專題七　平面向量備考篇【考情探究】課標(biāo)解讀考情分析備考指導(dǎo)主題內(nèi)容一、平面向量的概念、線性運(yùn)算及基本定理1.理解平面向量的概念,向量相等及幾何表示,理解向量的加、減法,數(shù)乘向量的運(yùn)算及其幾何意義,理解兩向量共線的意義及表示.2.熟練掌握向量的線性運(yùn)算,能進(jìn)行準(zhǔn)確、快捷的向量計(jì)算.1.從近幾年高考情況來看,考題難度以中低檔為主,題型主要以選擇題或填空題的形式出現(xiàn),分值為5分.2.本專題內(nèi)容在2020年的高考試題中多以平面向量的線性運(yùn)算、平面向量的數(shù)量積為考查點(diǎn)(如2020新高考Ⅰ卷第7題是以正六邊形為背景考查向量數(shù)量積的運(yùn)算,2020課標(biāo)Ⅰ卷理數(shù)第14題考查了單位向量與用數(shù)量積求向量的模,2020天津卷第15題以四邊形為載體考查用基底表示平面向量及求數(shù)量積,同時(shí)與最值問題相聯(lián)系),近幾年的高考試題都注重學(xué)生對(duì)平面向量的基本知識(shí)和基本解題方法的考查.3.本專題重點(diǎn)考查的核心素養(yǎng)為數(shù)學(xué)運(yùn)算和邏輯推理.1.結(jié)合圖形理解平面向量的概念、向量的線性運(yùn)算,熟練掌握平行四邊形法則與三角形法則.2.理解平面向量基本定理的實(shí)質(zhì),會(huì)用給定的基底表示向量.3.通過建立平面直角坐標(biāo)系能求出向量的坐標(biāo),會(huì)進(jìn)行平面向量的和、差、數(shù)乘向量及數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算.4.掌握用數(shù)量積的定義、幾何意義求兩向量的數(shù)量積并能用數(shù)量積求兩向量夾角,判斷或證明向量垂直、求向量的模.5.利用數(shù)形結(jié)合的方法和函數(shù)的思想解決最值等綜合問題.二、平面向量的數(shù)量積及向量的綜合應(yīng)用1.理解平面向量數(shù)量積的含義及其幾何意義;了解平面向量的數(shù)量積與向量投影的關(guān)系;掌握數(shù)量積的坐標(biāo)表達(dá)式,會(huì)進(jìn)行平面向量數(shù)量積的運(yùn)算.2.掌握求向量長度的方法;能運(yùn)用數(shù)量積表示兩個(gè)向量的夾角;會(huì)用數(shù)量積判斷兩個(gè)平面向量的垂直關(guān)系.3.了解平面向量基本定理及其意義.【真題探秘】命題立意本題以正六邊形為背景,考查求兩個(gè)向量數(shù)量積的取值范圍問題.解題過程如圖,過點(diǎn)P作PP1⊥直線AB于P1,過點(diǎn)C作CC1⊥直線AB于C1,過點(diǎn)F作FF1⊥直線AB于F1,·=||·||·cos∠PAB,當(dāng)∠PAB為銳角時(shí),||·cos∠PAB=||,當(dāng)∠PAB為鈍角時(shí),||·cos∠PAB=-| |,所以當(dāng)點(diǎn)P與C重合時(shí),·最大,此時(shí)·=||||=6,當(dāng)點(diǎn)P與F重合時(shí),·最小,此時(shí)·=-||·||=-2,又因?yàn)辄c(diǎn)P是正六邊形ABCDEF內(nèi)的一點(diǎn),所以-2<·<6.故選A.拓展延伸利用向量常解決的幾何問題:(1)證明線線平行,或判斷兩直線(或線段)是否平行,常運(yùn)用向量平行(共線)的條件,a∥b?a=λb?x1y2-x2y1=0(x2≠0,y2≠0)(其中a=(x1,y1),b=(x2,y2)).