模塊卷(二)時(shí)間:110分鐘　分值:140分三角函數(shù)、向量、數(shù)列一、選擇題:本題共12小題每小題5分,共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.(2020陜西合陽(yáng)中學(xué)9月月考,4)函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)的部分圖象如圖所示,則φ=(　　)A.　　B.　　C.-　　D.-答案　B　根據(jù)題圖得A=2,=-=,∴T=π,∴=π,又ω>0,∴ω=2.∴f(x)=2sin(2x+φ).將代入得2sin=0,∴+φ=kπ(k∈Z),即φ=kπ-(k∈Z),又|φ|<,∴φ=,故選B.2.(2020寧夏興慶月考,4)已知數(shù)列{an}滿足an+1=an+2n,a1=1,則a15=(　　)A.111　　B.211　　C.311　　D.411答案　B　數(shù)列{an}滿足an+1=an+2n,則n≥2時(shí),an-an-1=2(n-1),an-1-an-2=2(n-2),……,a3-a2=2×2,a2-a1=2×1,∴an-a1=2(1+2+3+…+n-1)(n≥2), ∴an=2(1+2+3+…+n-1)+1=2×+1=n2-n+1(n≥2).當(dāng)n=1時(shí),a1=1也符合上式,∴an=n2-n+1(n∈N*).則a15=152-15+1=211.故選B.3.(2019江西吉安期末,5)已知tan(-2019π+θ)=-2,則2sinsin=(　　)A.-2　　B.　　C.　　D.答案　B　∵tan(-2019π+θ)=-2,∴tanθ=-2.則2sinsin=(sinθ-cosθ)(sinθ+cosθ)=sin2θ-cos2θ+(-1)sinθcosθ====.故選B.方法總結(jié)　同角三角函數(shù)基本關(guān)系的應(yīng)用技巧:(1)弦切互化:利用公式tanα=實(shí)現(xiàn)角α的弦切互化;(2)和(差)積轉(zhuǎn)換:利用(sinα±cosα)2=1±2sinαcosα進(jìn)行變形、轉(zhuǎn)化;(3)巧用“1”的變換:1=sin2α+cos2α=cos2α(tan2α+1)=sin2α=tan. 4.(2018吉林第一次調(diào)研,7)已知α,β為銳角,且cosα=,cos(α+β)=-,則cosβ=(　　)A.-　　B.-　　C.　　D.答案　C　∵α為銳角,cosα=,∴sinα=,∵α,β∈,∴α+β∈(0,π),又∵cos(α+β)=-,∴sin(α+β)=.∴cosβ=cos[(α+β)-α]=cos(α+β)cosα+sin(α+β)sinα=-×+×=,故選C.5.(2019廣東東莞第二次調(diào)研,8)將函數(shù)f(x)=cos2x的圖象向右平移個(gè)單位后得到函數(shù)g(x)的圖象,則g(x)(　　)A.周期為π,最大值為1,圖象關(guān)于直線x=對(duì)稱,為奇函數(shù)B.周期為π,最大值為1,圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱,為奇函數(shù)C.周期為π,最大值為1,在上單調(diào)遞減,為奇函數(shù)D.周期為π,最大值為1,在上單調(diào)遞增,為奇函數(shù)答案　D　將函數(shù)f(x)=cos2x的圖象向右平移個(gè)單位后得到函數(shù)g(x)=cos=sin2x的圖象,則函數(shù)g(x)的周期為π,最大值為1,在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,并且為奇函數(shù), 其圖象關(guān)于直線x=+(k∈Z)對(duì)稱,關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱,結(jié)合四個(gè)選項(xiàng)知選D.6.(2018陜西延安黃陵中學(xué)(重點(diǎn)班)第一次大檢測(cè),10)已知公比不為1的等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且滿足a2,2a5,3a8成等差數(shù)列,則=(　　)A.　　B.　　C.　　D.答案　C　設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q(q≠1),∵a2,2a5,3a8成等差數(shù)列,∴4a5=a2+3a8,即4a1q4=a1q+3a1q7,3q6-4q3+1=0,解得q3=或q3=1(舍去),∴===,故選C.7.