§6.4 數(shù)列求和、數(shù)列的綜合應用基礎篇【基礎集訓】考點一 數(shù)列求和1.在等差數(shù)列{an}中,a4=5,a7=11.設bn=(-1)n·an,則數(shù)列{bn}的前100項之和S100=( )A.-200 B.-100 C.200 D.100答案 D2.數(shù)列{an}的前n項和為Sn,若an=,則S5等于( )A.1 B. C. D.答案 B3.已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,且a3=7,a5+a7=26.(1)求an及Sn;(2)令bn=(n∈N*),求證:數(shù)列{bn}為等差數(shù)列.4.已知等差數(shù)列{an}滿足(a1+a2)+(a2+a3)+…+(an+an+1)=2n(n+1)(n∈N*).(1)求數(shù)列{an}的通項公式;(2)求數(shù)列的前n項和Sn.考點二 數(shù)列的綜合應用5.已知數(shù)列{an}滿足an=log(n+1)(n+2)(n∈N*),我們把使乘積a1·a2·a3·…·an為整數(shù)的數(shù)n叫做“優(yōu)數(shù)”,則在區(qū)間(1,2004)內的所有“優(yōu)數(shù)”的和為( )A.1024 B.2003 C.2026 D.2048答案 C
6.已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn,且Sn=n2+4n,若首項為的數(shù)列{bn}滿足-=an,則數(shù)列{bn}的前10項和為( )A. B. C. D.答案 A7.(2020山東仿真聯(lián)考3)已知正項數(shù)列{an}滿足an+1>2an,Sn是{an}的前n項和,則下列四個命題中錯誤的是( )A.an+1>2na1 B.S2k>(1+2k)SkC.Sn<2an-a1(n≥2) D.是遞增數(shù)列答案 D8.已知公差不為0的等差數(shù)列{an}的首項a1=2,且a1+1,a2+1,a4+1成等比數(shù)列.(1)求數(shù)列{an}的通項公式;(2)設bn=,n∈N*,Sn是數(shù)列{bn}的前n項和,求使Sn<成立的最大的正整數(shù)n.[教師專用題組]【基礎集訓】考點一 數(shù)列求和1.(2019福建漳州一模,10)已知數(shù)列{an}和{bn}的首項均為1,且an-1≥an(n≥2),an+1≥an,數(shù)列{bn}的前n項和為Sn,且滿足2SnSn+1+anbn+1=0,則S2019=( )A.2019 B. C.4037 D.答案 D ∵an-1≥an(n≥2),an+1≥an,∴an≥an+1≥an,∴an=an+1(n≥2),另外,由a1≥a2≥a1,可得
a2=a1=1,∴an=1.∵2SnSn+1+anbn+1=0,∴2SnSn+1+bn+1=0,∴2SnSn+1+Sn+1-Sn=0,∴-=2.∴數(shù)列是等差數(shù)列,首項為1,公差為2.∴=1+2(n-1)=2n-1,∴Sn=,∴S2019=,故選D.2.(2019廣東茂名一模,18)已知Sn為數(shù)列{an}的前n項和,Sn=2an-2.(1)求數(shù)列{an}的通項公式;(2)若bn=k∈N*,求數(shù)列{bn}的前2n項和T2n.解析 (1)由Sn=2an-2①,得Sn-1=2an-1-2(n≥2)②,①-②得an=2an-2an-1,∴an=2an-1(n≥2),由a1=S1=2a1-2,得a1=2,∴{an}是以2為首項,2為公比的等比數(shù)列,∴an=2n.(2)bn=k∈N*.T2n=(b1+b3+b5+…+b2n-1)+(b2+b4+b6+…+b2n)=(2+23+25+…+22n-1)+(2+4+6+…+2n)=+=-+×4n+n2+n.3.設f(x)=,求S=f+f+…+f的值.解析 ∵f(x)=,∴f(1-x)===,∴f(x)+f(1-x)=1,∵S=f+f+…+f=f+f+…+f,
∴2S=f+f+…+f+f+f+…+f=1×2001=2001,∴S=.考點二 數(shù)列的綜合應用1.(2019湖南岳陽一模,16)已知從1開始的連續(xù)奇數(shù)蛇形排列形成寶塔形數(shù)表,第一行為1,第二行為3,5,第三行為7,9,11,第四行為13,15,17,19,……如圖所示,在寶塔形數(shù)表中位于第i行,第j列的數(shù)記為ai,j,例如a3,2=9,a4,2=15,a5,4=23,若ai,j=2019,則i+j=( ) 1 3 5 11 9 7 13 15 17 1929 27 25 23 21 ……A.64 B.65 C.71 D.72答案 C 由題中數(shù)表可知:第1行有1個奇數(shù),第2行有2個奇數(shù),……,第n行有n個奇數(shù),則前n行共有個奇數(shù),設2019在第n行中,又2019是從1開始的連續(xù)奇數(shù)的第1010個奇數(shù),則有解得n=45,即2019在第45行,則前44行共990個數(shù),又第45行的奇數(shù)從右到左,從小到大排列,則2019為第45行從右到左的第1010-990=20個數(shù),即2019為第45行從左到右的第45-20+1=26個數(shù),故i=45,j=26,故i+j=45+26=71,故選C.2.已知函數(shù)f(x)=2x-3x-1,點(n,an)在f(x)的圖象上,數(shù)列{an}的前n項和為Sn,n∈N*.(1)求使an<0的n的最大值;(2)求Sn.解析 (1)由已知得an=f(n)=2n-3n-1,則f'(n)=2nln2-3,n∈N*,當f'(n)>0,即n≥3時,f(n)單調遞增,當f'(n)<0,即1≤n≤2時,f(n)單調遞減.
