2021年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試（天津卷）數(shù)學第I卷注意事項：1．每小題選出答案后，用鉛筆將答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號，2，本卷共9小題，每小題5分，共45分參考公式：•如果事件A、B互斥，那么．•如果事件A、B相互獨立，那么．•球的體積公式，其中R表示球的半徑．•圓錐的體積公式，其中S表示圓錐的底面面積，h表示圓錐的高．一、選擇題，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.設集合，則（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)交集并集的定義即可求出.詳解】，，.故選：C.2.已知，則“”是“”的（）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不允分也不必要條件【答案】A,【解析】【分析】由充分條件、必要條件的定義判斷即可得解.【詳解】由題意，若，則，故充分性成立；若，則或，推不出，故必要性不成立；所以“”是“”的充分不必要條件.故選：A.3.函數(shù)的圖像大致為（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】由函數(shù)為偶函數(shù)可排除AC，再由當時，，排除D，即可得解.【詳解】設，則函數(shù)的定義域為，關于原點對稱，又，所以函數(shù)為偶函數(shù)，排除AC；當時，，所以，排除D.故選：B.4.從某網(wǎng)絡平臺推薦影視作品中抽取部，統(tǒng)計其評分分數(shù)據(jù)，將所得個評分,數(shù)據(jù)分為組：、、、，并整理得到如下的費率分布直方圖，則評分在區(qū)間內(nèi)的影視作品數(shù)量是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】利用頻率分布直方圖可計算出評分在區(qū)間內(nèi)的影視作品數(shù)量.【詳解】由頻率分布直方圖可知，評分在區(qū)間內(nèi)的影視作品數(shù)量為.故選：D.5.設，則a，b，c的大小關系為（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求出的范圍即可求解.【詳解】，，，，，，.,故選：D.6.兩個圓錐的底面是一個球的同一截面，頂點均在球面上，若球的體積為，兩個圓錐的高之比為，則這兩個圓錐的體積之和為（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】作出圖形，計算球體的半徑，可計算得出兩圓錐的高，利用三角形相似計算出圓錐的底面圓半徑，再利用錐體體積公式可求得結(jié)果.【詳解】如下圖所示，設兩個圓錐的底面圓圓心為點，設圓錐和圓錐的高之比為，即，設球的半徑為，則，可得，所以，，所以，，，，則，所以，，又因為，所以，，所以，，，因此，這兩個圓錐的體積之和為.故選：B.7.若，則（）A.B.C.1D.,【答案】C【解析】【分析】由已知表示出，再由換底公式可求.【詳解】，，.故選：C.8.已知雙曲線的右焦點與拋物線的焦點重合，拋物線的準線交雙曲線于A，B兩點，交雙曲線的漸近線于C、D兩點，若．則雙曲線的離心率為（）A.B.C.2D.3【答案】A【解析】【分析】設公共焦點為，進而可得準線為，代入雙曲線及漸近線方程，結(jié)合線段長度比值可得，再由雙曲線離心率公式即可得解.【詳解】設雙曲線與拋物線的公共焦點為，則拋物線的準線為，令，則，解得，所以,又因為雙曲線的漸近線方程為，所以，所以，即，所以，所以雙曲線的離心率.故選：A.9.