專題突破練21　圓錐曲線的定義、方程與性質(zhì)一、單項選擇題1.(2021·湖北華中師大一附中月考)已知拋物線y=mx2(m>0)上的點(x0,2)到該拋物線焦點F的距離為,則m的值為(　　)　　　　　　　　　　　　　　A.1B.2C.D.2.(2021·四川成都七中月考)雙曲線=1(a,b>0)的一條漸近線方程為x-2y=0,則其離心率為(　　)A.B.C.D.3.(2021·新高考Ⅰ,5)已知F1,F2是橢圓C:=1的兩個焦點,點M在C上,則|MF1|·|MF2|的最大值為(　　)A.13B.12C.9D.64.(2021·貴州貴陽期末)過拋物線y2=4x的焦點的直線與拋物線交于A,B兩點,若AB的中點的縱坐標(biāo)為2,則|AB|等于(　　)A.4B.6C.8D.105.(2021·廣東佛山二模)已知雙曲線C:=1(a>0,b>0)的離心率等于2,F1,F2分別是雙曲線的左、右焦點,A為雙曲線的右頂點,P在雙曲線的漸近線上且PF1⊥PF2,若△PAF1的面積為3a,則雙曲線的虛軸長等于(　　)A.B.2C.2D.4二、多項選擇題6.(2021·江蘇南通適應(yīng)性聯(lián)考)已知Rt△ABC中有一個內(nèi)角為,如果雙曲線E以A,B為焦點,并經(jīng)過點C,則該雙曲線的離心率可能是(　　)A.+1B.2C.D.2+7.(2021·廣東佛山模擬)已知雙曲線C:9x2-16y2=144的左、右焦點分別為F1,F2,點P為C上的一點,且|PF1|=6,則下列說法正確的是(　　)A.雙曲線的離心率為B.雙曲線的漸近線方程為3x±4y=0C.△PF1F2的周長為30D.點P在橢圓=1上8.(2021·湖南衡陽高三一模)已知拋物線C:x2=2py(p>0),過其準(zhǔn)線上的點T(1,-1)作C的兩條切線,切點分別為A,B,下列說法正確的是(　　)A.p=1B.TA⊥TBC.直線AB的斜率為D.線段AB中點的橫坐標(biāo)為19.(2021·山東青島三模)已知曲線C:=1,F1,F2分別為曲線C的左、右焦點,則下列說法正確的是(　　)A.若m=-3,則曲線C的兩條漸近線所成的銳角為B.若曲線C的離心率e=2,則m=-27C.若m=3,則曲線C上不存在點P,使得∠F1PF2=D.若m=3,P為C上一個動點,則△PF1F2面積的最大值為3三、填空題10.(2021·江蘇南通一模)已知拋物線C:y=x2上的點M到焦點的距離為5,則點M到y(tǒng)軸的距離為　　　　　.?11.(2021·湖南永州高三二模)已知O為坐標(biāo)原點,雙曲線C:=1(a>0,b>0)的離心率為,從雙曲線 C的右焦點F引漸近線的垂線,垂足為A,若△AFO的面積為,則雙曲線C的方程為　　　　　.?12.(2021·湖南懷化模擬)已知橢圓E:=1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1,F2,過坐標(biāo)原點的直線交E于P,Q兩點,且PF2⊥F2Q,且a2,|PF2|+|F2Q|=4,則E的標(biāo)準(zhǔn)方程為　　　　　　　　　　.?13.(2021·湖南岳陽高三一模)設(shè)橢圓=1(a>b>0)的焦點為F1,F2,P是橢圓上一點,且∠F1PF2=,若△F1PF2的外接圓和內(nèi)切圓的半徑分別為R,r,當(dāng)R=4r時,橢圓的離心率為　　　　　.?14.(2021·福建廈門外國語學(xué)校月考)點P在橢圓C1:=1上,C1的右焦點為F,點Q在圓C2:x2+y2+6x-8y+21=0上,則|PQ|-|PF|的最小值為　　　　　.?專題突破練21　圓錐曲線的定義、方程與性質(zhì)1.B　解析:由題意,知拋物線y=mx2(m>0)的準(zhǔn)線方程為y=-,根據(jù)拋物線的定義,可得點(x0,2)到焦點F的距離等于到準(zhǔn)線y=-的距離,可得2+,解得m=2.2.D　解析:因為=1(a>0,b>0)的一條漸近線方程為x-2y=0,所以故,解得,所以e=3.C　解析:由題意知|MF1|+|MF2|=2a=6,則=3,則|MF1|·|MF2|≤9,當(dāng)且僅當(dāng)|MF1|=|MF2|=3時,等號成立.故|MF1|·|MF2|的最大值為9.4.C　解析:拋物線y2=4x的焦點坐標(biāo)為F(1,0),準(zhǔn)線方程l:x=-1.設(shè)AB的中點為M,過A,B,M作準(zhǔn)線l的垂線,垂足分別為C,D,N,則MN為梯形ABDC的中位線,|AB|=|AF|+|BF|=|AC|+|BD|=2|MN|=2(x0+1).