2021年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試數學試題文1.設集合，則（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】求出集合后可求.【詳解】，故，故選：B.2.為了解某地農村經濟情況，對該地農戶家庭年收入進行抽樣調查，將農戶家庭年收入的調查數據整理得到如下頻率分布直方圖：根據此頻率分布直方圖，下面結論中不正確的是（）A.該地農戶家庭年收入低于4.5萬元的農戶比率估計為6%B.該地農戶家庭年收入不低于10.5萬元的農戶比率估計為10%C.估計該地農戶家庭年收入的平均值不超過6.5萬元D.估計該地有一半以上的農戶，其家庭年收入介于4.5萬元至8.5萬元之間【答案】C【解析】【分析】根據直方圖的意義直接計算相應范圍內的頻率，即可判定ABD,以各組的中間值作為代表乘以相應的頻率，然后求和即得到樣本的平均數的估計值，也就是總體平均值的估計值，計算后即可判定C.,【詳解】因為頻率直方圖中的組距為1，所以各組的直方圖的高度等于頻率.樣本頻率直方圖中的頻率即可作為總體的相應比率的估計值.該地農戶家庭年收入低于4.5萬元的農戶的比率估計值為,故A正確；該地農戶家庭年收入不低于10.5萬元的農戶比率估計值為,故B正確；該地農戶家庭年收入介于4.5萬元至8.5萬元之間的比例估計值為,故D正確；該地農戶家庭年收入的平均值的估計值為(萬元)，超過6.5萬元，故C錯誤.綜上，給出結論中不正確的是C.故選：C.3.已知，則（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】由已知得，根據復數除法運算法則，即可求解.【詳解】，.故選：B.4.下列函數中是增函數的為（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根據基本初等函數的性質逐項判斷后可得正確的選項.【詳解】對于A，為上的減函數，不合題意，舍.對于B，為上的減函數，不合題意，舍.,對于C，在為減函數，不合題意，舍.對于D，為上的增函數，符合題意，故選：D.5.點到雙曲線的一條漸近線的距離為（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】首先確定漸近線方程，然后利用點到直線距離公式求得點到一條漸近線的距離即可.【詳解】由題意可知，雙曲線的漸近線方程為：，即，結合對稱性，不妨考慮點到直線距離：.故選：A.6.青少年視力是社會普遍關注的問題，視力情況可借助視力表測量．通常用五分記錄法和小數記錄法記錄視力數據，五分記錄法的數據L和小數記錄表的數據V的滿足．已知某同學視力的五分記錄法的數據為4.9，則其視力的小數記錄法的數據為（）（）A.1.5B.1.2C.0.8D.0.6【答案】C【解析】【分析】根據關系，當時，求出，再用指數表示，即可求解.【詳解】由，當時，，則.故選：C.7.在一個正方體中，過頂點A的三條棱的中點分別為E，F，G．該正方體截去三棱錐后，所得多面體的三視圖中，正視圖如圖所示，則相應的側視圖是（）,A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根據題意及題目所給的正視圖還原出幾何體的直觀圖，結合直觀圖進行判斷.【詳解】由題意及正視圖可得幾何體的直觀圖，如圖所示，所以其側視圖為故選：D8.在中，已知，，，則（）A.1B.C.D.3【答案】D【解析】【分析】利用余弦定理得到關于BC長度的方程，解方程即可求得邊長.【詳解】設，結合余弦定理：可得：，,即：，解得：（舍去），故.故選：D.【點睛】利用余弦定理及其推論解三角形的類型：(1)已知三角形的三條邊求三個角；(2)已知三角形的兩邊及其夾角求第三邊及兩角；(3)已知三角形的兩邊與其中一邊的對角，解三角形．9.記為等比數列的前n項和.若，，則（）A.7B.8C.9D.10【答案】A【解析】【分析】根據題目條件可得，，成等比數列，從而求出，進一步求出答案.【詳解】∵為等比數列的前n項和，∴，，成等比數列∴，∴，∴.故選：A.10.