設，函數(shù)，若在區(qū)間內(nèi)恰有6個零點，則a的取值范圍是（）,A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】由最多有2個根，可得至少有4個根，分別討論當和時兩個函數(shù)零點個數(shù)情況，再結(jié)合考慮即可得出.【詳解】最多有2個根，所以至少有4個根，由可得，由可得，（1）時，當時，有4個零點，即；當，有5個零點，即；當，有6個零點，即；（2）當時，，，當時，，無零點；當時，，有1個零點；當時，令，則，此時有2個零點；所以若時，有1個零點.綜上，要使在區(qū)間內(nèi)恰有6個零點，則應滿足或或，,則可解得a的取值范圍是.【點睛】關鍵點睛：解決本題的關鍵是分成和兩種情況分別討論兩個函數(shù)的零點個數(shù)情況.第II卷注意事項1．用黑色墨水的鋼筆或簽字筆將答案寫在答題卡上．2．本卷共11小題，共105分．二、填空題，本大題共6小題，每小題5分，共30分，試題中包含兩個空的，答對1個的給3分，全部答對的給5分．10.是虛數(shù)單位，復數(shù)_____________．【答案】【解析】【分析】利用復數(shù)的除法化簡可得結(jié)果.【詳解】.故答案為：.11.在的展開式中，的系數(shù)是__________．【答案】160【解析】【分析】求出二項式的展開式通項，令的指數(shù)為6即可求出.【詳解】的展開式的通項為，令，解得，所以的系數(shù)是.故答案為：160.12.若斜率為的直線與軸交于點，與圓相切于點，則____________．,【答案】【解析】【分析】設直線的方程為，則點，利用直線與圓相切求出的值，求出，利用勾股定理可求得.【詳解】設直線的方程為，則點，由于直線與圓相切，且圓心為，半徑為，則，解得或，所以，因為，故.故答案為：.13.若，則的最小值為____________．【答案】【解析】【分析】兩次利用基本不等式即可求出.【詳解】，，當且僅當且，即時等號成立，所以的最小值為.故答案為：.14.甲、乙兩人在每次猜謎活動中各猜一個謎語，若一方猜對且另一方猜錯，則猜對一方獲勝，否則本次平局，已知每次活動中，甲、乙猜對的概率分別為和，且每次活動中甲、乙猜對與否互不影響，各次活動也互不影響，則一次活動中，甲獲勝的概率為____________，3次活動中，甲至少獲勝2次的概率為______________．【答案】①.②.【解析】,【分析】根據(jù)甲猜對乙沒有才對可求出一次活動中，甲獲勝概率；在3次活動中，甲至少獲勝2次分為甲獲勝2次和3次都獲勝求解.【詳解】由題可得一次活動中，甲獲勝的概率為；則在3次活動中，甲至少獲勝2次的概率為.故答案為：；.15.在邊長為1的等邊三角形ABC中，D為線段BC上的動點，且交AB于點E．且交AC于點F,則的值為____________；的最小值為____________．【答案】①.1②.【解析】【分析】設，由可求出；將化為關于的關系式即可求出最值.【詳解】設，，為邊長為1的等邊三角形，，，，為邊長為的等邊三角形，，，，，所以當時，的最小值為.故答案為：1；.,三、解答題，本大題共5小題，共75分，解答應寫出文字說明，證明過程成演算步驟．16.在，角所對的邊分別為，已知，．（I）求a的值；（II）求的值；（III）求的值．【答案】（I）；（II）；（III）【解析】【分析】（I）由正弦定理可得，即可求出；（II）由余弦定理即可計算；（III）利用二倍角公式求出的正弦值和余弦值，再由兩角差的正弦公式即可求出.【詳解】（I）因為，由正弦定理可得，，；（II）由余弦定理可得；（III），，，，,所以.17.如圖，在棱長為2的正方體中，E為棱BC的中點，F(xiàn)為棱CD的中點．（I）求證：平面；（II）求直線與平面所成角的正弦值．（III）求二面角的正弦值．【答案】（I）證明見解析；（II）；（III）.【解析】【分析】（I）建立空間直角坐標系，求出及平面的一個法向量，證明，即可得證；（II）求出，由運算即可得解；（III）求得平面的一個法向量，由結(jié)合同角三角函數(shù)的平方關系即可得解.