第四章曲線運動第4講萬有引力定律以及應用【教學目標】1、了解開普勒對行星運動的描述；2、掌握萬有引力定律的內(nèi)容、公式和適用范圍；3、能熟練解析萬有引力定律在天文學上的應用問題【重、難點】1、天體運動的向心力是由萬有引力提供的；2、天體質(zhì)量和密度的估算【知識梳理】（1）所有行星繞太陽運行的軌道都是橢圓。（）（2）行星在橢圓軌道上運行速率是變化的，離太陽越遠，運行速率越大。（）（3）只有天體之間才存在萬有引力。（）18 （4）只要知道兩個物體的質(zhì)量和兩個物體之間的距離，就可以由F＝G計算物體間的萬有引力。（）（5）地面上的物體所受地球的引力方向一定指向地心。（）（6）兩物體間的距離趨近于零時，萬有引力趨近于無窮大。（）（1）德國天文學家開普勒提出天體運動的開普勒三大定律。（2）總結了前人的科研成果，在此基礎上，經(jīng)過研究得出了萬有引力定律。（3）英國物理學家利用扭秤實驗裝置比較準確地測出了引力常量，因此被人們稱為“能稱出地球質(zhì)量的人”考點一開普勒行星運動定律與萬有引力定律例1、關于行星運動的規(guī)律，下列說法符合史實的是(　　)A．開普勒在牛頓定律的基礎上，導出了行星運動的規(guī)律B．開普勒在天文觀測數(shù)據(jù)的基礎上，總結出了行星運動的規(guī)律C．開普勒總結出了行星運動的規(guī)律，找出了行星按照這些規(guī)律運動的原因D．開普勒總結出了行星運動的規(guī)律，發(fā)現(xiàn)了萬有引力定律變式1、火星和木星沿各自的橢圓軌道繞太陽運行，根據(jù)開普勒行星運動定律可知(　　)A．太陽位于木星運行軌道的中心B．火星和木星繞太陽運行速度的大小始終相等C．火星與木星公轉(zhuǎn)周期之比的平方等于它們軌道半長軸之比的立方D．相同時間內(nèi)，火星與太陽連線掃過的面積等于木星與太陽連線掃過的面積變式2、北斗衛(wèi)星導航系統(tǒng)（BDS）是中國自行研制的全球衛(wèi)星導航系統(tǒng)，該系統(tǒng)由35顆衛(wèi)星組成，衛(wèi)星的軌道有三種：地球同步軌道、中軌道和傾斜軌道。其中，同步軌道半徑大約是中軌道半徑的18 1.5倍，那么同步衛(wèi)星與中軌道衛(wèi)星的周期之比約為(　　)A．　　　　　　　　B．C．D．（1）行星繞太陽的運動通常按圓軌道處理。（2）開普勒行星運動定律也適用于其他天體，例如月球、衛(wèi)星繞地球的運動。（3）開普勒第三定律＝k中，k值只與中心天體的質(zhì)量有關，不同的中心天體k值不同?？键c二萬有引力的“兩點理解”1．兩物體相互作用的萬有引力是一對作用力和反作用力．2．地球上的物體受到的重力只是萬有引力的一個分力．如圖所示，地球?qū)ξ矬w的萬有引力F表現(xiàn)為兩個效果：一是重力mg，二是提供物體隨地球自轉(zhuǎn)的向心力F向．（1）在赤道上：G＝mg1＋mω2R（2）在兩極上：G＝mg218 （3）在一般位置：萬有引力G等于重力mg與向心力F向的矢量和．綜上所述重力大?。簝蓚€極點處最大，等于萬有引力；赤道上最小，其他地方介于兩者之間，但差別很小。重力方向：在赤道上和兩極點的時候指向地心，其他地方都不指向地心，但與萬有引力的夾角很小。由于地球自轉(zhuǎn)緩慢，物體需要的向心力很小，所以大量的近似計算中忽略了自轉(zhuǎn)的影響，在此基礎上就有：地球表面處物體所受到的地球引力近似等于其重力，即≈mg說明：由于地球自轉(zhuǎn)的影響，從赤道到兩極，重力的變化為千分之五；地面到地心的距離每增加一千米，重力減少不到萬分之三，所以，在近似的計算中，認為重力和萬有引力相等例2、設地球自轉(zhuǎn)周期為T，質(zhì)量為M，引力常量為G，假設地球可視為質(zhì)量均勻分布的球體，半徑為R。