清單18平面向量的概念、線性運(yùn)算及基本定理一、知識(shí)與方法清單1.向量向量是既有大小，又有方向的量；向量的大小叫做向量的長(zhǎng)度(或稱(chēng)模)注意向量與有向線段的區(qū)別：(1)向量只有大小和方向兩個(gè)要素，與起點(diǎn)無(wú)關(guān).只要大小和方向相同，這兩個(gè)向量就是相等的向量.(2)有向線段是表示向量的工具，它有起點(diǎn)、大小和方向三個(gè)要素，起點(diǎn)不同，盡管大小和方向相同，也是不同的有向線段.【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1】設(shè)a0為單位向量，①若a為平面內(nèi)的某個(gè)向量，則a＝|a|a0；②若a與a0平行，則a＝|a|a0；③若a與a0平行且|a|＝1，則a＝a0.上述命題中，假命題的個(gè)數(shù)是(　　)A．0B．1C．2D．3【答案】D【解析】向量是既有大小又有方向的量，a與|a|a0的模相同，但方向不一定相同，故①是假命題；若a與a0平行，則當(dāng)a為零向量時(shí)，a的方向任意；當(dāng)a不為零向量時(shí)，a與a0的方向有兩種情況：一是同向，二是反向，反向時(shí)a＝－|a|a0，故②③也是假命題．綜上所述，假命題的個(gè)數(shù)是3.故選D.2.零向量長(zhǎng)度為0的向量；注意零向量的方向是任意的【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練2】下列敘述錯(cuò)誤的是________．①若a∥b，b∥c，則a∥c.②若非零向量a與b方向相同或相反，則a＋b與a，b之一的方向相同．③|a|＋|b|＝|a＋b|?a與b方向相同．④向量b與向量a共線的充要條件是有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)λ，使得b＝λa.⑤＋＝0.⑥若λa＝λb，則a＝b.【答案】①②③④⑤⑥【解析】對(duì)于①，當(dāng)b＝0時(shí)，a不一定與c平行．對(duì)于②，當(dāng)a＋b＝0時(shí)，其方向任意，它與a，b的方向都不相同．對(duì)于③，當(dāng)a，b之一為零向量時(shí)結(jié)論不成立．對(duì)于④，當(dāng)a＝0且b＝0時(shí)，λ有無(wú)數(shù)個(gè)值；當(dāng)a＝0但b≠0或a≠0但b＝0時(shí)，λ不存在．9 對(duì)于⑤，由于兩個(gè)向量之和仍是一個(gè)向量，所以＋＝0.對(duì)于⑥，當(dāng)λ＝0時(shí)，不管a與b的大小與方向如何，都有λa＝λb，此時(shí)不一定有a＝b.故①②③④⑤⑥均錯(cuò)．3.單位向量單位向量是長(zhǎng)度等于1個(gè)單位長(zhǎng)度的向量，注意單位向量的長(zhǎng)度確定，但方向不確定，故單位向量有無(wú)數(shù)個(gè)，與非零向量a共線的單位向量為±.【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練3】與共線的單位向量為【答案】【解析】因?yàn)?，所以與共線的單位向量為.4.平行向量(共線向量)方向相同或相反的非零向量是共線向量，注意課本規(guī)定零向量與任意向量都共線.【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練4】對(duì)于非零向量a，b，“a＋b＝0”是“a∥b”的(　　)A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件【答案】A【解析】當(dāng)a＋b＝0時(shí)，a＝－b，所以a∥b；當(dāng)a∥b時(shí)，不一定有a＝－b，所以“a＋b＝0”是“a∥b”的充分不必要條件．故選A.5.相等向量長(zhǎng)度相等且方向相同的向量是相等向量解讀：對(duì)平行向量、相等向量概念的理解(1)平行向量是指方向相同或相反的非零向量，規(guī)定零向量與任意向量平行，即對(duì)任意的向量a，都有0∥a，這里注意概念中提到的“非零向量”.(2)對(duì)于任意兩個(gè)相等的非零向量，都可以用同一條有向線段來(lái)表示，并且與有向線段的起點(diǎn)無(wú)關(guān).在平面上，兩個(gè)長(zhǎng)度相等且指向一致的有向線段表示同一個(gè)向量，因?yàn)橄蛄客耆伤姆较蚝湍４_定的.(3)相等向量是平行(共線)向量，但平行(共線)向量不一定是相等向量.