專題突破練18　概率、隨機變量及其分布一、單項選擇題1.(2021·湖南師大附中月考)電視機的使用壽命與顯像管開關的次數有關.某品牌的電視機的顯像管開關了10000次還能繼續(xù)使用的概率是0.8,開關了15000次后還能繼續(xù)使用的概率是0.6,則已經開關了10000次的電視機顯像管還能繼續(xù)使用到15000次的概率是(　　)　　　　　　　　　　　　　　A.0.20B.0.48C.0.60D.0.752.(2021·江蘇泰州考前模擬)馬林·梅森(MarinMersenne,1588—1648)是17世紀法國數學家.他在歐幾里得、費馬等人研究的基礎上深入地研究了2p-1型的數.人們?yōu)榧o念梅森在數論方面的這一貢獻,將形如2p-1(其中p是素數)的素數,稱為梅森素數.在不超過20的素數中,隨機選取兩個不同的數,至少有一個為梅森素數的概率是(　　)A.B.C.D.3.(2021·新高考Ⅰ,8)有6個相同的球,分別標有數字1,2,3,4,5,6,從中有放回的隨機取兩次,每次取1個球.甲表示事件“第一次取出的球的數字是1”,乙表示事件“第二次取出的球的數字是2”,丙表示事件“兩次取出的球的數字之和是8”,丁表示事件“兩次取出的球的數字之和是7”,則(　　)A.甲與丙相互獨立B.甲與丁相互獨立C.乙與丙相互獨立D.丙與丁相互獨立二、填空題4.為研究如何提高大氣污染監(jiān)控預警能力,某學校興趣小組的成員設計了一套大氣污染檢測預警系統.該系統設置了三個控制元件,三個元件T1,T2,T3正常工作的概率分別為,將T2,T3兩個元件并聯后再和T1串聯接入電路,如圖所示,則該預警系統的可靠性是　　　　　.?5.(2021·河北衡水模擬)已知甲、乙、丙三位選手參加某次射擊比賽,比賽規(guī)則如下:①每場比賽有兩位選手參加,并決出勝負;②每場比賽獲勝的選手與未參加此場比賽的選手進行下一場的比賽;③在比賽中,若有一位選手首先獲勝兩場,則本次比賽結束,該選手獲得此次射擊比賽第一名.若在每場比賽中,甲勝乙的概率為,甲勝丙的概率為,乙勝丙的概率為,且甲與乙先參加比賽,則甲獲得第一名的概率為　　　　　.?三、解答題6.(2021·江蘇新高考基地學校聯考)陽澄湖大閘蟹又名金爪蟹,產于江蘇蘇州,蟹身青殼白肚,體大膘肥,肉質膏膩,營養(yǎng)豐富,深受消費者喜愛.某水產品超市購進一批重量為100千克的陽澄湖大閘蟹,隨機抽取了50只統計其重量,得到的結果如下表所示:規(guī)格中蟹大蟹特大蟹重量(單位:克)[160,180)[180,200)[200,220)[220,240)[240,260)[260,280]數量(單位:只)32152073(1)試用組中值來估計該批大閘蟹有多少只?(所得結果四舍五入保留整數)(2)某顧客從抽取的10只特大蟹中隨機購買了4只,記重量在區(qū)間[260,280]內的大閘蟹數量為X,求X的概率分布列和數學期望. 7.(2021·福建漳州模擬)隨著5G通信技術的發(fā)展成熟,移動互聯網短視頻變得越來越普及,人們也越來越熱衷于通過短視頻獲取資訊和學習成長.某短視頻創(chuàng)作平臺,為了鼓勵短視頻創(chuàng)作者生產出更多高質量的短視頻,會對創(chuàng)作者上傳的短視頻進行審核,通過審核后的短視頻,會對用戶進行重點的分發(fā)推薦.短視頻創(chuàng)作者上傳一條短視頻后,先由短視頻創(chuàng)作平臺的智能機器人進行第一階段審核,短視頻審核通過的概率為,通過智能機器人審核后,進入第二階段的人工審核,人工審核部門會隨機分配3名員工對該條短視頻進行審核,同一條短視頻每名員工審核通過的概率均為,若該視頻獲得2名或者2名以上員工審核通過,則該短視頻獲得重點分發(fā)推薦.(1)某創(chuàng)作者上傳一條短視頻,求該短視頻獲得重點分發(fā)推薦的概率;(2)若某創(chuàng)作者一次性上傳3條短視頻作品,求其獲得重點分發(fā)推薦的短視頻個數的分布列與數學期望.專題突破練18　概率、隨機變量及其分布1.D　解析:記事件A:電視機的顯像管開關了10000次還能繼續(xù)使用,記事件B:電視機的顯像管開關了15000次后還能繼續(xù)使用,則P(AB)=0.6,P(A)=0.8,所以,已經開關了10000次的電視機顯像管還能繼續(xù)使用到15000次的概率為P(B|A)==0.75.2.C　解析:可知不超過20的素數有2,3,5,7,11,13,17,19,共8個,其中梅森素數有3,7,共2個,則在不超過20的素數中,隨機選取兩個不同的數共有=28種,其中至少有一個為梅森素數有=13種,所以至少有一個為梅森素數的概率是P=3.B　解析:由已知得P(甲)=,P(乙)=,P(丙)=,P(丁)=,P(甲丙)=0,P(甲丁)=,P(乙丙)=,P(丙丁)=0.由于P(甲丁)=P(甲)·P(丁)=,根據相互獨立事件的性質,知事件甲與丁相互獨立,故選B.4　解析:T2,T3并聯電路正常工作概率為1-1-,故電路不發(fā)生故障的概率為5　解析:因為每場比賽中,甲勝乙的概率為,甲勝丙的概率為,乙勝丙的概率為,所以甲選手獲勝的概率是P(A)=6.解(1)50只大閘蟹的平均重量為(170×3+190×2+210×15+230×20+250×7+270×3)=224,所以水產品超市購進的100千克大閘蟹只數約為100000÷224≈446.(2)X的可能取值為0,1,2,3,概率分別為:P(X=0)=,P(X=1)=,P(X=2)=,P(X=3)=分布列為: X0123P所以E(X)=0+1+2+37.解(1)設“該短視頻獲得重點分發(fā)推薦”為事件A,則P(A)==(2)設其獲得重點分發(fā)推薦的短視頻個數為隨機變量X,X可取0,1,2,3.則X~B,P(X=0)=,P(X=1)=,P(X=2)=,P(X=3)=,隨機變量X的分布列如下:X0123PE(X)=0+1+2+3