同一物體在南極和赤道水平面上靜止時所受到的支持力之比為（）A．B．C．D．考點三萬有引力的三種計算思路1．用萬有引力定律計算質(zhì)點間的萬有引力公式F＝G適用于質(zhì)點、均勻介質(zhì)球體或球殼之間萬有引力的計算。當兩物體為勻質(zhì)球體或球殼時，可以認為勻質(zhì)球體或球殼的質(zhì)量集中于球心，r為兩球心的距離，引力的方向沿兩球心的連線。例3、（多選）如圖所示，三顆質(zhì)量均為m的地球同步衛(wèi)星等間隔分布在半徑為r的圓軌道上，設地球質(zhì)量為M，半徑為R。下列說法正確的是(　　)18 A．地球?qū)σ活w衛(wèi)星的引力大小為B．一顆衛(wèi)星對地球的引力大小為C．兩顆衛(wèi)星之間的引力大小為D．三顆衛(wèi)星對地球引力的合力大小為2．用萬有引力定律的兩個推論計算萬有引力推論Ⅰ：在勻質(zhì)球殼的空腔內(nèi)任意位置處，質(zhì)點受到球殼的萬有引力的合力為零；推論Ⅱ：如圖所示，在勻質(zhì)球體內(nèi)部距離球心r處的質(zhì)點（m）受到的萬有引力等于球體內(nèi)半徑為r的同心球體（M′）對它的引力，即F＝G。例4、如圖所示，有人設想要“打穿地球”從中國建立一條通過地心的光滑隧道直達巴西。若只考慮物體間的萬有引力，則從隧道口拋下一物體，物體的加速度(　　)A．一直增大　　　B．一直減小C．先增大后減小D．先減小后增大3．填補法求解萬有引力運用“填補法”解題的關鍵是緊扣萬有引力定律的適用條件，先填補后運算，運用“填補法”解題主要體現(xiàn)了思想。18 例5、如圖所示，有一個質(zhì)量為M，半徑為R，密度均勻的大球體。從中挖去一個半徑為的小球體，并在空腔中心放置一質(zhì)量為m的質(zhì)點，則大球體的剩余部分對該質(zhì)點的萬有引力大小為（已知質(zhì)量分布均勻的球殼對殼內(nèi)物體的引力為零）(　　)A．G　　　　　　　　B．0C．4GD．G（1）萬有引力定律只適用于求質(zhì)點間的萬有引力。（2）在質(zhì)量分布均勻的實心球中挖去小球后其質(zhì)量分布不再均勻，不可再隨意視為質(zhì)點處理。（3）可以采用先填補后運算的方法計算萬有引力大小?？键c四萬有引力定律在天文學上的應用1．解決天體（衛(wèi)星）運動問題的基本思路[（1）天體運動的向心力來源于天體之間的萬有引力，即：G＝man＝m＝mω2r＝m（2）在中心天體表面或附近時，萬有引力近似等于重力，即G＝mg（g表示天體表面的重力加速度）．（3）GM＝gR2稱為黃金代換公式。例6、火星探測項目是我國繼神舟載人航天工程、嫦娥探月工程之后又一個重大太空探索項目。假設火星探測器在火星表面附近圓形軌道運行周期為T1，神州飛船在地球表面附近圓形軌道運行周期為T2，火星質(zhì)量與地球質(zhì)量之比為p，火星半徑與地球半徑之比為q，則T1、T2之比為（）A．B．C．D．變式3、（多選18 ）已知地球半徑為R，地球表面的重力加速度為g，地球自轉(zhuǎn)周期為T，地球同步衛(wèi)星離地面的高度為h，則地球同步衛(wèi)星的線速度的大小可以表示為（）A．B．C．D．2．天體質(zhì)量M、密度ρ的估算（1）“自力更生”法（g－R）：利用天體表面的重力加速度g和天體半徑R由于：G＝mg，故天體質(zhì)量：M＝，天體密度：ρ＝==；（2）“借助外援”法（T－r）：通過觀察衛(wèi)星繞天體做勻速圓周運動的周期T和軌道半徑r①由萬有引力等于向心力，即G＝mr，得出中心天體質(zhì)量：M＝；②若已知天體半徑R，則天體的平均密度：ρ＝==；③若天體的衛(wèi)星在天體表面附近環(huán)繞天體運動，可認為其軌道半徑r等于天體半徑R，則天體密度ρ＝?？