模塊卷(二)時(shí)間:110分鐘　分值:135分解析幾何一、選擇題:本題共11小題,每小題5分,共55分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.(2018浙江寧波高三上學(xué)期期末,4)已知焦點(diǎn)在y軸上的橢圓+=1的離心率為,則實(shí)數(shù)m等于(　　)A.3　　B.　　C.5　　D.答案　D　由橢圓焦點(diǎn)在y軸上可知a2=m,b2=4,則c2=a2-b2=m-4,故e2===,解得m=.故選D.2.(2019西藏日喀則南木林高中期中,12)已知圓C過雙曲線-=1的一個(gè)頂點(diǎn)和一個(gè)焦點(diǎn),且圓心在該雙曲線上,則圓心到該雙曲線中心的距離是(　　)A.　　B.　　C.　　D.5答案　C　由雙曲線的幾何性質(zhì)易知圓C過雙曲線同一側(cè)的頂點(diǎn)和焦點(diǎn),不妨設(shè)過雙曲線的右焦點(diǎn)和右頂點(diǎn),所以圓C的圓心的橫坐標(biāo)為4.故圓心坐標(biāo)為.∴它到中心(0,0)的距離為d==.故選C.3.(2020湖南長沙明德中學(xué)3月月考,7)直線l1:2x+(m+1)y+4=0與直線l2:mx+3y-2=0平行”是“m=2”的(　　) A.充分不必要條件　　B.必要不充分條件C.充要條件　　D.既不充分也不必要條件答案　B　本題主要考查充分條件、必要條件的判斷,考查數(shù)學(xué)運(yùn)算與邏輯推理的核心素養(yǎng).若l1∥l2,則即解得m=-3或2.因此,“直線l1:2x+(m+1)y+4=0與直線l2:mx+3y-2=0平行”是“m=2”的必要不充分條件.4.(2020廣東深圳第二次教學(xué)質(zhì)量檢測,9)已知拋物線C:x2=4y的準(zhǔn)線為l,記l與y軸交于點(diǎn)M,過點(diǎn)M作直線l'與C相切,切點(diǎn)為N,則以MN為直徑的圓的方程為(　　)A.(x+1)2+y2=4或(x-1)2+y2=4B.(x+1)2+y2=16或(x-1)2+y2=16C.(x+1)2+y2=2或(x-1)2+y2=2D.(x+1)2+y2=8或(x-1)2+y2=8答案　C　拋物線x2=4y的準(zhǔn)線為y=-1,則M(0,-1),設(shè)切線方程為y=kx-1,聯(lián)立消去y得x2-4kx+4=0,∵直線l'與拋物線相切,∴Δ=16k2-16=0,∴k=±1,當(dāng)k=1時(shí),x2-4x+4=0,x1=x2=2,此時(shí)N(2,1),又M(0,-1),則以MN為直徑的圓的方程為(x-1)2+y2=2.同理,當(dāng)k=-1時(shí),N(-2,1),以MN為直徑的圓的方程為(x+1)2+y2=2,故選C.5.(2018浙江“七彩陽光”聯(lián)盟期中,8)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知點(diǎn)P(3,-1)在圓C:x2+y2-2mx-2y+m2-15=0內(nèi),動直線AB過點(diǎn)P且交圓C于A,B兩點(diǎn),若△ABC的面積的最大值為8,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是(　　)A.(3-2,3+2)　　B.[1,5]C.(3-2,1]∪[5,3+2)　　D.(-∞,1]∪[5,+∞)答案　C　圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-m)2+(y-1)2=16,則圓心為C(m,1),半徑r=4,S△ABC=r2sin∠ACB=8sin ∠ACB,∴當(dāng)∠ACB=90°時(shí),S△ABC取得最大值8,此時(shí)△ABC為等腰直角三角形,|AB|=r=4,則圓心C到直線AB的距離d=|AB|=2,∴2≤|PC|<4,即2≤<4,∴8≤(m-3)2+4<16,即4≤(m-3)2<12,解得3-2b>0)的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F1,F2,若橢圓上存在點(diǎn)P使得∠F1PF2是鈍角,則橢圓離心率的取值范圍是(　　)A.　　