【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練5】給出下列命題：①兩個(gè)向量相等，則它們的起點(diǎn)相同，終點(diǎn)也相同；9 ②若|a|＝|b|，則a＝b；③若＝，則四點(diǎn)A，B，C，D構(gòu)成平行四邊形；④在?ABCD中，一定有＝；⑤若m＝n，n＝p，則m＝p.其中不正確的個(gè)數(shù)是(　　)A．2B．3C．4D．5【答案】B【解析】?jī)蓚€(gè)向量起點(diǎn)相同，終點(diǎn)也相同，則兩個(gè)向量相等；但兩個(gè)相等向量，不一定有相同的起點(diǎn)和終點(diǎn)，故①不正確．若|a|＝|b|，由于a與b方向不確定，所以a，b不一定相等，故②不正確．若＝，可能有A，B，C，D在一條直線上的情況，所以③不正確．正確的是④⑤.故選B.6.相反向量長(zhǎng)度相等且方向相反的向量是相反向量解讀：對(duì)相反向量的兩點(diǎn)說(shuō)明(1)相反向量與方向相反的向量不是同一個(gè)概念，相反向量是方向相反，模長(zhǎng)相等的兩個(gè)向量.(2)兩個(gè)非零向量a，b互為相反向量應(yīng)具備的條件：一是長(zhǎng)度相等，二是方向相反，兩者缺一不可.【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練6】給出下列命題：①零向量的長(zhǎng)度為零，方向是任意的；②若a，b都是單位向量，則a＝b；③向量與相等．則所有正確命題的序號(hào)是(　　)A．①B．③C．①③D．①②【答案】A【解析】根據(jù)零向量的定義可知①正確；根據(jù)單位向量的定義可知，單位向量的模相等，但方向不一定相同，故兩個(gè)單位向量不一定相等，故②錯(cuò)誤；向量與互為相反向量，故③錯(cuò)誤．7.向量的加法法則①三角形法則：以第一個(gè)向量a的終點(diǎn)A為起點(diǎn)作第二個(gè)向量b，則以第一個(gè)向量a的起點(diǎn)O為起點(diǎn)以第二個(gè)向量b的終點(diǎn)B為終點(diǎn)的向量就是a與b的和(如圖1)．圖1圖29 ②平行四邊形法則：以同一點(diǎn)A為起點(diǎn)的兩個(gè)已知向量a，b為鄰邊作?ABCD，則以A為起點(diǎn)的對(duì)角線就是a與b的和(如圖2)．在圖2中，＝＝b，因此平行四邊形法則是三角形法則的另一種形式．解讀：對(duì)向量加法的三角形法則和平行四邊形法則的三點(diǎn)說(shuō)明(1)兩個(gè)法則的使用條件不同.三角形法則適用于任意兩個(gè)非零向量求和，平行四邊形法則只適用于兩個(gè)不共線的向量求和.(2)當(dāng)兩個(gè)向量不共線時(shí)，兩個(gè)法則是一致的.(3)在使用三角形法則時(shí)要注意“首尾相連”，在使用平行四邊形法則時(shí)需要注意兩個(gè)向量的起點(diǎn)相同.【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練7】在平行四邊形ABCD中，對(duì)角線AC與BD交于點(diǎn)O，＋＝λ，則λ＝________.【答案】2【解析】由向量加法的平行四邊形法則，得＋＝.又O是AC的中點(diǎn)，∴AC＝2AO，∴＝2，∴＋＝2.又＋＝λ，∴λ＝2.8.向量的減法法則已知向量a，b，在平面內(nèi)任取一點(diǎn)O，作＝a，＝b，則＝a－b，即a－b表示從向量b的終點(diǎn)指向向量a(被減向量)的終點(diǎn)的向量(如圖)．解讀：向量減法法則的兩點(diǎn)說(shuō)明(1)向量的減法法則有著豐富的幾何背景：當(dāng)a，b不共線時(shí)，a，b與a-b圍成一個(gè)三角形；當(dāng)a，b共線時(shí)，a，b與a-b不能?chē)梢粋€(gè)三角形.(2)向量的加法與向量的減法互為逆運(yùn)算，可以靈活轉(zhuǎn)化，減去一個(gè)向量等于加上這個(gè)向量的相反向量.【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練8】設(shè)D為△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，若＝3，則(　　)A.＝－＋B.＝－C.＝＋D.＝－【答案】A【解析】∵＝3，∴－＝3(－)，即4－＝3，∴＝－＋.9 9.實(shí)數(shù)與向量的乘積(1)定義：實(shí)數(shù)λ與向量a的積是一個(gè)向量，記作λa，它的長(zhǎng)度與方向規(guī)定如下：①＝|λ||a|；②當(dāng)λ>0時(shí)，λa與a的方向相同；當(dāng)λ<0時(shí)，λa與a的方向相反；當(dāng)λ＝0時(shí)，λa＝0.