2021年全國(guó)統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷（新高考全國(guó)Ⅱ卷）使用省份：海南?遼寧?重慶一?選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)所在的象限為（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限【答案】A【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)的除法可化簡(jiǎn)，從而可求對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的位置.【詳解】，所以該復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，該點(diǎn)在第一象限，故選：A.2.設(shè)集合，則（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)交集、補(bǔ)集的定義可求.【詳解】由題設(shè)可得，故，故選：B.3.拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為，則（）A.1B.2C.D.4【答案】B【解析】【分析】首先確定拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)坐標(biāo)，然后結(jié)合點(diǎn)到直線(xiàn)距離公式可得的值.【詳解】拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，,其到直線(xiàn)的距離：，解得：(舍去).故選：B.4.北斗三號(hào)全球衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)是我國(guó)航天事業(yè)的重要成果．在衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)中，地球靜止同步衛(wèi)星的軌道位于地球赤道所在平面，軌道高度為（軌道高度是指衛(wèi)星到地球表面的距離）．將地球看作是一個(gè)球心為O，半徑r為的球，其上點(diǎn)A的緯度是指與赤道平面所成角的度數(shù)．地球表面上能直接觀測(cè)到一顆地球靜止同步軌道衛(wèi)星點(diǎn)的緯度最大值為，記衛(wèi)星信號(hào)覆蓋地球表面的表面積為（單位：），則S占地球表面積的百分比約為（）A.26%B.34%C.42%D.50%【答案】C【解析】【分析】由題意結(jié)合所給的表面積公式和球的表面積公式整理計(jì)算即可求得最終結(jié)果.【詳解】由題意可得，S占地球表面積的百分比約為：.故選：C.5.正四棱臺(tái)的上?下底面的邊長(zhǎng)分別為2，4，側(cè)棱長(zhǎng)為2，則其體積為（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】由四棱臺(tái)幾何特征算出該幾何體的高及上下底面面積，再由棱臺(tái)的體積公式即可得解.【詳解】作出圖形，連接該正四棱臺(tái)上下底面的中心，如圖，,因?yàn)樵撍睦馀_(tái)上下底面邊長(zhǎng)分別為2，4，側(cè)棱長(zhǎng)為2，所以該棱臺(tái)的高，下底面面積，上底面面積，所以該棱臺(tái)的體積.故選：D.6.某物理量的測(cè)量結(jié)果服從正態(tài)分布，下列結(jié)論中不正確的是（）A.越小，該物理量在一次測(cè)量中在的概率越大B.越小，該物理量在一次測(cè)量中大于10概率為0.5C.越小，該物理量在一次測(cè)量中小于9.99與大于10.01的概率相等D.越小，該物理量在一次測(cè)量中落在與落在的概率相等【答案】D【解析】【分析】由正態(tài)分布密度曲線(xiàn)的特征逐項(xiàng)判斷即可得解.【詳解】對(duì)于A，為數(shù)據(jù)的方差，所以越小，數(shù)據(jù)在附近越集中，所以測(cè)量結(jié)果落在內(nèi)的概率越大，故A正確；對(duì)于B，由正態(tài)分布密度曲線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性可知該物理量一次測(cè)量大于10的概率為，故B正確；對(duì)于C，由正態(tài)分布密度曲線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性可知該物理量一次測(cè)量結(jié)果大于的概率與小于的概率相等，故C正確；對(duì)于D，因?yàn)樵撐锢砹恳淮螠y(cè)量結(jié)果落在的概率與落在的概率不同，,所以一次測(cè)量結(jié)果落在的概率與落在的概率不同，故D錯(cuò)誤.故選：D.7.已知，，，則下列判斷正確的是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可比較、與的大小關(guān)系，由此可得出結(jié)論.