歸納出xn，xn+1，的大小關系；（2）當n≥1時，證明：xn-xn+1<12(xn-1-xn)；（3）當x0∈[5,?10]時，用數列{xn}計算3100的近似值，要求|xn-xn+1|<10-4，請你估計n，并說明理由．試卷第5頁，總6頁 參考答案與試題解析2011年上海市春季高考數學試卷一、填空題（本大題滿分56分）本大題共有14題，考生應在答題紙相應編號的空格內直接填寫結果，每題填對得4分，否則一律得零分．1.(2,?+∞)2.{x|1≤x≤2}3.22114.15.arcsin136.207.π128.-79.x29+y24=110.211.812.16813.π314.-1-5+10-25i4二、選擇題（本大題滿分20分）本大題共有4題，每題有且只有一個正確答案，考生應在答題紙的相應編號上，將代表答案的小方格涂黑，選對得5分，否則一律得零分．15.C16.A17.D18.B三、解答題（本大題滿分74分）本大題共有5題，解答下列各題必須在答題紙相應編號規(guī)定區(qū)域內寫出必要的步驟．19.解：∵向量a→=(sin2x-1,?cosx)，b→=(1,?2cosx)，函數f(x)=a→?b→=(sin2x-1)+2cos2x=sin2x+cos2x=2sin(2x+π4)，故函數的周期為2π2=π．∵x∈[0,?π2]，∴π4≤2x+π4≤5π4，故當2x+π4=π2時，函數取得最大值為?2．試卷第5頁，總6頁 20.解：設圓錐的底面半徑為r，高為h．因為2πr=25π?10，所以r=2．則h=102-22=46．則圓錐的表面積S=π?1025+2π?22=28π≈87.96(cm2)．體積V=13π?22×46+23π?23=163(6+1)π≈57.80(cm2)．故該蛋筒冰淇淋的表面積約為87.96cm2，體積約為57.80cm3．21.解：（1）設B(x1,?y1)，C(x2,?y2)，∵x12=4y1，x22=4y2，∴kAB-kBC+kCA=y1x1-y2-y1x2-x1+y2x2=14x1-14(x1+x2)+14x2=0；（2）①研究△PBC，kPB-kBC+kCP=yB-yPxB-xP-yC-yBxC-xB+yP-yCxP-xC=xP+xB4-xB+xC4+xC+xP4=xP2=1；②研究四邊形PBCD，kPB-kBC+kCD-kDP=xP+xB4-xB+xC4+xC+xD4-xD+xP4=0；③研究五邊形PBCDE，kPB-kBC+kCD-kDE+kEP=xP+xB4-xB+xC4+xC+xD4-xD+xE4+xE+xP4=xP2=1；④研究n=2k邊形P1P2...P2k(k∈N,?k≥2)，其中P1=P，有kP1P2-kP2P3+kP3P4-...+(-1)2k-1kP2kP1=0，證明：左邊=14(xP1+xP2)-14(xP2+xP3)+…+(-1)2k-114(xP2k+xP1)=xP14[1+(-1)2k-1]=1+(-1)2k-12=0=右邊；⑤研究n=2k-1邊形P1P2...P2k-1(k∈N,?k≥2)，其中P1=P，有kP1P2-kP2P3+kP3P4-...+(-1)2k-2kP2k-1P1=1，證明：左邊=14(xP1+xP2)-14(xP2+xP3)+…+(-1)2k-1-114(xP2k-1+xP1)=xP14[1+(-1)2k-1-1]=1+(-1)2k-1-12=1=右邊；⑥研究n邊形P1P2...Pn(k∈N,?k≥3)，其中P1=P，有kP1P2-kP2P3+kP3P4-...+(-1)n-1kPnP1=1+(-1)n-12，證明：左邊=14(xP1+xP2)-14(xP2+xP3)+…+(-1)n-114(xPn+xP1)=xP14[1+(-1)n-1]=1+(-1)n-12=右邊．22.解：（1）證明：由題意，當x1≤x2≤0或0≤x1≤x2時，f(x1+x22)≤f(x1)+f(x2)2成立設x1≤0≤x2，且x1+x22<0，∵f(x1)+f(x2)2-f(x1+x22)=12(12x1+x2)-12?x1+x22=x24≥0∴f(x1+x22)≤f(x1)+f(x2)2成立試卷第5頁，總6頁 設x1≤0≤x2，且x1+x22≥0，∵f(x1)+f(x2)2-f(x1+x22)=12(12x1+x2)-12?x1+x22=-x14≥0∴f(x1+x22)≤f(x1)+f(x2)2成立∴綜上所述，f(x)∈M；（2）如函數f(x)=-x2，f(x)?M取x1=-1，x2=1，則f(x1)+f(x2)2=-1，f(x1+x22)=0此時f(x1+x22)≤f(x1)+f(x2)2不成立；（3）f(x)=x2，x≥1x,x<1滿足f(x)∈M，且limn→∞f(n)n2=limn→∞n2n2=1，limn→∞f(-n)-n=limn→∞-n-n=1．23.（1）解：∵x0=5，a=100，xn+1=12(xn+axn)∴x1=12(5+1005)≈4.74同理可得x2≈4.67，x3≈4.65猜想xn>xn+1；（2）證明：xn-xn+1-12(xn-1-xn)=xn-12axn-12xn-1=a2?xn-xn-1xn-1xn∵xn>3a；∴xn-xn+1=12(xn-axn)=12?xn3-axn>0∴xn>xn+1∴xn-xn+1<12(xn-1-xn)；（3）解：由（2）知0104(x0-x1)∵x0-x1=12(x0-10x0)∴n>log2(104?10-102)=15.1∴n=16．試卷第5頁，總6頁