解讀：向量數(shù)乘定義的兩個(gè)關(guān)注點(diǎn)(1)條件：一個(gè)實(shí)數(shù)與一個(gè)向量乘積.(2)結(jié)論：向量數(shù)乘的結(jié)果為一個(gè)向量，其模等于這個(gè)實(shí)數(shù)的絕對(duì)值與這個(gè)向量模的乘積，其方向與實(shí)數(shù)的正負(fù)有關(guān).【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練9】已知向量a，b不共線，c＝ka＋b(k∈R)，d＝a－b.如果c∥d，那么(　　)A．k＝1且c與d同向B．k＝1且c與d反向C．k＝－1且c與d同向D．k＝－1且c與d反向【答案】D【解析】因?yàn)閏∥d，所以存在實(shí)數(shù)λ，使得c＝λd，即ka＋b＝λ(a－b)，所以解得此時(shí)c＝－d.所以c與d反向．故選D.10.向量共線定理向量a(a≠0)與b共線，當(dāng)且僅當(dāng)有唯一一個(gè)實(shí)數(shù)λ，使b＝λa.解讀：對(duì)向量共線的條件的說(shuō)明(1)在向量共線的條件中之所以限定a≠0，是由于若a=b=0，雖然λ仍然存在，可是λ不唯一.(2)根據(jù)向量共線的條件，對(duì)于非零向量a，b，確定實(shí)數(shù)λ，使b=λa時(shí)，分兩點(diǎn)：①確定符號(hào)，a與b同向時(shí)，λ為正；a與b反向時(shí)，λ為負(fù).②確定λ的絕對(duì)值.【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練10】已知a，b是兩個(gè)非零向量，且|a＋b|＝|a|＋|b|，則下列說(shuō)法正確的是(　　)A．a(chǎn)＋b＝0B．a(chǎn)＝bC．a(chǎn)與b共線反向D．存在正實(shí)數(shù)λ，使a＝λb【答案】D【解析】因?yàn)閍，b是兩個(gè)非零向量，且|a＋b|＝|a|＋|b|，則a與b共線同向，故D正確．故選D.11.一般地，首尾順次相接的多個(gè)向量的和等于從第一個(gè)向量起點(diǎn)指向最后一個(gè)向量終點(diǎn)的向量，即＋＋＋…＋＝，特別地，一個(gè)封閉圖形，首尾連接而成的向量和為零向量．9 【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練11】在四邊形ABCD中，＝a＋2b，＝－4a－b，＝－5a－3b，則四邊形ABCD的形狀是(　　)A．矩形B．平行四邊形C．梯形D．以上都不對(duì)【答案】C【解析】由已知得，＝＋＋＝a＋2b－4a－b－5a－3b＝－8a－2b＝2(－4a－b)＝2，故∥.又因?yàn)榕c不平行，所以四邊形ABCD是梯形．故選C.12.若P為線段AB的中點(diǎn)，O為平面內(nèi)任一點(diǎn)，則＝(＋)．【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練12】如圖所示，設(shè)O是△ABC內(nèi)部一點(diǎn)，且＋＝－2，則△ABC與△AOC的面積之比為_(kāi)_______．【答案】2【解析】取AC的中點(diǎn)D，連接OD，則＋＝2，∴＝－，∴O是AC邊上的中線BD的中點(diǎn)，∴S△ABC＝2S△OAC，∴△ABC與△AOC面積之比為2.13.＝λ＋μ(λ，μ為實(shí)數(shù))，若點(diǎn)A，B，C共線，則λ＋μ＝1.【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練13】如圖所示，在△ABC中，點(diǎn)O是BC的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)O的直線分別交直線AB，AC于不同的兩點(diǎn)M，N，若＝m，＝n，則m＋n的值為(　　)A．1B．2C．3D．4【答案】B9 【解析】∵O為BC的中點(diǎn)，∴＝(＋)＝(m＋n)＝＋，∵M(jìn)，O，N三點(diǎn)共線，∴＋＝1，∴m＋n＝2.14求已知向量的和．一般共起點(diǎn)的向量求和用平行四邊形法則；求差用三角形法則；求首尾相連向量的和用三角形法則．【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練14】在△ABC中，E，F(xiàn)分別為AC，AB的中點(diǎn)，BE與CF相交于G點(diǎn)，設(shè)＝a，＝b，試用a，b表示.解法一：＝＋＝＋＝＋(－)＝＋＝＋＝a＋b.