2019-2020學(xué)年北京市某校高三（上）開學(xué)數(shù)學(xué)試卷（8月份）一、選擇題)1.設(shè)為虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)＝′的模＝（）A.B.C.D.2.已知全集＝，若集合＝??′??，則＝（）A.???或?B.???或?tC.???D.??3.命題?t?，?t，則￢是（）A.??，??B.?t?，????C.?t?，?D.??，?4.若，是兩個(gè)非零的平面向量，則“＝”是“′＝?”的（）A.充分且不必要條件B.必要且不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件′5.已知＝ln，＝sin，，則，，的大小關(guān)系為（）A.B.C.D.6.一個(gè)四棱錐的三視圖如圖所示，那么對于這個(gè)四棱錐，下列說法中正確的是（）A.最長棱的棱長為B.最長棱的棱長為C.側(cè)面四個(gè)三角形中有且僅有一個(gè)是正三角形D.側(cè)面四個(gè)三角形都是直角三角形7.已知函數(shù)?＝ln?′，?＝′??，用mini表示i，中的最小值，設(shè)函數(shù)?＝min??，則函數(shù)?的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為A.B.C.D.8.已知拋物線＝?，點(diǎn)i?，為坐標(biāo)原點(diǎn)，若在拋物線上存在一點(diǎn)，使得＝?，則實(shí)數(shù)i的取值范圍是（）試卷第1頁，總8頁 A.B.C.?D.二、填空題)?9.雙曲線′的離心率是________；漸近線方程是________．10.若等比數(shù)列滿足＝，且公比＝，則＝________．11.在?中，＝，，?＝?，則＝________；?的面積為________．12.已知圓的圓心位于第二象限且在直線＝?上，若圓與兩個(gè)坐標(biāo)軸都相切，則圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為________．13.已知函數(shù)?sin?′cos?的一條對稱軸為?′???，且函數(shù)?在??上具有單調(diào)性，則??的最小值為________．14.函數(shù)?＝?′?，已知?的最小值為，則點(diǎn)到直?線?′?距離的最小值為________．三、解答題)15.設(shè)函數(shù)?sin?cos?′?t?的圖象上相鄰最高點(diǎn)與最低點(diǎn)的距離為．Ⅰ求函數(shù)?的周期及的值；Ⅱ求函數(shù)?的單調(diào)遞增區(qū)間．16.某校高三班共有人，在“六選三”時(shí)，該班共有三個(gè)課程組合：理化生，理化歷，史地政．其中，選擇理化生的共有人，選擇理化歷的共有人，其余人選擇了史地政．現(xiàn)采用分層抽樣的方法從中抽取人，調(diào)查他們每天完成作業(yè)的時(shí)間．Ⅰ應(yīng)從這三個(gè)組合中分別抽取多少人？Ⅱ若抽出的人中有人每天完成六科（含語數(shù)英）作業(yè)所需時(shí)間在小時(shí)以上，人在小時(shí)以內(nèi)．先從這人中隨機(jī)抽取人進(jìn)行座談．用表示抽取的人中每天完成作業(yè)的時(shí)間超過小時(shí)的人數(shù)，求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望．17.在四棱錐′?中，平面?平面，底面?為梯形，?，，為中點(diǎn)，過，?，的平面與交于??，Ⅰ求證：為中點(diǎn)；Ⅱ求證：平面；Ⅲ為?中點(diǎn)，求二面角′′?的大小．試卷第2頁，總8頁 18.已知函數(shù)??′??′．Ⅰ當(dāng)＝時(shí)，求函數(shù)?在?上的單調(diào)區(qū)間；Ⅱ求證：當(dāng)?時(shí)，函數(shù)?既有極大值又有極小值．?19.已知橢圓tt?的左右頂點(diǎn)分別為，?，左焦點(diǎn)為，為原點(diǎn)，點(diǎn)為橢圓上不同于，?的任一點(diǎn)，若直線與?的斜率之積為′，且橢圓經(jīng)過點(diǎn)Ⅰ求橢圓的方程；Ⅱ若點(diǎn)不在坐標(biāo)軸上，直線，?交軸與，兩點(diǎn)；若直線與過點(diǎn)為直徑的圓相切，切點(diǎn)為，問切線長是否為定值，若是，求出定值；若不是，請說明理由．20.定義：給定整數(shù)，如果非空集合滿足如下個(gè)條件：①；②；③?，，若?，則?′．則稱集合為“減集”Ⅰ＝是否為“減?集”？是否為“減集”？