梢姡灰獪y出衛(wèi)星環(huán)繞天體表面運動的，就可估算出中心天體的密度．例7、過去幾千年來，人類對行星的認識與研究僅限于太陽系內(nèi)，行星“51pegb”的發(fā)現(xiàn)拉開了研究太陽系外行星的序幕．“51pegb”繞其中心恒星做勻速圓周運動，周期約為4天，軌道半徑約為地球繞太陽運動半徑的，該中心恒星與太陽的質(zhì)量比約為（　?。〢．B．1C．5D．10例8、假設地球可視為質(zhì)量均勻分布的球體，已知地球表面的重力加速度在兩極的大小為g0，在赤道的大小為g；地球自轉(zhuǎn)的周期為T，引力常數(shù)為G，則地球的密度為（）A．B．C．D．變式4、一衛(wèi)星繞某一行星表面附近做勻速圓周運動，其線速度大小為v。假設宇航員在該行星表面上用彈簧測力計測量一質(zhì)量為m的物體重力，物體靜止時，彈簧測力計的示數(shù)為N。已知引力常量為G，則這顆行星的質(zhì)量為（　?。?8 A．B．C．D．變式5、（多選）公元2100年，航天員準備登陸木星，為了更準確了解木星的一些信息，到木星之前做一些科學實驗，當?shù)竭_與木星表面相對靜止時，航天員對木星表面發(fā)射一束激光，經(jīng)過時間t，收到激光傳回的信號，測得相鄰兩次看到日出的時間間隔是T，測得航天員所在航天器的速度為v，已知引力常量G，激光的速度為c，則（　?。〢．木星的質(zhì)量M＝B．木星的質(zhì)量M＝C．木星的質(zhì)量M＝D．根據(jù)題目所給條件，可以求出木星的密度一、估算天體質(zhì)量和密度時應注意的問題1．利用萬有引力提供天體做圓周運動的向心力估算天體質(zhì)量時，估算的只是中心天體的質(zhì)量，并非環(huán)繞天體的質(zhì)量．2．區(qū)別天體半徑R和衛(wèi)星軌道半徑r，只有在天體表面附近的衛(wèi)星才有r≈R；計算天體密度時，V＝πR3中的R只能是中心天體的半徑．考點五天體表面的重力加速度問題重力只是萬有引力的一個分力，另一個分力提供物體隨地球自轉(zhuǎn)做圓周運動的向心力，但由于向心力很小，一般情況下認為重力等于萬有引力，即mg＝，這樣重力加速度就與行星質(zhì)量、半徑聯(lián)系在一起，高考也多次在此命題。1．求天體表面的重力加速度例9、某行星的半徑是地球半徑的3倍，質(zhì)量是地球質(zhì)量的36倍。則該行星表面的重力加速度是地球表面的重力加速度的（　）A．4倍　　B．6倍　　C．1/4倍　D．12倍變式6、一名宇航員來到某星上，此星的密度為地球的一半，半徑也為地球的一半，則他受到的“重力”為在地球上所受重力的（　）18 A．1/4　　B．1/2C．2倍　　D．4倍2．求天體表面某深度處的重力加速度例10、假設地球是一半徑為R，質(zhì)量分布均勻的球體。一礦井深度為d。已知質(zhì)量分布均勻的球殼對殼內(nèi)物體的引力為零。礦井底部和地面處的重力加速度大小之比為（）A．1－B．1+C．D．3．求天體表面某高度處的重力加速度例11、由中國科學院、中國工程院兩院院士評出的2012年中國十大科技進展新聞，于2013年1月19日揭曉，“神九”載人飛船與“天宮一號”成功對接和“蛟龍”號下潛突破7000米分別排在第一、第二．若地球半徑為R，把地球看做質(zhì)量分布均勻的球體．“蛟龍”下潛深度為d，“天宮一號”軌道距離地面高度為h，已知質(zhì)量分布均勻的球殼對殼內(nèi)物體的引力為零。則“蛟龍”號所在處與“天宮一號”所在處的加速度之比為（　?。〢．B．C．D．4．