(2018河南商丘第二次模擬,6)已知數(shù)列{an}滿足a1=1,an+1-an≥2(n∈N*),且Sn為{an}的前n項(xiàng)和,則(　　)A.an≥2n+1　　B.Sn≥n2C.an≥2n-1　　D.Sn≥2n-1答案　B　由題意得a2-a1≥2,a3-a2≥2,a4-a3≥2,……,an-an-1≥2(n≥2),∴a2-a1+a3-a2+a4-a3+…+an-an-1≥2(n-1)(n≥2),∴an-a1≥2(n-1)(n≥2),又∵a1=1,∴an≥2n-1(n≥2),又a1=1適合上式,∴an≥2n-1(n∈N*).∴a1≥1,a2≥3,a3≥5,……,an≥2n-1,∴a1+a2+a3+…+an≥1+3+5+…+2n-1,∴Sn≥=n2.故選B. 8.(2020廣西桂林十八中8月月考,6)已知向量a,b滿足|a|=,|b|=1,且|b+a|=2,則向量a與b的夾角的余弦值為(　　)A.　　B.　　C.　　D.答案　D　由|b+a|=2得(b+a)2=4,即a2+2a·b+b2=4.又∵|a|=,|b|=1,∴2+2a·b+1=4,解得a·b=.設(shè)向量a與b的夾角為θ,則有cosθ====,故選D.9.(2020福建莆田一中摸底,6)如圖,在平行四邊形ABCD中,AC與BD交于點(diǎn)O,E是線段OD的中點(diǎn),AE的延長(zhǎng)線與CD交于點(diǎn)F,若=a,=b,則=(　　)A.a+b　　B.a+bC.a+b　　D.a+b答案　C　∵=a,=b,∴=+=+=a+b.∵E是OD的中點(diǎn),∴=,∴|DF|=|AB|,∴==(-)=×=a-b,∴=+=a+b+a-b=a+b,故選C.10.(2020湖北漢陽(yáng)模擬,8)若M為△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn),且滿足(-)·(+-2)=0,則△ABC為(　　)A.直角三角形　　B.一般等腰三角形C.等邊三角形　　D.等腰直角三角形答案　B　由(-)·(+-2)=0,可知·(+)=0,設(shè)BC的中點(diǎn)為D,則+=2,故·=0,所以CB⊥AD,又∵D是BC的中點(diǎn),∴△ABC為等腰三角形,由已知條 件得不到直角或等邊關(guān)系,故△ABC為一般等腰三角形.故選B.11.(2018安徽師大附中二模,7)在△ABC中,AB=2AC=6,·=,點(diǎn)P是△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn),則當(dāng)++取得最小值時(shí),·=(　　)A.　　B.-　　C.9　　D.-9答案　D　∵·=||·||·cos∠ABC=||2,∴||·cos∠ABC=||=6,∴⊥,即∠BAC=,以A為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的坐標(biāo)系,則B(6,0),C(0,3),設(shè)P(x,y),x,y∈R,則++=x2+y2+(x-6)2+y2+x2+(y-3)2=3x2-12x+3y2-6y+45=3[(x-2)2+(y-1)2+10],∵x,y∈R,∴當(dāng)x=2,y=1時(shí),++取得最小值,此時(shí)·=(2,1)·(-6,3)=-9,故選D.12.(2019浙江金麗衢聯(lián)考,10)數(shù)列{an}滿足:a1=1,an+1=an+,則a2018的值所在區(qū)間為(　　)A.(0,100)　　B.(100,200)C.(200,300)　　D.(300,+∞)答案　A　由an+1=an+,得an+1-an=.又a1=1,所以數(shù)列{an}是遞增的,即an≥1.因?yàn)?=++2,即-=+2≤3,所以-≤3,-≤3,-≤3,……,-≤3,上面各式相加,得-≤3×2017,所以a2018≤<=100,故選A.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分.13.(2020河南、河北兩省9月聯(lián)考,14)若sin=,α∈(0,π),則tanα=　　　　.?答案　-或-解析　∵sin=,∴(sinα-cosα)=,即sinα-cosα=①,兩邊平方得1-2sinα·cosα=,∴2sinα·cosα=-.∴(sinα+cosα)2=1+2sinα·cosα=,∴sinα+cosα=±②,由①②解得或∴tanα==-或-.14.(2020山西康杰中學(xué)等四校9月聯(lián)考,16)在△ABC中,內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,S為△ABC的面積,sin(A+C)=,且A,B,C成等差數(shù)列,則C的大小為　　　　.?