B.　　C.　　D.答案　B　當(dāng)點(diǎn)P從橢圓長軸端點(diǎn)處沿橢圓向短軸端點(diǎn)運(yùn)動時(shí),∠F1PF2逐漸增大,當(dāng)且僅當(dāng)P點(diǎn)位于短軸端點(diǎn)P0處時(shí),∠F1PF2最大.∵橢圓上存在點(diǎn)P使得∠F1PF2是鈍角,∴在△F1P0F2中,∠F1P0F2>90°,∴Rt△OP0F2中,∠OP0F2>45°,所以b,∵04,∴實(shí)數(shù)m的取值范圍是(4,+∞). 9.(2020云南紅河期末)設(shè)拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為F,過F且斜率為1的直線與拋物線相交于A,B兩點(diǎn),若線段AB的中點(diǎn)為E,O為坐標(biāo)原點(diǎn),且|OE|=,則p=(　　)A.2　　B.3　　C.6　　D.12答案　A　由題意可知F,則直線AB的方程為y=x-,設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),由題意得兩式相減得-=2p(x1-x2)?y1+y2=2p,因?yàn)镋為線段AB的中點(diǎn),所以E,即E,因?yàn)镋在直線AB:y=x-上,所以E,又因?yàn)閨OE|=,p>0,所以p=2.故選A.疑難突破　弦中點(diǎn)問題利用點(diǎn)差法求解,設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),由題意得化簡得y1+y2=2p,得E,因?yàn)镋在直線AB:y=x-上,所以E,再由|OE|=可求得p.10.(2019北京朝陽期末文,7)已知雙曲線C:-=1(a>0)的一條漸近線方程為4x+3y=0,F1,F2分別是雙曲線C的左,右焦點(diǎn),點(diǎn)P在雙曲線上,且|PF1|=7,則|PF2|=(　　)A.1　　B.13　　C.17　　D.1或13答案　B　∵雙曲線C:-=1(a>0)的一條漸近線方程為4x+3y=0,∴=,∴a=3,∴c=5.由F1,F2分別是雙曲線C的左、右焦點(diǎn),點(diǎn)P在雙曲線上,且|PF1|=7,可知P在雙曲線的左支上,∴|PF2|-|PF1|=6, ∴|PF2|=13,故選B.解題關(guān)鍵　本題考查了雙曲線的定義以及標(biāo)準(zhǔn)方程,利用雙曲線的漸近線方程求出a是解題關(guān)鍵.11.(2018湖南益陽、湘潭調(diào)研,10)如圖,過拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)F的直線交拋物線于點(diǎn)A,B,交其準(zhǔn)線l于點(diǎn)C,若F是AC的中點(diǎn),且|AF|=4,則線段AB的長為(　　)A.5　　B.6　　C.　　D.答案　C　如圖,設(shè)l與x軸交于點(diǎn)M,過點(diǎn)A作AD⊥l交l于點(diǎn)D,由拋物線的定義知,|AD|=|AF|=4,由F是AC的中點(diǎn),知|AD|=2|MF|=2p,所以2p=4,解得p=2,所以拋物線的方程為y2=4x.解法一:設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則|AF|=x1+=x1+1=4,所以x1=3,可得y1=2,所以A(3,2),又F(1,0),所以直線AF的斜率k==,所以直線AF的方程為y=(x-1),代入拋物線方程y2=4x得3x2-10x+3=0,所以x1+x2=,故|AB|=x1+x2+p=.故選C.解法二:設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則|AF|=x1+=x1+1=4,所以x1=3,又x1x2==1,所以x2=,所以|AB|=x1+x2+p=.故選C. 解法三:因?yàn)?=,|AF|=4,所以|BF|=,所以|AB|=|AF|+|BF|=4+=.故選C.