哈爾濱市第一中學校2021-2022學年度上學期期末考試高三數學試卷（文科）考試時間：120分鐘分值：150分第Ⅰ卷選擇題（60分）一、選擇題：（本題共12小題，每小題5分，滿分60分）1．已知集合，則（）A．B．C．D．2．設，則“”是“”的（）A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件3．若，則（）A．B．C．D．4．我國古代數學名著《數書九章》中有“米谷粒分”問題；“開倉受納，有甲戶米一千五百三十四石到廊．驗得米內夾谷，乃于樣內取米一捻，數計二百五十四粒內有谷二十八顆，凡粒米率每勺三百，今欲知米內雜谷多少”，其大意是，糧倉開倉收糧，有人送來米1534石，驗得米內夾谷，抽樣取米一把，數得254粒內夾谷28粒，則這批米內夾谷約為（）A．153石B．154石C．169石D．170石5．已知向量．若與垂直，則實數（）A．B．C．1D．36.已知數列的前項積為，且，則（）A．-1B．1C．2D．-27．函數的部分圖象大致為（）A．B． C．D．8．設變量x，y滿足約束條件則目標函數的最大值為（）A．12B．10C．8D．69．圓關于直線對稱，則的最小值是（）A．B．C．D．10．如圖，在四棱錐S﹣ABCD中，SA⊥平面ABCD，四邊形ABCD為平行四邊形，∠ABC=60°且SA=AB=BC=2，E為SA的中點，則異面直線SC與DE所成的角的余弦值為（）A．B．C．D．11．某幾何體的三視圖如圖所示（圖中小正方形的邊長為），則該幾何體的體積為（）A．B．C．D．12．已知雙曲線（，）的離心率為2，F1，F2 分別是雙曲線的左、右焦點，點，，點P為線段MN上的動點，當取得最小值和最大值時，△PF1F2的面積分別為S1，S2，則（）A．B．4C．D．8第Ⅱ卷非選擇題（90分）二、填空題（本題共4小題，每題5分，滿分20分）13．曲線在處的切線的傾斜角為，則________．14．已知斜率為的直線經過拋物線的焦點，并與拋物線交于，兩點，且，則的值為________．15．已知兩條不同的直線，，兩個不重合的平面，，給出下面五個命題：①，；②，，；③，；④，；⑤，，．其中正確命題的序號是_________．（將所有正確命題的序號都填在橫線上）16．函數的圖像是由函數()的圖像向左平移個單位所得，若函數在為單調函數，則的范圍是___________.三、綜合題（本題共6小題，17-21題每題12分，22題10分，滿分70分）17．在銳角中，角的對邊分別為a，b，c，.（1）求；（2）若，求的取值范圍.18．已知公差不為零的等差數列{an}滿足a1＝3，且a1，a4，a13成等比數列．（1）求數列{an}的通項公式；（2）若Sn表示數列{an}的前n項和，求數列的前n項和Tn． 19．在四棱錐中，平面平面，，，，.（1）證明：平面；（2）求點到平面的距離.20．已知橢圓的離心率，左右焦點分別為，點在橢圓S上，過的直線l交橢圓S于A，B兩點.（1）求橢圓S標準方程；（2）求的面積的最大值.21．已知函數（其中，）．（1）若函數在定義域內單調遞增，求實數的取值范圍；（2）若，且關于的方程(為的導函數)在區(qū)間上恰有兩個不等的實根，求實數的取值范圍．22．在平面直角坐標系中，曲線的參數方程為，（為參數）.以坐標原點為極點，軸正半軸為極軸，建立極坐標系，直線經過點，且與極軸所成的角為.（1）求曲線的普通方程及直線的參數方程；（2）設直線與曲線交于兩點，若，求直線的普通方程.高三文科數學期末考試解析一、單選題1．已知集合，則（） A．B．C．D．【答案】C【詳解】由已知，所以．故選：C．2．設，則“”是“”的（）A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件【答案】B【詳解】求解二次不等式可得：，∵由可推出，由不能推出，∴是的必要不充分條件.故選：B.3．若，則（）A．B．C．D．【答案】B【詳解】解：∵，所以，∴，故選：B．4．我國古代數學名著《數書九章》中有“米谷粒分”問題；“開倉受納，有甲戶米一千五百三十四石到廊．驗得米內夾谷，乃于樣內取米一捻，數計二百五十四粒內有谷二十八顆，凡粒米率每勺三百，今欲知米內雜谷多少”，其大意是，糧倉開倉收糧，有人送來米1534石，驗得米內夾谷，抽樣取米一把，數得254粒內夾谷28粒，則這批米內夾谷約為（）A．153石B．154石C．169石D．170石【答案】C【詳解】 這批米內夾谷約為石,根據題意可得解得故選：C5．已知向量．若與垂直，則實數（）A．B．C．1D．3【答案】B【詳解】因為，所以，因為與垂直，所以，解得.故選：B.6.已知數列的前項積為，且，則（）A．-1B．1C．2D．-2【答案】A【詳解】由題設，，，…，∴是周期為3的數列，又，且，∴.故選：A.7．函數的部分圖象大致為（）A．B． C．D．【答案】C【詳解】解：根據題意，對于函數，有函數，即函數為奇函數，圖象關于原點對稱，故排除A?B；當時，，則恒有，排除D；故選：C.8．設變量x，y滿足約束條件則目標函數的最大值為（）A．