2015年上海市高考數(shù)學(xué)試卷（理科）一、填空題（本大題共有14題，滿分48分．）考生應(yīng)在答題紙相應(yīng)編號(hào)的空格內(nèi)直接填寫(xiě)結(jié)果，每個(gè)空格填對(duì)4分，否則一律得零分．)1.設(shè)全集全．若集合全?，全耀，則全________．2.若復(fù)數(shù)滿足?全???，其中?是虛數(shù)單位，則全________．?全，3.若線性方程組的增廣矩陣為解為則?＝________．?全㈠，4.若正三棱柱的所有棱長(zhǎng)均為，且其體積為?，則全________．5.拋物線全上的動(dòng)點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離的最小值為?，則全________．6.若圓錐的側(cè)面積與過(guò)軸的截面面積之比為，則其母線與軸的夾角的大小為_(kāi)_______．7.方程log?㈠全log??的解為_(kāi)_______．8.在報(bào)名的名男老師和名女教師中，選?、迦藚⒓恿x務(wù)獻(xiàn)血，要求男、女教師都有，則不同的選取方式的種數(shù)為_(kāi)_______（結(jié)果用數(shù)值表示）．9.已知點(diǎn)和的橫坐標(biāo)相同，的縱坐標(biāo)是的縱坐標(biāo)的倍，和的軌跡分別為雙曲線?和．若?的漸近線方程為全，則的漸近線方程為_(kāi)_______．10.設(shè)?為全?，的反函數(shù)，則全??的最大值為_(kāi)_______．??11.在???的展開(kāi)式中，項(xiàng)的系數(shù)為_(kāi)_______（結(jié)果用數(shù)值表示）．?㈠12.賭博有陷阱．某種賭博每局的規(guī)則是：賭客先在標(biāo)記有?，，，，㈠的卡片中隨機(jī)摸取一張，將卡片上的數(shù)字作為其賭金（單位：元）；隨后放回該卡片，再隨機(jī)摸取兩張，將這兩張卡片上數(shù)字之差的絕對(duì)值的??倍作為其獎(jiǎng)金（單位：元）．若隨機(jī)變量?和分別表示賭客在一局賭博中的賭金和獎(jiǎng)金，則?全________（元）．13.已知函數(shù)全sin．若存在?，，…，滿足????，且耀耀?耀耀?????耀耀全?，則??的最小值為_(kāi)_______．?14.在銳角三角形中，tan全，為邊上的點(diǎn)，與的面積分別為和．過(guò)作于，于，則全________．二、選擇題（本大題共有4題，滿分15分．）每題有且只有一個(gè)正確答案，考生應(yīng)在答題紙的相應(yīng)編號(hào)上，將代表答案的小方格涂黑，選對(duì)得5分，否則一律得零分．)15.設(shè)?，，則“?、中至少有一個(gè)數(shù)是虛數(shù)”是“?是虛數(shù)”的()A.充分非必要條件B.必要非充分條件C.充要條件D.既非充分又非必要條件試卷第1頁(yè)，總8頁(yè) 16.已知點(diǎn)的坐標(biāo)為?，將繞坐標(biāo)原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至，則點(diǎn)的縱坐標(biāo)為()㈠???A.B.C.D.17.記方程①：???全，方程②：??全，方程③：???全，其中?，，是正實(shí)數(shù)．當(dāng)?，，成等比數(shù)列時(shí)，下列選項(xiàng)中，能推出方程③無(wú)實(shí)根的是（）A.方程①有實(shí)根，且②有實(shí)根B.方程①有實(shí)根，且②無(wú)實(shí)根C.方程①無(wú)實(shí)根，且②有實(shí)根D.方程①無(wú)實(shí)根，且②無(wú)實(shí)根18.設(shè)是直線全與圓?全在第一象限的交點(diǎn)，則???極限lim全??A.?B.C.?D.三、解答題（本大題共有5題，滿分74分）解答下列各題必須在答題紙相應(yīng)編號(hào)的規(guī)定區(qū)域內(nèi)寫(xiě)出必要的步驟.)19.如圖，在長(zhǎng)方體????中，?全?，全全，、分別是、的中點(diǎn)，證明?、?、、四點(diǎn)共面，并求直線?與平面??所成的角的大?。?0.如圖，，，三地有直道相通，全㈠千米，全千米，全千米．現(xiàn)甲、乙兩警員同時(shí)從地出發(fā)勻速前往地，經(jīng)過(guò)小時(shí)，他們之間的距離為（單位：千米）．甲的路線是，速度為㈠千米/小時(shí)，乙的路線是，速度為千米/小時(shí)．乙到達(dá)地后原地等待．設(shè)全?時(shí)乙到達(dá)地．?求?與?的值；試卷第2頁(yè)，總8頁(yè) 已知警員的對(duì)講機(jī)的有效通話距離是千米．當(dāng)??時(shí)，求的表達(dá)式，并判斷在??上的最大值是否超過(guò)？說(shuō)明理由．21.已知橢圓?全?，過(guò)原點(diǎn)的兩條直線和分別于橢圓交于、和、，?記得到的平行四邊形的面積為．?設(shè)??，，用、的坐標(biāo)表示點(diǎn)到直線?的距離，并證明全耀??耀；?設(shè)?與的斜率之積為，求面積的值．22.已知數(shù)列與滿足全，．?????若全?㈠，且?全?，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；設(shè)的第項(xiàng)是最大項(xiàng)，即，求證：數(shù)列的第項(xiàng)是最大項(xiàng)；設(shè)全，全，求的取值范圍，使得有最大值與最小值，?且．