【詳解】，即.故選：C.8.已知函數(shù)的定義域?yàn)?，為偶函?shù)，為奇函數(shù)，則（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】推導(dǎo)出函數(shù)是以為周期的周期函數(shù)，由已知條件得出，結(jié)合已知條件可得出結(jié)論.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)為偶函數(shù)，則，可得，因?yàn)楹瘮?shù)為奇函數(shù)，則，所以，，所以，，即，故函數(shù)是以為周期的周期函數(shù)，因?yàn)楹瘮?shù)為奇函數(shù)，則，故，其它三個(gè)選項(xiàng)未知.故選：B.二?選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20,分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9.下列統(tǒng)計(jì)量中，能度量樣本離散程度的是（）A.樣本的標(biāo)準(zhǔn)差B.樣本的中位數(shù)C.樣本的極差D.樣本的平均數(shù)【答案】AC【解析】【分析】考查所給的選項(xiàng)哪些是考查數(shù)據(jù)的離散程度，哪些是考查數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)即可確定正確選項(xiàng).【詳解】由標(biāo)準(zhǔn)差的定義可知，標(biāo)準(zhǔn)差考查的是數(shù)據(jù)的離散程度；由中位數(shù)的定義可知，中位數(shù)考查的是數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)；由極差的定義可知，極差考查的是數(shù)據(jù)的離散程度；由平均數(shù)的定義可知，平均數(shù)考查的是數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)；故選：AC.10.如圖，在正方體中，O為底面的中心，P為所在棱的中點(diǎn)，M，N為正方體的頂點(diǎn)．則滿(mǎn)足的是（）A.B.C.D.【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)線(xiàn)面垂直的判定定理可得BC的正誤，平移直線(xiàn)構(gòu)造所考慮的線(xiàn)線(xiàn)角后可判斷AD的正誤.【詳解】設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為，,對(duì)于A，如圖（1）所示，連接，則，故（或其補(bǔ)角）為異面直線(xiàn)所成的角，在直角三角形，，，故，故不成立，故A錯(cuò)誤.對(duì)于B，如圖（2）所示，取的中點(diǎn)為，連接，，則，，由正方體可得平面，而平面，故，而，故平面，又平面，，而，所以平面，而平面，故，故B正確.對(duì)于C，如圖（3），連接，則，由B的判斷可得，,故，故C正確.對(duì)于D，如圖（4），取的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，連接，則，因?yàn)?，故，故，所以或其補(bǔ)角為異面直線(xiàn)所成的角，因?yàn)檎襟w的棱長(zhǎng)為2，故，，，，故不是直角，故不垂直，故D錯(cuò)誤.故選：BC.11.已知直線(xiàn)與圓，點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（）,A.若點(diǎn)A在圓C上，則直線(xiàn)l與圓C相切B.若點(diǎn)A在圓C內(nèi)，則直線(xiàn)l與圓C相離C.若點(diǎn)A在圓C外，則直線(xiàn)l與圓C相離D.若點(diǎn)A在直線(xiàn)l上，則直線(xiàn)l與圓C相切【答案】ABD【解析】【分析】轉(zhuǎn)化點(diǎn)與圓、點(diǎn)與直線(xiàn)的位置關(guān)系為的大小關(guān)系，結(jié)合點(diǎn)到直線(xiàn)的距離及直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系即可得解.【詳解】圓心到直線(xiàn)l的距離，若點(diǎn)在圓C上，則，所以，則直線(xiàn)l與圓C相切，故A正確；若點(diǎn)在圓C內(nèi)，則，所以，則直線(xiàn)l與圓C相離，故B正確；若點(diǎn)在圓C外，則，所以，則直線(xiàn)l與圓C相交，故C錯(cuò)誤；若點(diǎn)在直線(xiàn)l上，則即，所以，直線(xiàn)l與圓C相切，故D正確.故選：ABD.12.設(shè)正整數(shù)，其中，記．則（）A.B.C.D.【答案】ACD,【解析】【分析】利用的定義可判斷ACD選項(xiàng)的正誤，利用特殊值法可判斷B選項(xiàng)的正誤.