12B．10C．8D．6【答案】D【詳解】作出可行域，如圖內部（含邊界），作直線，在直線中，表示直線的縱截距，因此直線向下平移時，增大，由得，即．平行直線，當它過點時，取得最大值6．故選：D． 9．圓關于直線對稱，則的最小值是（）A．B．C．D．【答案】C【詳解】由圓可得標準方程為，因為圓關于直線對稱，該直線經過圓心，即，，，當且僅當，即時取等號，故選：C.10．如圖，在四棱錐S﹣ABCD中，SA⊥平面ABCD，四邊形ABCD為平行四邊形，∠ABC=60°且SA=AB=BC=2，E為SA的中點，則異面直線SC與DE所成的角的余弦值為（） A．B．C．D．【答案】D【詳解】如圖所示：分別為的中點，連接各線段.則，，故，得到平行四邊形，故，，故異面直線SC與DE所成的角，SA⊥平面ABCD，故和均為直角三角形，，，，根據余弦定理：.故選：D.11．某幾何體的三視圖如圖所示（圖中小正方形的邊長為），則該幾何體的體積為（） A．B．C．D．【答案】C【詳解】由三視圖知，原幾何體是棱長為的正方體中的三棱錐，且，由正方體的性質可知：，三棱錐的底面上的高為，該幾何體的體積為.故選：C.12．已知雙曲線（，）的離心率為2，F1，F2分別是雙曲線的左、右焦點，點，，點P為線段MN上的動點，當取得最小值和最大值時，△PF1F2的面積分別為S1，S2，則（）A．B．4C．D．8【答案】B【詳解】由于雙曲線的離心率為，故. 所以直線的方程為，設，，焦點坐標為，則，則，由于，故當時取得最小值，此時；當時取得最大值，此時.則.故選：B.二、填空題13．曲線在處的切線的傾斜角為，則________．【答案】【詳解】，當時，，即切線斜率為3，則，則，所以.故答案為：.14．已知斜率為的直線經過拋物線的焦點，并與拋物線交于，兩點，且，則的值為________．【答案】3【詳解】拋物線的焦點，根據題意，直線的方程為，與拋物線方程聯立得，整理得， 所以，所以，所以，15．已知兩條不同的直線，，兩個不重合的平面，，給出下面五個命題：①，；②，，；③，；④，；⑤，，．其中正確命題的序號是_________．（將所有正確命題的序號都填在橫線上）【答案】①④⑤【詳解】，，①正確；，，或異面，②錯誤；，或，③錯誤；，，④正確；，，，⑤正確.故答案為：①④⑤.16．函數的圖像是由函數()的圖像向左平移個單位所得，若函數在為單調函數，則的范圍是___________.【答案】【詳解】是由（大于零）向左平移個單位所得，故，又在即上單調，∴，,， 由或，或，綜上，的范圍為.故答案為：.三、解答題17．在銳角中，角的對邊分別為a，b，c，.（1）求；（2）若，求的取值范圍.【答案】（1）（2）（1）解：因為，所以，即，因為為銳角，所以，所以，又，所以；（2）解：在銳角中，，所以，所以，所以，因為，，所以所以，所以，又，所以，可得，所以，即的取值范圍是． 18．已知公差不為零的等差數列{an}滿足a1＝3，且a1，a4，a13成等比數列．（1）求數列{an}的通項公式；（2）若Sn表示數列{an}的前n項和，求數列的前n項和Tn．【答案】（1）an＝2n+1（2）Tn＝（1）由題意得：，設公差為，所以（3+3d）2＝3（3+12d），解得d＝0（舍）或2，所以an＝3+2（n﹣1）＝2n+1．（2）由于（1）得an＝2n+1，則＝n2+2n，所以．所以Tn＝=＝．19．在四棱錐中，平面平面，，，，.（1）證明：平面；（2）求點到平面的距離.【答案】（1）證明見解析；（2）.（1）面面，面面，且，面， 面，而面，.取的中點，連接，，.且，，∴四邊形為矩形，則，又，，又，面，，面，面，.、面，，面.（2）設點到平面的距離為，，即，又，，在中，，，，，則，，綜上，可得，即點到平面的距離為.20．已知橢圓的離心率，左右焦點分別為，點在橢圓S上，過的直線l交橢圓S于A，B兩點.（1）求橢圓S標準方程；（2）求的面積的最大值.【答案】（1） （2）（1）解：設橢圓S的半焦距為，由題意解得∴橢圓S的標準方程為；（2）解：由（1）得，設，代入，得，設，則，∴，∴，當且僅當即時，等號成立，故的面積的最大值為.21．已知函數（其中，）．（1）若函數在定義域內單調遞增，求實數的取值范圍；（2）若，且關于的方程(為的導函數)在區(qū)間上恰有兩個不等的實根，求實數的取值范圍．【答案】（1）；（2）（1）函數的定義域是，，（）．　依題意在時恒成立，則在時恒成立，即（）， 當時，取最小值，所以的取值范圍是.（2），由得，在上有兩個不同的實根，設，，，時，，時，，，，，，得，則．22．在平面直角坐標系中，曲線的參數方程為，（為參數）.以坐標原點為極點，軸正半軸為極軸，建立極坐標系，直線經過點，且與極軸所成的角為.（1）求曲線的普通方程及直線的參數方程；（2）設直線與曲線交于兩點，若，求直線的普通方程.【答案】（1）.（為參數）.（2）或.【詳解】（1）由參數方程得，所以曲線的普通方程為.設點的直角坐標為.則，.即，故直線的參數方程為（為參數）.（2）將代入，得..設是方程的兩個根，則，. 所以.所以整理得或，所以直線的方程為或.