Ⅱ證明：不存在“減集”；Ⅲ是否存在“減集”？如果存在，求出所有的“減集”；如果不存在，請說明理由．試卷第3頁，總8頁 參考答案與試題解析2019-2020學(xué)年北京市某校高三（上）開學(xué)數(shù)學(xué)試卷（8月份）一、選擇題1.B2.A3.B4.C5.A6.D7.C8.B二、填空題9.,?10.?11.,12.?′13.?14.三、解答題15.（1）?sin?cos?′?t?＝sin?′cos?＝sin?′，則函數(shù)的周期，振幅＝，∵圖象上相鄰最高點(diǎn)與最低點(diǎn)的距離為．∴＝，即，即，即，得＝，得．故函數(shù)?的周期為，．（2）由Ⅰ知?＝sin?′，試卷第4頁，總8頁 由′?′，，得′?，，即函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為′，．16.（1）某校高三班共有人，在“六選三”時(shí)，選擇理化生的共有人，選擇理化歷的共有人，其余人選擇了史地政．現(xiàn)采用分層抽樣的方法從中抽取人，調(diào)查他們每天完成作業(yè)的時(shí)間．應(yīng)從選擇理化生的組合中抽?。喝?，從選擇理化歷的組合中抽?。喝?，′′從選擇史地政的組合中抽?。喝耍?）抽出的人中有人每天完成六科（含語數(shù)英）作業(yè)所需時(shí)間在小時(shí)以上，人在小時(shí)以內(nèi)．先從這人中隨機(jī)抽取人進(jìn)行座談．用表示抽取的人中每天完成作業(yè)的時(shí)間超過小時(shí)的人數(shù)，則的可能取值為，，，＝，＝，＝，∴隨機(jī)變量的分布列為：∴數(shù)學(xué)期望17.（1）證明：∵底面?為梯形，?，為中點(diǎn)，過，?，的平面與交于，∴平面?平面＝，∵?，?平面，平面，∴?平面，∵平面，且平面?，∴?，∴，∵為中點(diǎn)，∴為中點(diǎn)．（2）證明：在平面中過點(diǎn)作，交于，∵平面?平面，平面，平面?平面＝，∴平面?，∵平面?，∴，又，且＝，∴平面．試卷第5頁，總8頁 Ⅲ∵平面，∴，又，，以為原點(diǎn)，，，所在直線分別為?，，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，∴???，??，??，??，?′，∵為?中點(diǎn)，∴?，′?，′?，設(shè)平面的法向量?，′??則，取?，得，′??平面?的法向量i??，設(shè)二面角′′?的大小為，i則cos．∴＝．i∴二面角′′?的大小為．18.（1）當(dāng)＝，且?t?時(shí)，??′??′，所以?＝?′?＝?′?′，令?＝?，得?＝，或?＝；當(dāng)?變化時(shí)，?，?的變化情況如下表：???+?-?+?↗極↘極↗大小值值所以?在?上的單調(diào)遞增區(qū)間是?，，單調(diào)遞減區(qū)間是；（2）當(dāng)?時(shí)，若??，則??′?′?′，所以?＝?′?′＝??′′；因?yàn)??，?，所以?t?；若?t?，則??′??′，試卷第6頁，總8頁 所以?＝?′?；令?＝?，＝′t?，所以有兩個(gè)不相等的實(shí)根?，?，且???；不妨設(shè)?t?，所以當(dāng)?變化時(shí)，?，?的變化情況如下表：??????′??+無-?+定義?↗極↘極↗大小值值因?yàn)楹瘮?shù)?圖象是連續(xù)不斷的，所以當(dāng)?時(shí)，?即存在極大值又有極小值．19.（1）設(shè)?，由題意得′?，??，∴??，?′?′?∴′而得：①，?′又過∴②，所以由①②得：＝，＝；?所以橢圓的方程：；i（2）由Ⅰ得：′?，??設(shè)i，，則直線的方程?，令?＝?，則，所以的坐標(biāo)?，iii′′直線?的方程：?′，令?＝?，，所以坐標(biāo)?，i′i′i′∵∴，∴＝＝＝i′所以切線長．20.（1）∵，，＝，′?，∴是“減?集”同理，∵，，＝，′，∴不是“減集”．（2）假設(shè)存在是“減集”，則若?，那么?′，當(dāng)?＝?′時(shí)，有?′′＝，則?，一個(gè)為，一個(gè)為，所以集合中有元素，但是，′，與是“減集”，矛盾；當(dāng)??′時(shí)，則?＝?′或者?＝?′ii，若?＝?′，則有?′′＝，因此?，一個(gè)為，一個(gè)為，Ⅲ存在“減集”．．①假設(shè)，則中除了元素以外，必然還含有其它元素．假設(shè)，，而′，因此．假設(shè)，，而′，因此．因此可以有＝．試卷第7頁，總8頁 假設(shè)，，而′，因此．假設(shè)，，′，＝，′，因此．因此可以有＝．以此類推可得：＝′，，以及的滿足以下條件的非空子集：，，，……．試卷第8頁，總8頁