天體表面重力加速度與拋體運動的綜合例12、（2015·海南高考）若在某行星和地球上相對于各自的水平地面附近相同的高度處、以相同的速率平拋一物體，它們在水平方向運動的距離之比為2∶。已知該行星質(zhì)量約為地球的7倍，地球的半徑為R。由此可知，該行星的半徑約為(　　)A．RB．RC．2RD．R【能力展示】【小試牛刀】1．如圖所示，質(zhì)量為m1和m2的兩個物體用細線相連，在大小恒定的拉力F作用下，先沿光滑水平面，再沿光滑斜面，最后豎直向上運動．在三個階段的運動中，線上拉力的大小（　?。?8 A．由大變小B．由小變大C．始終不變D．由大變小再變大2．宇宙飛船進入一個圍繞太陽的近乎圓形的軌道運動，如果軌道半徑是地球軌道半徑的9倍，那么宇宙飛船繞太陽運行的周期是（）A．3年B．81年C．9年D．27年3．某行星的衛(wèi)星，在靠近行星的軌道上運動，若要計算行星的密度，唯一要測量出的物理是（）A．行星的半徑B．衛(wèi)星的半徑C．衛(wèi)星運行的線速度D．衛(wèi)星運行的周期4．（多選）探測器探測到土星外層上有一個環(huán)。為了判斷它是土星的一部分還是土星的衛(wèi)星群，可以測量環(huán)中各層的線速度v與該層到土星中心的距離R之間的關系來確定（）A．若v∝R，則該環(huán)是土星的一部分B．若v2∝R，則該環(huán)是土星的衛(wèi)星群C．若v∝1/R，則該環(huán)是土星的一部分D．若v2∝1/R，則該環(huán)是土星的衛(wèi)星群5．一物體靜止在平均密度為ρ的球形天體表面的赤道上。已知萬有引力常量G，若由于天體自轉(zhuǎn)使物體對天體表面壓力恰好為零，則天體自轉(zhuǎn)周期為（）A．　　　　B．　　　　C．　　　D．6．（多選）設想人類開發(fā)月球，不斷地把月球上的礦藏搬運到地球上．假如經(jīng)過長時間開采后，地球仍可看成均勻球體，月球仍沿開采前的圓軌道運動則與開采前比較（）A．地球與月球間的萬有引力將變大B．地球與月球間的萬有引力將減小C．月球繞地球運動的周期將變長D．月球繞地球運動的周期將變短7．（多選）某人造航天器在月球表面上空繞月球做勻速圓周運動，經(jīng)過時間t（t小于航天器的繞行周期），航天器運動的弧長為s，航天器與月球的中心連線掃過的角度為θ，引力常量為G，則(　　)A．航天器的軌道半徑為　　B．航天器的環(huán)繞周期為C．月球的質(zhì)量為D．月球的密度為8．宇航員站在某一星球距表面h高度處，以某一速度沿水平方向拋出一個小球，經(jīng)過時間t18 后小球落到星球表面，已知該星球的半徑為R，引力常量為G，則該星球的質(zhì)量為(　　)A．B．C．D．9．（多選）宇航員在地球表面以一定初速度豎直上拋一小球，經(jīng)過時間t小球落回原地。若他在某星球表面以相同的初速度豎直上拋同一小球，需經(jīng)過時間5t小球落回原處。已知該星球的半徑與地球半徑之比為R星∶R地＝1∶4，地球表面重力加速度為g，設該星球表面附近的重力加速度為g′，空氣阻力不計。則(　　)A．g′∶g＝5∶2B．g′∶g＝1∶5C．M星∶M地＝1∶20D．M星∶M地＝1∶8010．科幻大片《星際穿越》是基于知名理論物理學家基普·索恩的黑洞理論，加入人物和相關情節(jié)改編而成的。電影中的黑洞花費三十名研究人員將近一年的時間，用數(shù)千臺計算機精確模擬才得以實現(xiàn)，讓我們看到了迄今最真實的黑洞模樣。若某黑洞的半徑R約為45km，質(zhì)量M和半徑R的關系滿足＝（其中c＝3×108m/s，G為引力常量），則該黑洞表面的重力加速度大約為(　　)A．108m/s2　　　　　　B．1010m/s2C．1012m/s2D．1014m/s211．（多選）設地球半徑為R，質(zhì)量為m的衛(wèi)星在距地面R高處做勻速圓周運動，地面的重力加速度為g，則（）A．