【詳解】（I）以為原點，分別為軸，建立如圖空間直角坐標系，則,,,,,,，,因為E為棱BC的中點，F(xiàn)為棱CD的中點，所以，，所以,,,設平面的一個法向量為，則，令，則，因為，所以，因為平面，所以平面；（II）由（1）得，，設直線與平面所成角為，則；（III）由正方體的特征可得，平面的一個法向量為，則，所以二面角的正弦值為.18.已知橢圓的右焦點為，上頂點為，離心率為，且,．（1）求橢圓的方程；（2）直線與橢圓有唯一的公共點，與軸的正半軸交于點，過與垂直的直線交軸于點．若，求直線的方程．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）求出的值，結(jié)合的值可得出的值，進而可得出橢圓的方程；（2）設點，分析出直線的方程為，求出點的坐標，根據(jù)可得出，求出、的值，即可得出直線的方程.【詳解】（1）易知點、，故，因為橢圓的離心率為，故，，因此，橢圓的方程為；（2）設點為橢圓上一點，先證明直線的方程為，聯(lián)立，消去并整理得，，因此，橢圓在點處的切線方程為.,在直線的方程中，令，可得，由題意可知，即點，直線的斜率為，所以，直線的方程為，在直線的方程中，令，可得，即點，因為，則，即，整理可得，所以，，因為，，故，，所以，直線的方程為，即.【點睛】結(jié)論點睛：在利用橢圓的切線方程時，一般利用以下方法進行直線：（1）設切線方程為與橢圓方程聯(lián)立，由進行求解；（2）橢圓在其上一點的切線方程為，再應用此方程時，首先應證明直線與橢圓相切.19.已知是公差為2的等差數(shù)列，其前8項和為64．是公比大于0的等比數(shù)列，．（I）求和的通項公式；,（II）記，（i）證明是等比數(shù)列；（ii）證明【答案】（I），；（II）（i）證明見解析；（ii）證明見解析.【解析】【分析】（I）由等差數(shù)列求和公式運算可得的通項，由等比數(shù)列的通項公式運算可得的通項公式；（II）（i）運算可得，結(jié)合等比數(shù)列的定義即可得證；（ii）放縮得，進而可得，結(jié)合錯位相減法即可得證.【詳解】（I）因為是公差為2的等差數(shù)列，其前8項和為64．所以，所以，所以；設等比數(shù)列的公比為，所以，解得（負值舍去），所以；（II）（i）由題意，，所以，所以，且，所以數(shù)列是等比數(shù)列；,（ii）由題意知，，所以，所以，設，則，兩式相減得，所以，所以.【點睛】關鍵點點睛：最后一問考查數(shù)列不等式的證明，因為無法直接求解，應先放縮去除根號，再由錯位相減法即可得證.20.已知，函數(shù)．（I）求曲線在點處的切線方程：（II）證明存在唯一的極值點（III）若存在a，使得對任意成立，求實數(shù)b的取值范圍．【答案】（I）；（II）證明見解析；（III）【解析】【分析】（I）求出在處的導數(shù)，即切線斜率，求出，即可求出切線方程；（II）令，可得，則可化為證明與,僅有一個交點，利用導數(shù)求出的變化情況，數(shù)形結(jié)合即可求解；（III）令，題目等價于存在，使得，即，利用導數(shù)即可求出的最小值.【詳解】（I），則，又，則切線方程為；（II）令，則，令，則，當時，，單調(diào)遞減；當時，，單調(diào)遞增，當時，，，當時，，畫出大致圖像如下：所以當時，與僅有一個交點，令，則，且，當時，，則，單調(diào)遞增，當時，，則，單調(diào)遞減，為的極大值點，故存在唯一的極值點；,（III）由（II）知，此時，所以，令，若存在a，使得對任意成立，等價于存在，使得，即，，，當時，，單調(diào)遞減，當時，，單調(diào)遞增，所以，故，所以實數(shù)b的取值范圍.【點睛】關鍵點睛：第二問解題的關鍵是轉(zhuǎn)化為證明與僅有一個交點；第三問解題的關鍵是轉(zhuǎn)化為存在，使得，即.