【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，，，所以，，A選項(xiàng)正確；對(duì)于B選項(xiàng)，取，，，而，則，即，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于C選項(xiàng)，，所以，，，所以，，因此，，C選項(xiàng)正確；對(duì)于D選項(xiàng)，，故，D選項(xiàng)正確.故選：ACD.三?填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.已知雙曲線(xiàn)的離心率為2，則該雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程為_(kāi)______________【答案】【解析】【分析】由雙曲線(xiàn)離心率公式可得，再由漸近線(xiàn)方程即可得解.【詳解】因?yàn)殡p曲線(xiàn)的離心率為2，所以，所以，,所以該雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程為.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查了雙曲線(xiàn)離心率的應(yīng)用及漸近線(xiàn)的求解，考查了運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.14.寫(xiě)出一個(gè)同時(shí)具有下列性質(zhì)①②③的函數(shù)_______．①；②當(dāng)時(shí)，；③是奇函數(shù)．【答案】（答案不唯一，均滿(mǎn)足）【解析】【分析】根據(jù)冪函數(shù)的性質(zhì)可得所求的.【詳解】取，則，滿(mǎn)足①，，時(shí)有，滿(mǎn)足②，的定義域?yàn)椋?，故是奇函?shù)，滿(mǎn)足③.故答案為：（答案不唯一，均滿(mǎn)足）15.已知向量，，，_______．【答案】【解析】【分析】由已知可得，展開(kāi)化簡(jiǎn)后可得結(jié)果.【詳解】由已知可得，因此，.故答案為：.16.已知函數(shù)，函數(shù)的圖象在點(diǎn)和點(diǎn),的兩條切線(xiàn)互相垂直，且分別交y軸于M，N兩點(diǎn)，則取值范圍是_______．【答案】【解析】【分析】結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得，結(jié)合直線(xiàn)方程及兩點(diǎn)間距離公式可得，，化簡(jiǎn)即可得解.【詳解】由題意，，則，所以點(diǎn)和點(diǎn)，,所以，所以，所以，同理,所以.故答案為：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解決本題的關(guān)鍵是利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義轉(zhuǎn)化條件，消去一個(gè)變量后，運(yùn)算即可得解.四?解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明?證明過(guò)程或演算步驟．17.記是公差不為0的等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，若．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求使成立的n的最小值．【答案】(1)；(2)7.,【解析】【分析】(1)由題意首先求得的值，然后結(jié)合題意求得數(shù)列的公差即可確定數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)首先求得前n項(xiàng)和的表達(dá)式，然后求解二次不等式即可確定n的最小值.【詳解】(1)由等差數(shù)列的性質(zhì)可得：，則：，設(shè)等差數(shù)列的公差為，從而有：，，從而：，由于公差不為零，故：，數(shù)列的通項(xiàng)公式為：.(2)由數(shù)列的通項(xiàng)公式可得：，則：，則不等式即：，整理可得：，解得：或，又為正整數(shù)，故的最小值為.【點(diǎn)睛】等差數(shù)列基本量的求解是等差數(shù)列中的一類(lèi)基本問(wèn)題，解決這類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵在于熟練掌握等差數(shù)列的有關(guān)公式并能靈活運(yùn)用.18.在中，角、、所對(duì)的邊長(zhǎng)分別為、、，，.．（1）若，求的面積；（2）是否存在正整數(shù)，使得為鈍角三角形?若存在，求出的值；若不存在，說(shuō)明理由．【答案】（1）；（2）存在，且.