衛(wèi)星的線速度為B．衛(wèi)星的角速度為C．衛(wèi)星的加速度為D．衛(wèi)星的周期為212．（多選）如圖所示，在繞地運行的天宮一號實驗艙中，宇航員王亞平將支架固定在桌面上，擺軸末端用細繩連接一小球．拉直細繩并給小球一個垂直細繩的初速度，它做圓周運動．在a、b兩點時，設小球動能分別為Eka、Ekb，細繩拉力大小分別為Ta、Tb，阻力不計，則（）18 18 A．Eka>EkbB．Eka=EkbC．Ta>TbD．Ta=Tb13．有一星球的密度跟地球密度相同，但它表面處的重力加速度是地球表面處重力加速度的4倍，則該星球的質(zhì)量是地球質(zhì)量的（忽略其自轉(zhuǎn)影響）(　　)A．B．4倍C．16倍D．64倍【大顯身手】14．據(jù)報道，天文學家新發(fā)現(xiàn)了太陽系外的一顆行星。這顆行星的體積是地球的a倍，質(zhì)量是地球的b倍。已知近地衛(wèi)星繞地球運動的周期約為T，引力常量為G。則該行星的平均密度為(　　)A．B．C．D．15．已知一質(zhì)量為m的物體靜止在北極與赤道對地面的壓力差為ΔN，假設地球是質(zhì)量分布均勻的球體，半徑為R。則地球的自轉(zhuǎn)周期為(　　)A．T＝2πB．T＝2πC．T＝2πD．T＝2π16．（多選）如圖所示，甲、乙、丙是位于同一直線上的離其它恒星較遠的三顆恒星，甲、丙圍繞乙在半徑為R的圓軌道上運行，若三顆星質(zhì)量均為M，萬有引力常量為G，則（）18 18 A．甲星所受合外力為B．乙星所受合外力為C．甲星和丙星的線速度相同D．甲星和丙星的角速度相同17．（多選）（2017·西安模擬）歐洲航天局的第一枚月球探測器——“智能1號”環(huán)繞月球沿橢圓軌道運動，用m表示它的質(zhì)量，h表示它近月點的高度，ω表示它在近月點的角速度，a表示它在近月點的加速度，R表示月球的半徑，g表示月球表面處的重力加速度。忽略其他星球?qū)Α爸悄?號”的影響，則它在近月點所受月球?qū)λ娜f有引力的大小等于(　　)A．m(R＋h)ω2　　　　　　B．mC．maD．m18．（多選）如圖所示，飛行器P繞某星球做勻速圓周運動，星球相對飛行器的張角為θ，下列說法正確的是（）18 θP18 A．軌道半徑越大，周期越長B．若測得周期和軌道半徑，可得到星球的平均密度C．軌道半徑越大，速度越大D．若測得周期和張角，可得到星球的平均密度19．（多選）在某行星表面以不太大的初速度v0豎直上拋一物體，測得物體由拋出到返回到拋出點所用的時間為t，該行星的半徑為R，萬有引力恒量為G，則下列敘述正確的（）A．該行星表面的重力加速度g＝B．該行星的質(zhì)量為M＝C．該行星的密度ρ＝D．該行星的第一宇宙速度v＝20．我國航天事業(yè)取得了突飛猛進地發(fā)展，航天技術位于世界前列。在航天控制中心對其正上方某衛(wèi)星測控時，測得從發(fā)送“操作指令”到接收到衛(wèi)星“已操作”的信息需要的時間為2t（設衛(wèi)星接收到“操作指令”后立即操作，并立即發(fā)送“已操作”的信息到控制中心），測得該衛(wèi)星運行周期為T，地球半徑為R，電磁波的傳播速度為c，由此可以求出地球的質(zhì)量為(　　)A．　　　　　　B．C．D．第4講萬有引力定律以及應用答案例1、B變式1、C變式2、C例2、B例3、BC例4、D例5、D例6、D變式3、BC例7、B例8、B變式4、B變式5、B例9、A變式6、A例10、A例11、C例12、C【能力展示】1、C2、D3、D4、AD5、D6、BD7、BC8、B9、BD10、C11、AC12、BD13、D14、C15．B16．AD17、BC18、AD19、BD20、B18 18