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分.12.(2019北京朝陽二模,10)已知點(diǎn)M(1,2)在拋物線C:y2=2px(p>0)上,則點(diǎn)M到拋物線C的焦點(diǎn)的距離是　　　　.?答案　2解析　點(diǎn)M在拋物線C上,所以4=2p,解得p=2,點(diǎn)M到拋物線C的焦點(diǎn)的距離為1+=1+1=2.13.(2019北京西城一模,10)設(shè)F1,F2為雙曲線C:-=1(a>0,b>0)的兩個(gè)焦點(diǎn),若雙曲線C的兩個(gè)頂點(diǎn)恰好將線段F1F2三等分,則雙曲線C的離心率為　　　　.?答案　3解析　設(shè)雙曲線C的左,右頂點(diǎn)分別為A1,A2.∵A1,A2將F1F2三等分,∴|A1A2|=|F1F2|,即2a=·2c,∴a=c,∴e==3.14.(2018天津南開中學(xué)第四次月考,13)已知圓C:(x-m)2+(y-n)2=9的圓心在第一象限,直線l:x+2y+2=0被圓C截得的弦的長為4,則的最小值為　　　　.?答案　解析　由題意知圓心C的坐標(biāo)為(m,n),半徑R=3, ∵圓心在第一象限,∴m>0,n>0.∵直線l:x+2y+2=0被圓C截得的弦的長為4,∴圓心到直線的距離d===,即=,即m+2n+2=5,則m+2n=3,即+=1,則=×=+++≥+2·=+=,當(dāng)且僅當(dāng)=,即m=2n時(shí)取等號.∴的最小值為.15.(2018浙江新高考調(diào)研卷四(金華一中),15)過原點(diǎn)O的直線l與橢圓+=1(a>b>0)交于M,N兩點(diǎn),點(diǎn)P是橢圓上異于M,N的任一點(diǎn),滿足kPM·kPN>-,則該橢圓的離心率的取值范圍是　　　　　.?答案　解析　設(shè)P(x0,y0),M(m,n),N(-m,-n),kPM·kPN=·=>-,又P(x0,y0),M(m,n)在橢圓+=1上,則+=1,+=1,兩式相減得+=0,所以=-,則->-,a2>3b2=3(a2-c2),3c2>2a2,所以e=>,又e<1,所以離心率的取值范圍是0).因?yàn)閳AC經(jīng)過A,B兩點(diǎn),所以+=+,即+-b+b2=+-b+b2,解得b=4.則r2=+=,所以圓C的方程為x2+(y-4)2=.(2)當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí),由l與C相切得l的方程為x=±,此時(shí)直線l與C1交于P,Q兩點(diǎn),不妨設(shè)P點(diǎn)在Q點(diǎn)的上方,則P,Q或P-,,Q-,-,則·=0,所以O(shè)P⊥OQ,滿足題意.當(dāng)直線l的斜率存在時(shí),易知其斜率不為0,設(shè)直線l的方程為y=kx+m(k≠0,m≠0),P(x1,y1),Q(x2,y2),將直線l的方程與圓C1的方程聯(lián)立,得消去y,整理得(1+k2)x2+2kmx+m2-1=0,則Δ=4k2m2-4(1+k2)(m2-1)=4(k2-m2+1)>0,即1+k2>m2.因?yàn)閤1+x2=-,x1x2=,所以y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x2+km(x1+x2)+m2=-+m2=. 因?yàn)镺P⊥OQ,所以·=0,即x1x2+y1y2=+=0,故2m2=1+k2,滿足Δ>0,符合題意.因?yàn)橹本€l:y=kx+m與圓C:x2+(y-4)2=相切,所以圓心C(0,4)到直線l的距離d==,即m2-8m+16=,故m2-8m+16=m2,得m=2,故1+k2=2×22,得k=±.故直線l的方程為y=±x+2.綜上,直線l的方程為x=±或y=±x+2.17.(12分)(2018廣東深圳3月聯(lián)考,19)如圖,直角三角形ABC的頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為(-2,0),直角頂點(diǎn)B的坐標(biāo)為(0,-2),頂點(diǎn)C在x軸上,點(diǎn)P為線段OA的中點(diǎn).