【解析】【分析】（1）由正弦定理可得出，結(jié)合已知條件求出的值，進(jìn)一步可求得、的值，利用余弦定理以及同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求出，再利用三角形的面積公式可求得結(jié)果；（2）分析可知，角為鈍角，由結(jié)合三角形三邊關(guān)系可求得整數(shù)的值.【詳解】（1）因?yàn)椋瑒t，則，故，，,，所以，為銳角，則，因此，；（2）顯然，若為鈍角三角形，則為鈍角，由余弦定理可得，解得，則，由三角形三邊關(guān)系可得，可得，，故.19.在四棱錐中，底面是正方形，若．（1）證明：平面平面；（2）求二面角的平面角的余弦值．【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）.【解析】【分析】（1）取的中點(diǎn)為，連接，可證平面，從而得到面面.（2）在平面內(nèi)，過(guò)作，交于，則，建如圖所示的空間坐標(biāo)系，求出平面、平面的法向量后可求二面角的余弦值.,【詳解】（1）取的中點(diǎn)為，連接.因?yàn)?，，則，而，故.在正方形中，因?yàn)?，故，故，因?yàn)?，故，故為直角三角形且，因?yàn)?，故平面，因?yàn)槠矫?，故平面平?（2）在平面內(nèi)，過(guò)作，交于，則，結(jié)合（1）中平面，故可建如圖所示的空間坐標(biāo)系.,則，故.設(shè)平面的法向量，則即，取，則，故.而平面的法向量為，故.二面角的平面角為銳角，故其余弦值為.20.已知橢圓C的方程為，右焦點(diǎn)為，且離心率為．（1）求橢圓C的方程；（2）設(shè)M，N是橢圓C上的兩點(diǎn)，直線(xiàn)與曲線(xiàn)相切．證明：M，N，F(xiàn)三點(diǎn)共線(xiàn)的充要條件是．【答案】（1）；（2）證明見(jiàn)解析.【解析】【分析】（1）由離心率公式可得，進(jìn)而可得，即可得解；,（2）必要性：由三點(diǎn)共線(xiàn)及直線(xiàn)與圓相切可得直線(xiàn)方程，聯(lián)立直線(xiàn)與橢圓方程可證；充分性：設(shè)直線(xiàn)，由直線(xiàn)與圓相切得，聯(lián)立直線(xiàn)與橢圓方程結(jié)合弦長(zhǎng)公式可得，進(jìn)而可得，即可得解.【詳解】（1）由題意，橢圓半焦距且，所以，又，所以橢圓方程為；（2）由（1）得，曲線(xiàn)為，當(dāng)直線(xiàn)的斜率不存在時(shí)，直線(xiàn)，不合題意；當(dāng)直線(xiàn)的斜率存在時(shí)，設(shè)，必要性：若M，N，F(xiàn)三點(diǎn)共線(xiàn)，可設(shè)直線(xiàn)即，由直線(xiàn)與曲線(xiàn)相切可得，解得，聯(lián)立可得，所以，所以,所以必要性成立；充分性：設(shè)直線(xiàn)即，由直線(xiàn)與曲線(xiàn)相切可得，所以，聯(lián)立可得，所以，,所以，化簡(jiǎn)得，所以，所以或，所以直線(xiàn)或，所以直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)，M，N，F(xiàn)三點(diǎn)共線(xiàn)，充分性成立；所以M，N，F(xiàn)三點(diǎn)共線(xiàn)的充要條件是．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解決本題的關(guān)鍵是直線(xiàn)方程與橢圓方程聯(lián)立及韋達(dá)定理的應(yīng)用，注意運(yùn)算的準(zhǔn)確性是解題的重中之重.21.一種微生物群體可以經(jīng)過(guò)自身繁殖不斷生存下來(lái)，設(shè)一個(gè)這種微生物為第0代，經(jīng)過(guò)一次繁殖后為第1代，再經(jīng)過(guò)一次繁殖后為第2代……，該微生物每代繁殖的個(gè)數(shù)是相互獨(dú)立的且有相同的分布列，設(shè)X表示1個(gè)微生物個(gè)體繁殖下一代的個(gè)數(shù)，．（1）已知，求；（2）設(shè)p表示該種微生物經(jīng)過(guò)多代繁殖后臨近滅絕的概率，p是關(guān)于x的方程：的一個(gè)最小正實(shí)根，求證：當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，；（3）根據(jù)你的理解說(shuō)明（2）問(wèn)結(jié)論的實(shí)際含義．【答案】（1）1；（2）見(jiàn)解析；（3）見(jiàn)解析.【解析】分析】（1）利用公式計(jì)算可得.（2）利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合及極值點(diǎn)的范圍可得的最小正零點(diǎn).（3）利用期望的意義及根的范圍可得相應(yīng)的理解說(shuō)明.,【詳解】（1）.（2）設(shè)，因?yàn)?，故，若，則，故.，因?yàn)?