將3個1和2個0隨機排成一行，則2個0不相鄰的概率為（）A.0.3B.0.5C.0.6D.0.8【答案】C【解析】【分析】利用古典概型的概率公式可求概率.【詳解】解：將3個1和2個0隨機排成一行，可以是：，共10種排法，其中2個0不相鄰的排列方法為：,，共6種方法，故2個0不相鄰的概率為，故選：C.11.若，則（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】由二倍角公式可得，再結合已知可求得，利用同角三角函數的基本關系即可求解.【詳解】，，，，解得，，.故選：A.【點睛】關鍵點睛：本題考查三角函數的化簡問題，解題的關鍵是利用二倍角公式化簡求出.12.設是定義域為R的奇函數，且.若，則（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】由題意利用函數的奇偶性和函數的遞推關系即可求得的值.【詳解】由題意可得：，,而，故.故選：C.【點睛】關鍵點點睛：本題主要考查了函數的奇偶性和函數的遞推關系式，靈活利用所給的條件進行轉化是解決本題的關鍵.二?填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.若向量滿足，則_________.【答案】【解析】【分析】根據題目條件，利用模的平方可以得出答案【詳解】∵∴∴.故答案為：.14.已知一個圓錐的底面半徑為6，其體積為則該圓錐的側面積為________.【答案】【解析】【分析】利用體積公式求出圓錐的高，進一步求出母線長，最終利用側面積公式求出答案.【詳解】∵∴∴∴.故答案為：.,15.已知函數的部分圖像如圖所示，則_______________.【答案】【解析】【分析】首先確定函數的解析式，然后求解的值即可.【詳解】由題意可得：，當時，，令可得：，據此有：.故答案為：.,【點睛】已知f(x)＝Acos(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的部分圖象求其解析式時，A比較容易看圖得出，困難的是求待定系數ω和φ，常用如下兩種方法：(1)由ω＝即可求出ω；確定φ時，若能求出離原點最近的右側圖象上升(或下降)的“零點”橫坐標x0，則令ωx0＋φ＝0(或ωx0＋φ＝π)，即可求出φ.(2)代入點的坐標，利用一些已知點(最高點、最低點或“零點”)坐標代入解析式，再結合圖形解出ω和φ，若對A，ω的符號或對φ的范圍有要求，則可用誘導公式變換使其符合要求.16.已知為橢圓C：的兩個焦點，P，Q為C上關于坐標原點對稱的兩點，且，則四邊形的面積為________．【答案】【解析】【分析】根據已知可得，設，利用勾股定理結合，求出，四邊形面積等于，即可求解.【詳解】因為為上關于坐標原點對稱的兩點，且，所以四邊形為矩形，設，則，所以，，即四邊形面積等于.故答案為：.三?解答題：共70分.解答應寫出交字說明?證明過程程或演算步驟，第17~21題為必考題，每個試題考生都必須作答.第22?23題為選考題，考生根據要求作答.(一)必考題：共60分.17.甲、乙兩臺機床生產同種產品，產品按質量分為一級品和二級品，為了比較兩臺機床產品的質量，分別用兩臺機床各生產了200件產品，產品的質量情況統(tǒng)計如下表：一級品二級品合計甲機床15050200,乙機床12080200合計270130400（1）甲機床、乙機床生產的產品中一級品的頻率分別是多少?（2）能否有99%的把握認為甲機床的產品質量與乙機床的產品質量有差異?附：0.0500.0100.001k3.8416.63510.828【答案】（1）75%；60%；（2）能.【解析】【分析】根據給出公式計算即可【詳解】（1）甲機床生產的產品中的一級品的頻率為,乙機床生產的產品中的一級品的頻率為.（2）,故能有99%的把握認為甲機床的產品與乙機床的產品質量有差異.18.記為數列的前n項和，已知，且數列是等差數列，證明：是等差數列.【答案】證明見解析.【解析】【分析】先根據求出數列的公差，進一步寫出的通項，從而求出的通項公式，最終得證.【詳解】∵數列等差數列，設公差為,∴，∴，∴當時，當時，，滿足，∴的通項公式為，∴∴是等差數列.19.已知直三棱柱中，側面為正方形，，E，F分別為和的中點，.