又∵an<0,即2n-3n-1<0,當n=2時,22-6-1<0,當n=3時,23-9-1=-2<0,當n=4時,24-12-1>0.∴使an<0的n的最大值為3.(2)Sn=a1+a2+…+an=(2+22+…+2n)-3(1+2+3+…+n)-n=-3·-n=2n+1--2.3.(2020遼寧葫蘆島興城高中模擬)設函數(shù)f(x)=x2,過點C1(1,0)作x軸的垂線l1交函數(shù)f(x)圖象于點A1,以A1為切點作函數(shù)f(x)圖象的切線交x軸于點C2,再過C2作x軸的垂線l2交函數(shù)f(x)圖象于點A2,……,以此類推得點An,記An的橫坐標為an,n∈N*.(1)證明數(shù)列{an}為等比數(shù)列,并求出通項公式;(2)設直線ln與函數(shù)g(x)=lox的圖象相交于點Bn,記bn=·(其中O為坐標原點),求數(shù)列{bn}的前n項和Sn.解析 (1)以點An-1(an-1,)(n≥2)為切點的切線方程為y-=2an-1(x-an-1).當y=0時,x=an-1,即an=an-1,又∵a1=1,∴數(shù)列{an}是以1為首項,為公比的等比數(shù)列,∴通項公式為an=.(2)由題意,得Bn,∴bn=·=+·(n-1)=n·,∴Sn=1×+2×+…+n×,
Sn=1×+2×+…+n×.兩式相減,得Sn=1×++…+-n×=-n×,化簡,得Sn=-×=-.綜合篇【綜合集訓】考法一 錯位相減法求和1.(2020廣東揭陽第三中學第一次月考,19)已知{an}是公差d≠0的等差數(shù)列,a2,a6,a22成等比數(shù)列,a4+a6=26,數(shù)列{bn}是公比q為正數(shù)的等比數(shù)列,且b3=a2,b5=a6.(1)求數(shù)列{an},{bn}的通項公式;(2)求數(shù)列{an·bn}的前n項和Tn.2.(2020普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試考前演練)已知數(shù)列{an}為等差數(shù)列,Sn是數(shù)列{an}的前n項和,且a2=2,S3=a6,數(shù)列{bn}滿足b2=2b1=4,當n≥3,n∈N*時,a1b1+a2b2+…+anbn=(2n-2)bn+2.(1)求數(shù)列{an},{bn}的通項公式;(2)令cn=,n∈N*,證明:c1+c2+…+cn<2.考法二 裂項相消法求和3.(2020湖南長沙明德中學3月月考)在各項都為正數(shù)的等比數(shù)列{an}中,若a1=2,且a1a5=64,則數(shù)列的前n項和是( )A.1- B.1-
C.1- D.1-答案 A4.(2019湖南岳陽一模,13)曲線y=x+lnx(n∈N*)在x=處的切線斜率為an,則數(shù)列的前n項和為 .?答案 5.(2020天津靜海大邱莊中學第一次質量檢測,20)已知等比數(shù)列{an}的首項為1,公比為q,a4,a3,a5依次成等差數(shù)列.(1)求q的值;(2)當q<0時,求數(shù)列{nan}的前n項和Sn;(3)當q>0時,求證:<.[教師專用題組]【綜合集訓】考法一 錯位相減法求和1.(2018福建閩侯第八中學期末,16)已知數(shù)列{nan}的前n項和為Sn,且an=2n,則使得Sn-nan+1+50<0的最小正整數(shù)n的值為 .?答案 5解析 Sn=1×21+2×22+…+n×2n,則2Sn=1×22+2×23+…+n×2n+1,兩式相減得-Sn=2+22+…+2n-n·2n+1=-n·2n+1,故Sn=2+(n-1)2n+1,因為an+1=2n+1,故Sn-nan+1+50=2+(n-1)2n+1-n·2n+1+50=52-2n+1,令52-2n+1<0,故最小正整數(shù)n的值為5.2.(2018河南安陽第二次模擬,17)設等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,點(n,Sn)在函數(shù)f(x)=x2+Bx+C-1(B,C∈R)的圖象上,且a1=C.