(2)求向量的模|a|==(其中a=(x,y)).(3)證明垂直問題,常用向量垂直的充要條件,a⊥b?a·b=0?x1x2+y1y2=0(其中a=(x1,y1),b=(x2,y2)).(4)求夾角問題:利用夾角公式cosθ==(其中a=(x1,y1),b=(x2,y2)).用向量方法解決幾何問題的步驟:(1)建立平面幾何與向量的聯(lián)系,用向量表示問題中涉及的幾何元素,將平面幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題;(2)通過向量運(yùn)算,研究幾何元素之間的關(guān)系;(3)把運(yùn)算結(jié)果“翻譯”成幾何關(guān)系.[教師專用題組]1.真題多維細(xì)目表考題涉分題型難度考點(diǎn)考向解題方法核心素養(yǎng)2020課標(biāo)Ⅰ理,145填空題易數(shù)量積的定義及夾角與模問題求向量的模定義法數(shù)學(xué)運(yùn)算2020新高考Ⅱ,35單項(xiàng)選擇題易向量的線性運(yùn)算向量的線性運(yùn)算定義法邏輯推理數(shù)學(xué)運(yùn)算2020新高考Ⅰ,75單項(xiàng)選擇題中數(shù)量積的綜合應(yīng)用求數(shù)量積的取值范圍分類討論法數(shù)學(xué)運(yùn)算邏輯推理直觀想象2020北京,135填空題中數(shù)量積的綜合應(yīng)用求向量的模、數(shù)量積定義法數(shù)學(xué)運(yùn)算邏輯推理2020天津,155填空題難數(shù)量積的綜合應(yīng)用建立函數(shù)模型求數(shù)量積最值定義法數(shù)學(xué)運(yùn)算邏輯推理直觀想象2020課標(biāo)Ⅰ文,145填空題易數(shù)量積的定義及夾角與模問題向量的坐標(biāo)運(yùn)算、數(shù)量積公式法數(shù)學(xué)運(yùn)算2.命題規(guī)律與探究1.從近幾年高考情況來看,本專題內(nèi)容的考題難度以中、低檔為主, 題型主要以選擇題或填空題的形式出現(xiàn),分值為5分.2.本專題內(nèi)容在高考試題中以平面向量的線性運(yùn)算、平面向量的數(shù)量積為主要考查點(diǎn),考查學(xué)生對(duì)平面向量的基本知識(shí)和基本解題方法的掌握情況.3.在處理與平面向量有關(guān)的問題時(shí),注意坐標(biāo)法和基底法在解題中的應(yīng)用.4.本章重點(diǎn)考查的學(xué)科核心素養(yǎng)為數(shù)學(xué)運(yùn)算和邏輯推理.3.命題變化與趨勢1.高考對(duì)本專題內(nèi)容的考查較為穩(wěn)定,考查方式及題目難度在近兩年中變化不大,延續(xù)此前的考試風(fēng)格.2.考查內(nèi)容主要體現(xiàn)在以下方面:①以平面幾何為背景考查平面向量的線性運(yùn)算以及共線問題;②以平面向量的夾角、模長等內(nèi)容為入手點(diǎn),考查平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算以及數(shù)量積等問題;③以平面向量的數(shù)量積為載體,考查向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算、幾何意義及取值范圍問題,從而體現(xiàn)向量的工具性.同時(shí)注意方程思想、數(shù)形結(jié)合思想以及整體意識(shí)在解決平面向量問題中的應(yīng)用.§7.1　平面向量的概念、線性運(yùn)算及基本定理基礎(chǔ)篇【基礎(chǔ)集訓(xùn)】考點(diǎn)一　平面向量的概念及線性運(yùn)算1.