(1)求BC邊所在直線方程;(2)若M為直角三角形ABC外接圓的圓心,求圓M的方程;(3)在(2)的條件下,若動圓N過點(diǎn)P且與圓M內(nèi)切,求動圓N的圓心的軌跡方程.解析　(1)易知kAB=-,AB⊥BC,∴kCB=,∴BC邊所在直線方程為y=x-2.(2)由(1)及題意得C(4,0),∴M(1,0),又∵AM=3,∴外接圓M的方程為(x-1)2+y2=9. (3)∵圓N過點(diǎn)P(-1,0),∴PN是動圓的半徑,又∵動圓N與圓M內(nèi)切,∴MN=3-PN,即MN+PN=3,∴點(diǎn)N的軌跡是以M,P為焦點(diǎn),長軸長為3的橢圓.∵P(-1,0),M(1,0),∴a=,c=1,b==,∴所求軌跡方程為+=1,即+=1.思路分析　(1)由kAB=-,AB⊥BC,知kBC=,再根據(jù)點(diǎn)B的坐標(biāo)可求BC邊所在直線的方程;(2)由(1)中的方程,令y=0,得C(4,0),從而得圓心坐標(biāo)與半徑,進(jìn)而得出圓M的方程;(3)利用兩圓內(nèi)切得MN+PN=3,利用橢圓定義得點(diǎn)N的軌跡,從而得軌跡方程.方法點(diǎn)撥　求解直線方程或圓的方程,常用方法為待定系數(shù)法和定義法,但應(yīng)注意方程的選擇.涉及直線的斜率時(shí),要注意對存在性的討論.18.(12分)(2019四川成都外國語學(xué)校開學(xué)考試,20)已知拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為F,A為拋物線C上異于原點(diǎn)的任意一點(diǎn),過點(diǎn)A的直線l交拋物線C于另一點(diǎn)B,交x軸的正半軸于點(diǎn)D,且有|FA|=|FD|.當(dāng)點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為3時(shí),△ADF為正三角形.(1)求拋物線C的方程;(2)若直線l2∥l且l2和拋物線C有且只有一個(gè)公共點(diǎn)E,試問直線AE是否過定點(diǎn),若過定點(diǎn),求出定點(diǎn)坐標(biāo);若不過定點(diǎn),請說明理由.解析　(1)由題意知F,設(shè)D(t,0)(t>0),則FD的中點(diǎn)為,由|FA|=|FD|及拋物線的定義知3+=,解得t=3+p或t=-3(舍去), 由解得p=2,所以拋物線C的方程為y2=4x.(2)由(1)知F(1,0),設(shè)A(x0,y0)(x0>0),D(xD,0)(xD>0),因?yàn)閨FA|=|FD|,則|xD-1|=x0+1,由x0>0得xD=x0+2,故D(x0+2,0),故直線l的斜率為k=-,因?yàn)橹本€l2和直線AB平行,故可設(shè)直線l2的方程為y=-x+b,代入拋物線方程得y2+·y-=0,由題意知Δ=+=0,得b=-,則=0.設(shè)E(xE,yE),則yE=-,xE=,當(dāng)≠4時(shí),kAE==,可得直線AE的方程y-y0=·(x-x0),由=4x0,整理可得y=(x-1),所以直線AE恒過點(diǎn)F(1,0),當(dāng)=4時(shí),直線AE的方程為x=1,過點(diǎn)F(1,0),所以直線AE恒過定點(diǎn)F(1,0).思路分析　(1)根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可知A點(diǎn)橫坐標(biāo)為FD的中點(diǎn)的橫坐標(biāo),列出方程組解出p.(2)根據(jù)|FA|=|FD|列方程得出A,D橫坐標(biāo)的關(guān)系,從而得出l的斜率,設(shè)l2的方程,代入拋物線方程,由判別式Δ=0得出l2的截距與A點(diǎn)坐標(biāo)的關(guān)系,求出E點(diǎn)坐標(biāo),得出AE的方程,根據(jù)方程特點(diǎn)判斷定點(diǎn)坐標(biāo).19.(12分)(2018湖北武漢4月調(diào)研,19)已知橢圓Γ:+=1,過點(diǎn)P(1,1)作傾斜角互補(bǔ)的兩條不同直線l1,l2,設(shè)l1與橢圓Γ交于A、B兩點(diǎn),l2與橢圓Γ交于C,D兩點(diǎn).