(1)求數(shù)列{an}的通項公式;(2)記bn=an(+1),求數(shù)列{bn}的前n項和Tn.解析 (1)設數(shù)列{an}的公差為d,則Sn=na1+d=n2+n,又Sn=n2+Bn+C-1,兩式對照得解得所以a1=1,所以數(shù)列{an}的通項公式為an=2n-1(n∈N*).(2)由(1)知bn=(2n-1)(2·2n-1-1+1)=(2n-1)2n,則Tn=1×2+3×22+…+(2n-1)·2n,2Tn=1×22+3×23+…+(2n-3)·2n+(2n-1)·2n+1,兩式相減得Tn=(2n-1)·2n+1-2(22+…+2n)-2=(2n-1)·2n+1-2×-2=(2n-3)·2n+1+6.3.(2020江蘇南師附中期初檢測,20)設各項均為正數(shù)的數(shù)列{an}的前n項和為Sn,已知a1=1,且anSn+1-an+1Sn=an+1-λan對一切n∈N*都成立.(1)當λ=1時,①求數(shù)列{an}的通項公式;②若bn=(n+1)an,求數(shù)列{bn}的前n項和Tn;(2)是否存在實數(shù)λ,使數(shù)列{an}是等差數(shù)列?若存在,求出λ的值;若不存在,說明理由.解析 (1)①λ=1時,anSn+1-an+1Sn=an+1-an,則(Sn+1+1)an=(Sn+1)an+1,又∵an>0,Sn>0,∴=,
∴··…·=··…·,化簡,得Sn+1+1=2an+1.∴當n≥2時,Sn+1=2an.故可得an+1=2an,即=2(n≥2),∵當n=1時,a2=2,∴n=1時上式也成立,∴數(shù)列{an}是首項為1,公比為2的等比數(shù)列,an=2n-1.②∵bn=(n+1)an,∴bn=(n+1)·2n-1,∴Tn=2×20+3×21+4×22+…+n×2n-2+(n+1)×2n-1,∴2Tn=2×21+3×22+4×23+…+n×2n-1+(n+1)×2n,∴-Tn=2+21+22+…+2n-1-(n+1)×2n=2+-(n+1)×2n=-n×2n,∴Tn=n·2n.(2)令n=1,得a2=λ+1,令n=2,得a3=(λ+1)2,要使數(shù)列{an}是等差數(shù)列,必須有2a2=a1+a3,解得λ=0.當λ=0時,Sn+1an=(Sn+1)an+1,且a2=a1=1.當n≥2時,Sn+1(Sn-Sn-1)=(Sn+1)(Sn+1-Sn),整理,得+Sn=Sn+1Sn-1+Sn+1,則有=,從而··…·=··…·,化簡,得Sn+1=Sn+1,∴an+1=1,綜上所述,an=1(n∈N*).∴λ=0時,數(shù)列{an}是等差數(shù)列.
考法二 裂項相消法求和1.(2018湖南株洲醴陵第二中學、第四中學聯(lián)考,3)數(shù)列的前2017項的和為( )A.+1 B.-1 C.+1 D.-1答案 B 因為=-,所以S2017=-+-+…+-1=-1.故選B.2.(2020浙江省重點高中統(tǒng)練,15)已知數(shù)列{an}的各項均為正數(shù),a1=2,an+1-an=,若數(shù)列的前n項和為5,則n= .?答案 120解析 本題考查等差數(shù)列的概念以及數(shù)列的前n項和;考查學生運算求解的能力;考查數(shù)學運算的核心素養(yǎng).由已知可得-=4,即數(shù)列{}是等差數(shù)列,首項是=4,公差是4,所以=4+4(n-1)=4n,又an>0,所以an=2,所以==,由題意得5=++…+=,解得n=120.3.(2018湖北十堰調研,17)已知數(shù)列{an}中,a1=1,a2=3,其前n項和為Sn,且當n≥2時,an+1Sn-1-anSn=0.(1)求證:數(shù)列{Sn}是等比數(shù)列,并求數(shù)列{an}的通項公式;(2)令bn=,記數(shù)列{bn}的前n項和為Tn,求Tn.解析 (1)當n≥2時,an+1Sn-1-anSn=(Sn+1-Sn)Sn-1-(Sn-Sn-1)Sn=Sn+1Sn-1-=0,∴=Sn-1Sn+1(n≥2).又由S1=a1=1≠0,S2=a1+a2=4≠0,可推知對一切正整數(shù)n均有Sn≠0,∴數(shù)列{Sn}是等比數(shù)列,Sn=4n-1.當n≥2時,an=Sn-Sn-1=3×4n-2,又a1=1,∴an=
(2)當n≥2時,bn===,又知b1=,∴bn=則T1=b1=.當n≥2時,bn==-,則Tn=++…+=-,又當n=1時,T1=符合上式,∴Tn=-(n∈N*).