23.對(duì)于定義域?yàn)榈暮瘮?shù)，若存在正常數(shù)，使得cos是以為周期的函數(shù)，則稱為余弦周期函數(shù)，且稱為其余弦周期．已知是以為余弦周期的余弦周期函數(shù)，其值域?yàn)椋O(shè)單調(diào)遞增，全，全．?驗(yàn)證全?sin是以為周期的余弦周期函數(shù)；設(shè)，證明對(duì)任意，存在，使得全；證明：“為方程cos全?在上得解，”的充分條件是“?為方程cos全?在區(qū)間上的解”，并證明對(duì)任意，都有?全?．試卷第3頁(yè)，總8頁(yè) 參考答案與試題解析2015年上海市高考數(shù)學(xué)試卷（理科）一、填空題（本大題共有14題，滿分48分．）考生應(yīng)在答題紙相應(yīng)編號(hào)的空格內(nèi)直接填寫(xiě)結(jié)果，每個(gè)空格填對(duì)4分，否則一律得零分．1.???2.??3.?4.5.6.7.全8.?9.全10.11.㈠12.?13.?14.?㈠二、選擇題（本大題共有4題，滿分15分．）每題有且只有一個(gè)正確答案，考生應(yīng)在答題紙的相應(yīng)編號(hào)上，將代表答案的小方格涂黑，選對(duì)得5分，否則一律得零分．15.B16.D17.B18.A三、解答題（本大題共有5題，滿分74分）解答下列各題必須在答題紙相應(yīng)編號(hào)的規(guī)定區(qū)域內(nèi)寫(xiě)出必要的步驟.19.解：連接，因?yàn)椋謩e是，的中點(diǎn)，所以是的中位線，所以．由長(zhǎng)方體的性質(zhì)知??，所以??，所以?、?、、四點(diǎn)共面．以為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、?分別為、、軸，建立空間直角坐標(biāo)系，試卷第4頁(yè)，總8頁(yè) 易求得?全?，??全，?全??，設(shè)平面??的法向量為全，??全，則?全，?全，所以全，令全?，得全?，全?，所以全???，耀?耀耀????耀?㈠所以耀cos，?耀全全全，耀耀耀?耀㈠?㈠?㈠所以直線?與平面??所成的角的大小arcsin．?㈠20.解：?由題意可得?全全小時(shí)，?㈠設(shè)此時(shí)甲運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)，則全甲?全㈠全千米，∴?全全?cos?㈠?㈠?全?全千米.㈠當(dāng)?時(shí)，乙在上的點(diǎn)，設(shè)甲在點(diǎn)，∴全?全，全全㈠㈠，∴全全?cos全?㈠㈠㈠㈠?全㈠??，試卷第5頁(yè)，總8頁(yè) 當(dāng)?時(shí)，乙在點(diǎn)不動(dòng)，設(shè)此時(shí)甲在點(diǎn)，∴全全全㈠㈠㈠??，∴全㈠㈠?，?∴當(dāng)?時(shí)，，故的最大值沒(méi)有超過(guò)千米．?21.解：?依題意，直線?的方程為全，?由點(diǎn)到直線間的距離公式得：?耀?耀耀??耀點(diǎn)到直線?的距離全全，???????因?yàn)橐???，所以全耀耀全耀??耀.當(dāng)?與時(shí)的斜率之一不存在時(shí)，同理可知結(jié)論成立.?設(shè)直線?的斜率為，則直線的斜率為，全，設(shè)直線?的方程為全，聯(lián)立方程組?全?，?消去解得全，???根據(jù)對(duì)稱性，設(shè)?全，則?全，????同理可得全，全，????所以全耀??耀全．22.?解：∵??全??，全?㈠，∴??全??全?㈠全，∴是等差數(shù)列，首項(xiàng)為?全?，公差為，則全???全㈠；證明：∵全???????????全???????????全???，?∴全???，??∴全??????．∴數(shù)列的第項(xiàng)是最大項(xiàng)；解：由可得全，①當(dāng)?時(shí)，全單調(diào)遞減，有最大值全全；?全?單調(diào)遞增，有最小值全?全，試卷第6頁(yè)，總8頁(yè) ∴全?，?∴，，?∴，．②當(dāng)全?時(shí)，全，?全?，∴全，全?，全，不滿足條件．③當(dāng)?時(shí)，當(dāng)?時(shí)，?，無(wú)最大值；當(dāng)?時(shí)，?，無(wú)最小值．?綜上所述，時(shí)滿足條件．23.解：?全?sin，?∴cos?全cos??sin全cos?sin全cos，∴是以為周期的余弦周期函數(shù)；∵的值域?yàn)椋啻嬖冢谷?又，∴，而為增函數(shù).∴，即存在，使全.證明：若?為方程cos全?在區(qū)間上的解，則：cos?全?，?，∴cos全?，且，∴為方程cos全?在上的解，∴“為方程cos全?在上得解”的充分條件是“?為方程cos全?在區(qū)間上的解”；下面證明對(duì)任意，都有?全?：①當(dāng)全時(shí)，全，∴顯然成立；②當(dāng)全時(shí)，cos全cos全?，∴全?，?，全，且?，∴?；?若?全，全，由知存在，使全；cos?全cos全??全，，∴?，∴，∴，無(wú)解；若?㈠，?，則存在?，使得?全，全，則，?，，為cos全?在上的個(gè)解，但方程cos全?在上只有全，，，個(gè)解，矛盾；當(dāng)?全時(shí)，全全?，結(jié)論成立；③當(dāng)時(shí)，，考查方程cos全在上的解，試卷第7頁(yè)，總8頁(yè) 設(shè)其解為?，，…，，????，則??，?，…，?為方程cos全在上的解，又?，而??，?，…，?為方程cos全在上的解，∴??全??全??，∴綜上對(duì)任意，都有?全?．試卷第8頁(yè)，總8頁(yè)