下列命題中,正確的個(gè)數(shù)是(　　)①單位向量都相等;②模相等的兩個(gè)平行向量是相等向量;③若a,b滿足|a|>|b|且a與b同向,則a>b;④若兩個(gè)向量相等,則它們的起點(diǎn)和終點(diǎn)分別重合;⑤若a∥b,b∥c,則a∥c.A.0　　B.1　　C.2　　D.3答案　A2.設(shè)D為△ABC中BC邊上的中點(diǎn),且O為AD上靠近點(diǎn)A的三等分點(diǎn),則(　　) A.=-+　　B.=-C.=-　　D.=-+答案　D3.設(shè)M為平行四邊形ABCD對(duì)角線的交點(diǎn),O為平行四邊形ABCD所在平面內(nèi)任意一點(diǎn),則+++等于(　　)A.　　B.2　　C.3　　D.4答案　D4.(2a-3b)-3(a+b)=　　　　.?答案　-a-4b考點(diǎn)二　平面向量基本定理及坐標(biāo)運(yùn)算5.如圖,在△ABC中,=,P是BN的中點(diǎn),若=m+,則實(shí)數(shù)m的值是(　　)A.　　B.1　　C.　　D.答案　C6.已知點(diǎn)A(1,3),B(4,-1),則與向量同方向的單位向量為(　　)A.　　B.　　C.　　D.答案　A 7.向量a=,b=(cosα,1),且a∥b,則cos2α=(　　)A.　　B.-　　C.　　D.-答案　C8.已知向量a=(1,1),b=(2,x),若(a+b)∥(4b-2a),則實(shí)數(shù)x的值是(　　)A.-2　　B.3　　C.　　D.2答案　D9.向量a,b,c在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示.若c=λa+μb(λ,μ∈R),則=　　　　.?答案　4[教師專用題組]【基礎(chǔ)集訓(xùn)】考點(diǎn)一　平面向量的概念及線性運(yùn)算1.(2019天津耀華中學(xué)統(tǒng)練(2),2)已知A、B、C、D是平面內(nèi)任意四點(diǎn),現(xiàn)給出下列式子:①+=+;②+=+;③-=+.其中正確的有(　　)A.0個(gè)　　B.1個(gè)　　C.2個(gè)　　D.3個(gè)答案　C?、偈降牡葍r(jià)式是-=-,左邊=+,右邊=+,不一定相等;②式的等價(jià)式是-=-,即=成立;③式的等價(jià)式是=++=成立.綜上可知正確的是②③.故選C.2.(2016青海西寧二診,7)已知點(diǎn)P為△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn),邊AB的中點(diǎn)為D,若2=(1-λ) +,其中λ∈R,則P點(diǎn)一定在(　　)A.AB邊所在的直線上　　B.BC邊所在的直線上C.AC邊所在的直線上　　D.△ABC的內(nèi)部答案　C　因?yàn)?=(1-λ)+,所以2(+)=-λ+,2+2=-λ+,+2-=-λ,因?yàn)镈為邊AB的中點(diǎn),所以=-λ,所以P點(diǎn)一定在AC邊所在的直線上.思路分析　利用向量的線性運(yùn)算化簡后,結(jié)合共線向量定理求解.解題關(guān)鍵　由向量的線性運(yùn)算得=-λ是求解關(guān)鍵.3.(2018江西師大附中12月模擬,10)設(shè)D,E,F分別為△ABC三邊BC,CA,AB的中點(diǎn),則+2+3=(　　)A.　　B.C.　　D.答案　D　因?yàn)镈,E,F分別為△ABC的三邊BC,AC,AB的中點(diǎn),所以+2+3=(+)+2×(+)+3××(+)=+++++=++=+=,故選D.4.(2018福建高三4月質(zhì)檢,3)莊嚴(yán)美麗的國旗和國徽上的五角星是革命和光明的象征.