（1）求三棱錐的體積；（2）已知D為棱上的點，證明：.【答案】(1)；(2)證明見解析.【解析】【分析】(1)首先求得AC的長度，然后利用體積公式可得三棱錐的體積；(2)將所給的幾何體進行補形，從而把線線垂直的問題轉化為證明線面垂直，然后再由線面垂直可得題中的結論.【詳解】(1)如圖所示，連結AF，,由題意可得：，由于AB⊥BB1，BC⊥AB，，故平面，而平面，故，從而有，從而，則，為等腰直角三角形，，.(2)由(1)結論可將幾何體補形為一個棱長為2的正方體，如圖所示，取棱的中點，連結，正方形中，為中點，則，又，,故平面，而平面，從而.20.設函數，其中.（1）討論的單調性；（2）若的圖象與軸沒有公共點，求a的取值范圍.【答案】（1）的減區(qū)間為，增區(qū)間為；（2）.【解析】【分析】（1）求出函數的導數，討論其符號后可得函數的單調性.（2）根據及（1）的單調性性可得，從而可求a的取值范圍.【詳解】（1）函數的定義域為，又，因為，故，當時，；當時，；所以的減區(qū)間為，增區(qū)間為.（2）因為且的圖與軸沒有公共點，所以的圖象在軸的上方，由（1）中函數的單調性可得，故即.21.拋物線C的頂點為坐標原點O．焦點在x軸上，直線l：交C于P，Q兩點，且．已知點，且與l相切．（1）求C，的方程；,（2）設是C上的三個點，直線，均與相切．判斷直線與的位置關系，并說明理由．【答案】（1）拋物線，方程為；（2）相切，理由見解析【解析】【分析】（1）根據已知拋物線與相交，可得出拋物線開口向右，設出標準方程，再利用對稱性設出坐標，由，即可求出；由圓與直線相切，求出半徑，即可得出結論；（2）先考慮斜率不存在，根據對稱性，即可得出結論；若斜率存在，由三點在拋物線上，將直線斜率分別用縱坐標表示，再由與圓相切，得出與的關系，最后求出點到直線的距離，即可得出結論.【詳解】（1）依題意設拋物線，，所以拋物線的方程為，與相切，所以半徑為，所以的方程為；（2）設若斜率不存在，則方程為或，若方程為，根據對稱性不妨設，則過與圓相切的另一條直線方程為，此時該直線與拋物線只有一個交點，即不存在，不合題意；若方程為，根據對稱性不妨設則過與圓相切的直線為，又，,，此時直線關于軸對稱，所以直線與圓相切；若直線斜率均存在，則，所以直線方程為，整理得，同理直線的方程為，直線的方程為，與圓相切，整理得，與圓相切，同理所以為方程的兩根，，到直線的距離為：，所以直線與圓相切；綜上若直線與圓相切，則直線與圓相切,【點睛】關鍵點點睛：（1）過拋物線上的兩點直線斜率只需用其縱坐標（或橫坐標）表示，將問題轉化為只與縱坐標（或橫坐標）有關；（2）要充分利用的對稱性，抽象出與關系，把的關系轉化為用表示.(二)選考題：共10分.請考生在第22?23題中任選一題作答.如果多做，則按所做的第一題計分.[選修4-4：坐標系與參數方程]22.在直角坐標系中，以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C的極坐標方程為．（1）將C的極坐標方程化為直角坐標方程；（2）設點A的直角坐標為，M為C上的動點，點P滿足，寫出Р的軌跡的參數方程，并判斷C與是否有公共點．【答案】（1）；（2）P的軌跡的參數方程為（為參數），C與沒有公共點.【解析】【分析】（1）將曲線C的極坐標方程化為，將代入可得；（2）設，設，根據向量關系即可求得P的軌跡的參數方程，求出兩圓圓心距，和半徑之差比較可得.【詳解】（1）由曲線C的極坐標方程可得，將代入可得，即，即曲線C的直角坐標方程為；（2）設，設，，則，即，故P的軌跡的參數方程為（為參數）,曲線C的圓心為，半徑為，曲線的圓心為，半徑為2，則圓心距為，，兩圓內含，故曲線C與沒有公共點.[選修4-5：不等式選講]23.已知函數．（1）畫出和的圖像；（2）若，求a的取值范圍．【答案】（1）圖像見解析；（2）【解析】【分析】（1）分段去絕對值即可畫出圖像；（2）根據函數圖像數形結和可得需將向左平移可滿足同角，求得過時的值可求.【詳解】（1）可得，畫出圖像如下：,，畫出函數圖像如下：（2），如圖，同一個坐標系里畫出圖像，是平移了個單位得到，則要使，需將向左平移，即，當過時，，解得或（舍去），則數形結合可得需至少將向左平移個單位，.,