答案　 解析　在△ABC中,由A,B,C成等差數(shù)列,可得2B=A+C,又知A+B+C=π,∴B=.由sin(A+C)=得sinB=,又sinB≠0,則b2-c2=ac①.∵B=,∴b2=a2+c2-2accosB=a2+c2-ac②.由①②得a=2c,b=c,∴cosC===.又∵C∈(0,π),∴C=.15.在平行四邊形ABCD中,AD=1,∠BAD=60°,E為CD的中點(diǎn).若·=1,則AB的長(zhǎng)為　　　　.?答案　解析　解法一:由題意可知,=+,=-+.因?yàn)椤?1,所以(+)·=1,即+·-=1.①因?yàn)閨|=1,∠BAD=60°,所以·=||,因此①式可化為1+||-||2=1.解得||=0(舍去)或||=,所以AB的長(zhǎng)為. 解法二:以A為原點(diǎn),AB所在直線為x軸建立如圖所示的直角坐標(biāo)系,過(guò)D作DM⊥AB于點(diǎn)M.由AD=1,∠BAD=60°,可知AM=,DM=,∴D.設(shè)||=m(m>0),則B(m,0),C,因?yàn)镋是CD的中點(diǎn),所以E.所以=,=.由·=1可得+=1,即2m2-m=0,所以m=0(舍去)或m=.故AB的長(zhǎng)為.16.(2018廣東佛山教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)(二),16)數(shù)列{an}滿足a1+3a2+…+(2n-1)an=3-,n∈N*,則a1+a2+…+an=　　　　.?答案　1-解析　因?yàn)閍1+3a2+…+(2n-1)an=3-,所以a1+3a2+…+(2n-3)an-1=3-(n≥2), 兩式相減得(2n-1)an=(n≥2),∴an=(n≥2).當(dāng)n=1時(shí),a1=3-=,適合上式,∴an=(n∈N*).因此a1+a2+…+an==1-.三、解答題:共60分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明,證明過(guò)程或演算步驟.17.(12分)(2020豫北六校對(duì)抗賽,17)已知|a|=4,|b|=3,(2a-3b)·(2a-b)=43.(1)求a與b的夾角θ;(2)求|a+b|;(3)若(a-b)⊥(a+λb),求實(shí)數(shù)λ的值.解析　(1)∵(2a-3b)·(2a-b)=4a2-8a·b+3b2=43,|a|=4,|b|=3,∴64-8×4×3cosθ+27=43,∴cosθ=.∵θ∈[0,π],∴θ=.(2)由(1)得|a+b|====.(3)∵(a-b)⊥(a+λb),∴(a-b)·(a+λb)=0,∴(a-b)·(a+λb)=a2+λa·b-a·b-λb2=0,即42+λ×4×3×-4×3×-9λ=0,∴3λ=10,∴λ=.18.(12分)(2019安徽合肥第一次教學(xué)質(zhì)量檢測(cè),17)已知函數(shù)f(x)=cos2x+sin.(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期; (2)若α∈,f(α)=,求cos2α.解析　(1)∵f(x)=cos2x+sin2x-cos2x=sin2x+cos2x=sin,∴函數(shù)f(x)的最小正周期T=π.(2)由f(α)=可得,sin=.∵α∈,∴2α+∈.又∵00,∴數(shù)列{Sn}單調(diào)遞增,則Sn≥S1=,∴對(duì)任意n∈N*,都有≤Sn<.21.(12分)(2019浙江紹興數(shù)學(xué)調(diào)測(cè),20)已知數(shù)列{an}是公差為2的等差數(shù)列,且a1,a5+1,a23+1成等比數(shù)列.數(shù)列{bn}滿足:b1+b2+…+bn=2n+1-2.(1)求數(shù)列{an},{bn}的通項(xiàng)公式;(2)令數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和為Tn,且cn=若對(duì)n∈N*,T2n≥T2k恒成立,求正整數(shù)k的值.解析　(1)由已知得=a1(a23+1),即=a1·(a1+45),所以a1=3,所以an=2n+1.當(dāng)n=1時(shí),b1=2,當(dāng)n≥2時(shí),bn=2n+1-2n=2n,又b1=2適合上式,所以bn=2n(n∈N*).(2)因?yàn)門2n=++…+-=-=-+, 所以T2n+2-T2n===.設(shè)dn=,則dn+1-dn=-=<0恒成立,因此d1>d2>d3>d4>…,由于d1>1,d2>1,d3>1,d4<1,……,因此T4-T2<0,T6-T4<0,T8-T6<0,T10-T8>0,所以{T2n}中T8最小,所以k的值為4.