(1)若P(1,1)為線段AB的中點(diǎn),求直線AB的方程;(2)若直線l1與l2的斜率都存在,記λ=,求λ的取值范圍.解析　(1)解法一(點(diǎn)差法):由題意可知直線AB的斜率存在. 設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則兩式作差得=-×=-×=-,∴直線AB的方程為y-1=-(x-1),即x+2y-3=0.解法二:由題意可知直線AB的斜率存在.設(shè)直線AB的斜率為k,則其方程為y-1=k(x-1),代入x2+2y2=4中,得x2+2[kx-(k-1)]2-4=0.∴(1+2k2)x2-4k(k-1)x+2(k-1)2-4=0.Δ=[-4(k-1)k]2-4(2k2+1)[2(k-1)2-4]=8(3k2+2k+1)>0.設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則∵AB的中點(diǎn)為(1,1),∴(x1+x2)==1,則k=-.∴直線AB的方程為y-1=-(x-1),即x+2y-3=0.(2)由(1)可知|AB|=|x1-x2|=·=.設(shè)直線CD的方程為y-1=-k(x-1)(k≠0).同理可得|CD|=.∴λ==(k≠0),λ>0. ∴λ2=1+=1+.令t=3k+,則t∈(-∞,-2]∪[2,+∞),令g(t)=1+,t∈(-∞,-2]∪[2,+∞),∵g(t)在(-∞,-2],[2,+∞)上單調(diào)遞減,∴2-≤g(t)<1或1b>0)的右焦點(diǎn)為F(1,0),M為橢圓的上頂點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn),且△OMF是等腰直角三角形.(1)求橢圓的方程;(2)是否存在直線l交橢圓于P,Q兩點(diǎn),且使點(diǎn)F為△PQM的垂心(即三角形的三條高線的交點(diǎn))?若存在,求出直線l的方程;若不存在,請說明理由.解析　本題考查橢圓的幾何性質(zhì)與標(biāo)準(zhǔn)方程、直線與橢圓的位置關(guān)系,圓錐曲線的存在性問題, 考查學(xué)生分析問題、解決問題的能力,體現(xiàn)邏輯推理與數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).(1)由右焦點(diǎn)F(1,0)得c=1,由△OMF是等腰直角三角形,得b=c=1,則a=b=,故橢圓的方程為+y2=1.(2)存在.假設(shè)存在直線l交橢圓于P,Q兩點(diǎn),且F為△PQM的垂心,設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2),因?yàn)镸(0,1),F(1,0),所以kMF=-1,因?yàn)镕為△PQM的垂心,所以MF⊥PQ,故kPQ=1,設(shè)直線l的方程為y=x+m,由得3x2+4mx+2m2-2=0,由Δ>0,得m2<3,且x1+x2=-,x1x2=,由題意應(yīng)有·=0,又=(x1,y1-1),=(x2-1,y2),故x1(x2-1)+y2(y1-1)=0,得x1(x2-1)+(x2+m)(x1+m-1)=0,即2x1x2+(x1+x2)(m-1)+m2-m=0,整理得2×-m(m-1)+m2-m=0,解得m=-或m=1,經(jīng)檢驗(yàn),當(dāng)m=1時(shí),△PQM不存在,故舍去m=1,當(dāng)m=-時(shí),所求直線l存在,且直線l的方程為y=x-.思路分析　(1)由右焦點(diǎn)F(1,0)得c=1,由△OMF是等腰直角三角形,得b=c=1,a=b=,即可得到橢圓方程;(2)假設(shè)存在直線l交橢圓于P,Q兩點(diǎn),且F為△PQM的垂心,設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2),由題意可設(shè)直 線l的方程為y=x+m,代入橢圓方程,運(yùn)用根與系數(shù)的關(guān)系,結(jié)合垂心的定義和向量垂直的條件,化簡整理計(jì)算即可得到所求直線方程.