解法二：由于G是△ABC的中線BE與CF的交點(diǎn)，所以G為△ABC的重心．延長(zhǎng)AG交BC于H，由重心的性質(zhì)知，＝＝×(＋)＝a＋b.15.求參數(shù)問(wèn)題可以通過(guò)研究向量間的關(guān)系，通過(guò)向量的運(yùn)算將向量表示出來(lái)，進(jìn)行比較，求參數(shù)的值．【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練15】設(shè)D、E分別是△ABC的邊AB、BC上的點(diǎn)，AD＝AB，BE＝BC.若＝λ1＋λ2(λ1、λ2為實(shí)數(shù))，則λ1＋λ2的值為_(kāi)_______．【答案】【解析】＝＋＝＋＝＋(＋)＝－＋，∴λ1＝－，λ2＝，即λ1＋λ2＝.16.證明三點(diǎn)共線問(wèn)題，可用向量共線解決，但應(yīng)注意向量共線與三點(diǎn)共線的區(qū)別與聯(lián)系．當(dāng)兩向量共線且有公共點(diǎn)時(shí)，才能得出三點(diǎn)共線．【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練16】已知a，b是不共線的向量，＝λa＋b，＝a＋μb(λ，μ∈R)，那么A，B，C三點(diǎn)共線的充要條件是(　　)9 A．λ＋μ＝2B．λ－μ＝1C．λμ＝－1D．λμ＝1【答案】D【解析】由＝λa＋b，＝a＋μb(λ，μ∈R)及A，B，C三點(diǎn)共線得＝t，所以λa＋b＝t(a＋μb)＝ta＋tμb，即可得所以λμ＝1，故選D.17.向量a，b共線是指存在不全為零的實(shí)數(shù)λ1，λ2，使λ1a＋λ2b＝0成立，若λ1a＋λ2b＝0，當(dāng)且僅當(dāng)λ1＝λ2＝0時(shí)成立，則向量a，b不共線．【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練17】已知向量a，b，c中任意兩個(gè)都不共線，但a＋b與c共線，且b＋c與a共線，則向量a＋b＋c等于(　　)A．a(chǎn)B．bC．cD．0【答案】D【解析】依題意，設(shè)a＋b＝mc，b＋c＝na，則有(a＋b)－(b＋c)＝mc－na，即a－c＝mc－na.又a與c不共線，于是有m＝－1，n＝－1，a＋b＝－c，a＋b＋c＝0，選D.18.平面向量基本定理如果e1，e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任一向量a，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.其中，不共線的向量e1，e2叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底．解讀：對(duì)平面向量基本定理的兩點(diǎn)說(shuō)明(1)作用和意義平面向量基本定理告訴我們，平面內(nèi)任何一個(gè)向量都可以沿著兩個(gè)不共線的方向分解成兩個(gè)向量的和，并且這種分解是唯一的.(2)基底的性質(zhì)：①不共線性平面內(nèi)兩個(gè)不共線的向量才可以作為一組基底，基底不同，表示也不同.由于零向量與任何向量共線，所以零向量不可以作為基底.②不唯一性對(duì)基底的選取不唯一，平面內(nèi)任一向量a都可被這個(gè)平面的一組基底e1，e2線性表示，且在基底確定后，這樣的表示是唯一的【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練18】如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1，若起點(diǎn)和終點(diǎn)均在格點(diǎn)的向量a，b，c滿(mǎn)足c＝xa＋yb(x，y∈R)，則x＋y＝________.9 【答案】【解析】如圖，取單位向量i，j，則a＝i＋2j，b＝2i－j，c＝3i＋4j.∴c＝xa＋yb＝x(i＋2j)＋y(2i－j)＝(x＋2y)i＋(2x－y)j，∴　∴∴x＋y＝.19.用平面向量基本定理解決問(wèn)題的一般思路是先選擇一組基底，并運(yùn)用該基底將條件和結(jié)論表示成向量的形式，再通過(guò)向量的運(yùn)算來(lái)解決．【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練19】在平行四邊形ABCD中，E和F分別是CD和BC的中點(diǎn)．若＝λ＋μ，其中λ，μ∈R，則λ＋μ＝________.【答案】【解析】選擇，作為平面向量的一組基底，則＝＋，＝＋，＝＋，又＝λ＋μ＝(λ＋μ)＋(λ＋μ)，于是得解得所以λ＋μ＝.9