正五角星是一個(gè)非常優(yōu)美的幾何圖形,且與黃金分割有著密切的聯(lián)系:在如圖所示的正五角星中,以A,B,C,D,E為頂點(diǎn)的多邊形為正五邊形,且=.下列關(guān)系中正確的是(　　) A.-=　　B.+=C.-=　　D.+=答案　A　由題意得,-=-===,所以A正確;+=+==,所以B錯(cuò)誤;-=-==,所以C錯(cuò)誤;+=+,==-,若+=,則=0,不合題意,所以D錯(cuò)誤.故選A.5.(2019湖南頂級(jí)名校摸底考試,4)如圖,已知=a,=b,=4,=3,則=(　　)A.b-a　　B.a-bC.a-b　　D.b-a答案　D　=+=+=(-)-=-=b-a.選D.6.(2018吉林調(diào)研,8)已知a,b是不共線的非零向量,=λa+b,=a+μb(λ,μ∈R),若A,B,C三點(diǎn)共線,則λ,μ的關(guān)系一定成立的是(　　)A.λμ=1　　B.λμ=-1C.λ-μ=1　　D.λ+μ=2答案　A　若A,B,C共線,則∥,即存在實(shí)數(shù)k,使得=k.∵=a+μb,=λa+b,∴a+μb=k(λa+b),即(1-kλ)a+(μ-k)b=0. ∵a,b是不共線的非零向量,∴解得λμ=1.故A,B,C三點(diǎn)共線的充要條件為λμ=1.故選A.7.如圖,在直角梯形ABCD中,AB=2AD=2DC,E為BC邊上一點(diǎn),=3,F為AE的中點(diǎn),則=(　　)A.-　　B.-C.-+　　D.-+答案　C　如圖,取AB的中點(diǎn)G,連接DG,CG,易知四邊形DCBG為平行四邊形,所以==-=-,∴=+=+=+=+,于是=-=-=-=-+,故選C.解題關(guān)鍵　選定向量、為基底,正確利用向量的線性運(yùn)算是求解關(guān)鍵.8.(2018吉林長春模擬,6)在△ABC中,D為三角形所在平面內(nèi)一點(diǎn),且=+,則=(　　)A.　　B.　　C.　　D. 答案　B　設(shè)直線AD與BC交于點(diǎn)E,=x.∵=+,∴=+.∵E、B、C三點(diǎn)共線,∴+=1,∴x=,∴=,∵=+,∴+=,∴=5.∵=+,∴(-)=(-),∴=.設(shè)S△DEC=2x,則S△DBE=3x,∵=5,∴S△ABD=5×3x=15x,∴===.考點(diǎn)二　平面向量基本定理及坐標(biāo)運(yùn)算1.(2018遼寧丹東五校協(xié)作體聯(lián)考,4)向量a=,b=(cosα,1),且a∥b,則cos2α=(　　)A.　　B.-　　C.　　D.-答案　C　∵a∥b,a=,b=(cosα,1),∴-tanαcosα=0,即sinα=,∴cos2α=1-2sin2α=1-2×=.故選C.2.(2018河北衡水中學(xué)五調(diào),8)已知平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的兩個(gè)向量a=(1,2),b=(m,3m-2), 且平面內(nèi)的任一向量c都可以唯一地表示成c=λa+μb(λ,μ為實(shí)數(shù)),則m的取值范圍是(　　)A.(-∞,2)　　B.(2,+∞)C.(-∞,+∞)　　D.(-∞,2)∪(2,+∞)答案　D　根據(jù)題意知,向量a,b是不共線的兩個(gè)向量,∵a=(1,2),b=(m,3m-2),∴≠,解得m≠2.∴m的取值范圍是(-∞,2)∪(2,+∞).故選D.3.(2019安徽合肥第一次質(zhì)檢,5)設(shè)向量a=(-3,4),向量b與向量a方向相反,且|b|=10,則向量b的坐標(biāo)為(　　)A.　　B.(-6,8)C.　　D.