，，故有兩個(gè)不同零點(diǎn)，且，且時(shí)，；時(shí)，；故在，上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，若，因?yàn)樵跒樵龊瘮?shù)且，而當(dāng)時(shí)，因?yàn)樵谏蠟闇p函數(shù)，故，故為的一個(gè)最小正實(shí)根，若，因?yàn)榍以谏蠟闇p函數(shù)，故1為的一個(gè)最小正實(shí)根，綜上，若，則.若，則，故.此時(shí)，，故有兩個(gè)不同零點(diǎn)，且，且時(shí)，；時(shí)，；故在，上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，而，故，又，故在存在一個(gè)零點(diǎn)，且.,所以為的一個(gè)最小正實(shí)根，此時(shí)，故當(dāng)時(shí)，.（3）意義：每一個(gè)該種微生物繁殖后代的平均數(shù)不超過(guò)1，則若干代必然滅絕，若繁殖后代的平均數(shù)超過(guò)1，則若干代后被滅絕的概率小于1.22.已知函數(shù)．（1）討論的單調(diào)性；（2）從下面兩個(gè)條件中選一個(gè)，證明：只有一個(gè)零點(diǎn)①；②．【答案】(1)答案見(jiàn)解析；(2)證明見(jiàn)解析.【解析】【分析】(1)首先求得導(dǎo)函數(shù)的解析式，然后分類(lèi)討論確定函數(shù)的單調(diào)性即可；(2)由題意結(jié)合(1)中函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)零點(diǎn)存在定理即可證得題中的結(jié)論.【詳解】(1)由函數(shù)的解析式可得：，當(dāng)時(shí)，若，則單調(diào)遞減，若，則單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，若，則單調(diào)遞增，若，則單調(diào)遞減，若，則單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，若，則單調(diào)遞增，若，則單調(diào)遞減，若，則單調(diào)遞增；,(2)若選擇條件①：由于，故，則，而，而函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，故函數(shù)在區(qū)間上有一個(gè)零點(diǎn).，由于，，故，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性可知函數(shù)在區(qū)間上沒(méi)有零點(diǎn).綜上可得，題中的結(jié)論成立.若選擇條件②：由于，故，則，當(dāng)時(shí)，，，而函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，故函數(shù)在區(qū)間上有一個(gè)零點(diǎn).當(dāng)時(shí)，構(gòu)造函數(shù)，則，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，注意到，故恒成立，從而有：，此時(shí)：，當(dāng)時(shí)，，,取，則，即：，而函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，故函數(shù)在區(qū)間上有一個(gè)零點(diǎn).，由于，，故，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性可知函數(shù)在區(qū)間上沒(méi)有零點(diǎn).綜上可得，題中的結(jié)論成立.【點(diǎn)睛】導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)的單調(diào)性、極值(最值)最有效的工具，而函數(shù)是高中數(shù)學(xué)中重要的知識(shí)點(diǎn)，所以在歷屆高考中，對(duì)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用的考查都非常突出，對(duì)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用的考查主要從以下幾個(gè)角度進(jìn)行：(1)考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，往往與解析幾何、微積分相聯(lián)系．(2)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，判斷單調(diào)性；已知單調(diào)性，求參數(shù)．(3)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值(極值)，解決生活中的優(yōu)化問(wèn)題．(4)考查數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．