(6,-8)答案　D　因?yàn)橄蛄縝與向量a方向相反,所以可設(shè)b=λa=(-3λ,4λ),λ<0,則|b|===5|λ|=-5λ=10,所以λ=-2,所以b=(6,-8).故選D.4.(2019浙江溫州高三適應(yīng)性測試,4)在△ABC中,D是線段BC上一點(diǎn)(不包括端點(diǎn)),=λ+(1-λ),則(　　)A.λ<-1　　B.-1<λ<0C.0<λ<1　　D.λ>1答案　C　由已知可得-=-λ+(1-λ)(-),即=(1-λ),因?yàn)镈是線段BC上一點(diǎn)(不包括端點(diǎn)),所以0<1-λ<1,解得0<λ<1.5.(2018河北唐山二模,4)已知O是正方形ABCD的中心.若=λ+μ,其中λ,μ∈R,則=(　　)A.-2　　B.-　　C.-　　D. 答案　A　∵=+=+=-+=-,=λ+μ,∴λ=1,μ=-,∴=-2.故選A.6.(2019湖北重點(diǎn)中學(xué)第一次聯(lián)考,5)已知向量a=(-2,1),b=(-1,3),則(　　)A.a∥b　　B.a⊥bC.a∥(a-b)　　D.a⊥(a-b)答案　D　根據(jù)題意,依次分析選項(xiàng):對(duì)于A,向量a=(-2,1),b=(-1,3),有1×(-1)≠(-2)×3,則a∥b不成立,故A錯(cuò)誤;對(duì)于B,向量a=(-2,1),b=(-1,3),有a·b=(-2)×(-1)+1×3=5,則a⊥b不成立,故B錯(cuò)誤;對(duì)于C,向量a=(-2,1),b=(-1,3),有a-b=(-1,-2),且(-2)×(-2)≠1×(-1),則a∥(a-b)不成立,故C錯(cuò)誤;對(duì)于D,向量a=(-2,1),b=(-1,3),則a-b=(-1,-2),有a·(a-b)=(-1)×(-2)+1×(-2)=0,則a⊥(a-b),故D正確.故選D.7.(2018遼寧大連期末,8)在平行四邊形ABCD中,E,F分別是邊CD和BC的中點(diǎn),若=λ+μ,其中λ,μ∈R,則λ+μ=　(　　)A.　　B.2　　C.　　D.1答案　C　∵在平行四邊形ABCD中,E,F分別是邊CD和BC的中點(diǎn),∴=+,=+=+, =+=+.∵=λ+μ,其中λ,μ∈R,∴=+=λ+μ=+,∴∴(λ+μ)=2,解得λ+μ=.故選C.思路分析　以,為基底,利用向量加法、減法和數(shù)乘的運(yùn)算,解方程組求解.解題關(guān)鍵　把,用,表示是求解關(guān)鍵.8.(2019河北3月質(zhì)檢,6)在△ABC中,O為△ABC的重心.若=λ+μ,則λ-2μ=(　　)A.-　　B.-1　　C.　　D.-答案　D　如圖,連BO并延長交AC于點(diǎn)M,∵點(diǎn)O為△ABC的重心,∴M為AC的中點(diǎn),∴===-+=-+(-)=-+,又知=λ+μ,∴λ=-,μ=,∴λ-2μ=--2×=-,故選D.9.(2017福建福州3月質(zhì)檢,6)設(shè)向量=(1,-2),=(a,-1),=(-b,0),其中O為坐標(biāo)原點(diǎn),a>0,b>0,若A,B,C三點(diǎn)共線,則+的最小值為(　　)A.4　　B.6　　C.8　　D.9 答案　C　∵=(1,-2),=(a,-1),=(-b,0),∴=-=(a-1,1),=-=(-b-1,2),∵A,B,C三點(diǎn)共線,∴=λ,即(a-1,1)=λ(-b-1,2),∴可得2a+b=1,∵a>0,b>0,∴+=(2a+b)=2+2++≥4+2=8,當(dāng)且僅當(dāng)=,即a=,b=時(shí)取等號(hào),故+的最小值為8,故選C.規(guī)律總結(jié)　三點(diǎn)共線常用的處理辦法有:(1)轉(zhuǎn)化為向量共線,再利用向量共線的坐標(biāo)表示求解;(2)利用直線的斜率相等求解.綜合篇【綜合集訓(xùn)】考法一　與平面向量線性運(yùn)算有關(guān)的解題策略1.(2020河北邯鄲一模,4)在平行四邊形ABCD中,若=4,則=(　　)A.-+　　B.+ C.-+　　D.-+答案　A2.(2020河北廊坊第一次聯(lián)考,6)在△ABC中,=2,E是AD的中點(diǎn),則=(　　)A.+　　B.-C.-　　D.+答案　A3.(2020山東濱州三模,5)已知點(diǎn)O是△ABC內(nèi)一點(diǎn),且滿足+2+m=0,=,則實(shí)數(shù)m的值為(　　)A.-4　　B.-2　　C.2　　D.4答案　D4.(2019安徽安慶調(diào)研,6)如圖,直線EF與平行四邊形ABCD的兩邊AB,AD分別交于E、F兩點(diǎn),且交其對(duì)角線AC于K,其中,=,=,=λ,則λ的值為(　　)A.　　B.　　C.　　D.答案　A5.(2019福建泉州四校第二次聯(lián)考,11)如圖,=2,=2,=m,=n,若m=,則n=(　　) A.　　B.　　C.　　D.答案　A考法二　與平面向量坐標(biāo)運(yùn)算有關(guān)的解題策略6.(2020百校聯(lián)考高考考前沖刺(二),2)已知向量a=(1,0),b=(1,),則與2a-b共線的單位向量為(　　)A.　　B.C.或　　D.或答案　D7.(2020河南開封二模,11)在△ABC中,A=,AB=3,AC=4,動(dòng)點(diǎn)P在△ABC的內(nèi)切圓上,若=λ+μ,則λ+μ的最大值為(　　)A.　　B.　　C.1　　D.2答案　C8.(2019北京西城月考,5)已知向量=(3,-4),=(6,-3),=(2m,m+1),若∥,則實(shí)數(shù)m的值為(　　)A.-　　B.-3　　C.-　　D.答案　B9.(2020天津南開中學(xué)統(tǒng)練(23),5)如圖,在平行四邊形ABCD中,∠BAD=,AB=2,AD=1,若M,N分別是邊AD,CD上的點(diǎn),且滿足==λ,其中λ∈[0,1],則·的取值范圍是(　　) A.[-3,-1]　　B.[-3,1]　　C.[-1,1]　　D.[1,3]答案　A[教師專用題組]【綜合集訓(xùn)】考法二　與平面向量坐標(biāo)運(yùn)算有關(guān)的解題策略1.(2019江蘇揚(yáng)州質(zhì)檢,9)若向量a與b既不平行也不垂直,則稱向量a與b斜交.已知向量m=(1,3)與n=(-2,t)斜交,則實(shí)數(shù)t的取值范圍是(　　)A.(-∞,-6)∪B.(-∞,-6)∪∪C.∪(6,+∞)D.∪∪(6,+∞)答案　B　根據(jù)題中定義,有解得故實(shí)數(shù)t的取值范圍是(-∞,-6)∪∪.故選B.2.(2018天津六校期中聯(lián)考,16)已知A(-1,0),B(0,2),C(-3,1),·=5,=10.(1)求D點(diǎn)的坐標(biāo);(2)若D點(diǎn)在第二象限,用,表示;(3)設(shè)=(m,2),若3+與垂直,求的坐標(biāo).解析　(1)設(shè)D(x,y), 由題意得=(1,2),=(x+1,y),∴(3分)即解得或∴D點(diǎn)的坐標(biāo)為(-2,3)或(2,1).(5分)(2)∵D點(diǎn)在第二象限,∴D(-2,3).∴=(-1,3).設(shè)=k+n,∵=(-2,1),∴(-2,1)=k(1,2)+n(-1,3),(7分)∴∴∴=-+.(9分)(3)∵3+與垂直,∴(3+)·=0,(11分)又∵3+=3(1,2)+(-2,1)=(1,7),=(m,2),∴m+14=0,∴m=-14,∴的坐標(biāo)為(-14,2).(13分)