直線AB過拋物線的焦點F,顯然直線AB的斜率存在且不為0,可設(shè)直線AB的方程為x=my+1(m為常數(shù)),代入拋物線的方程,消去x并整理,得y2-4my-4=0.設(shè)A,B的縱坐標(biāo)分別為y1,y2,線段AB的中點M(x0,y0),則y0==2m=2,解得m=1.直線AB的方程為x=y+1,x0=y0+1=2+1=3,|AB|=2×(3+1)=8.5.D　解析:如圖,雙曲線C:=1(a>0,b>0)的離心率等于2,e==2,① 設(shè)F1,F2分別是雙曲線的左、右焦點,雙曲線在第一、三象限的漸近線的斜率為,②A為雙曲線的右頂點,P在雙曲線的漸近線上,且PF1⊥PF2,所以P(a,b),△PAF1的面積為3a,可得(a+c)·b=3a,③解①②③,可得b=2,所以C的虛軸長等于4.6.ACD　解析:當(dāng)∠C=時,e=;當(dāng)∠B=時,e=+1;當(dāng)∠A=時,e=+2.7.BCD　解析:雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為=1,a=4,b=3,則c=5,離心率e=,A錯誤;漸近線方程為=0,即3x±4y=0,B正確;|PF1|=6<2a=8,P在左支上,|PF2|=6+8=14,△PF1F2的周長為30,C正確;|PF1|+|PF2|=20,因此P在橢圓=1(此橢圓是以F1,F2為焦點,長軸長為20的橢圓)上,D正確.8.BCD　解析:易知拋物線的準(zhǔn)線方程為y=-1,∴p=2,C:x2=4y,故選項A不正確;設(shè)過點T的直線方程為y+1=k(x-1),即y=kx-k-1,代入y=,得-kx+k+1=0,當(dāng)直線y=kx-k-1與C相切時,有Δ=0,即k2-k-1=0,設(shè)TA,TB的斜率分別為k1,k2,易知k1,k2是方程k2-k-1=0的兩個根,因為k1k2=-1,所以TA⊥TB,故選項B正確;設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),其中y1=,y2=,又y'=,則TA:y-(x-x1),即y=x-y1,代入點(1,-1),得x1-2y1+2=0,同理可得x2-2y2+2=0,所以AB:x-2y+2=0,kAB=,故選項C正確;由kAB=,得=1,即AB中點的橫坐標(biāo)為1,故選項D正確.9.ABD　解析:對于A選項,當(dāng)m=-3時,曲線C:=1表示焦點在x軸上的雙曲線,漸近線方程為y=±x,故漸近線的傾斜角分別為,所以曲線C的兩條漸近線所成的銳角為,故A選項正確;對于B選項,離心率e=2,則曲線C為焦點在x軸上的雙曲線,a=3,e=2,故c=6,所以-m=c2-a2=36-9=27,所以m=-27,故B選項正確;對于C選項,若m=3,則曲線C:=1表示焦點在x軸上的橢圓,此時a2=9,b2=3,c2=6.設(shè)橢圓C的短軸的一個頂點坐標(biāo)為M(0,),則cos∠F1MF2==-<0,故∠F1MF2為鈍角,所以曲線C上存在點P,使得∠F1PF2=,故C選項錯誤;對于D選項,若m=3,則曲線C:=1表示焦點在x軸上的橢圓,此時a2=9,b2=3,c2=6,P為C上一個動點,則△PF1F2面積的最大值為Smax=2c×b=2=3,故D選項正確.10.2　解析:拋物線C的方程可化為x2=8y.設(shè)M(x0,y0),因為點M到焦點的距離為5,所以點M到準(zhǔn)線y=-2的距離為5,從而y0=3.將y0=3代入x2=8y,可得|x0|=2,所以點M到y(tǒng)軸的距離為211=1　解析: 如圖所示,雙曲線的一條漸近線OA的方程為bx-ay=0,則|AF|==b,所以|OA|=a.所以S△AFO=ab=,ab=2①又e=,②c2=a2+b2,③所以由①②③得a=,b=2,故雙曲線方程為=1.12=1　解析:如圖所示,連接PF1,QF1,因為OP=OQ,OF1=OF2,所以四邊形PF1QF2是平行四邊形,所以PF1=QF2,PF2=QF1,又因為PF2⊥F2Q,所以平行四邊形PF1QF2是矩形.設(shè)PF1=m,PF2=n,由題意得解得則b2=a2-c2=2,故E的標(biāo)準(zhǔn)方程為=1.13　解析:橢圓的焦點為F1(-c,0),F2(c,0),|F1F2|=2c,在△F1PF2中,由正弦定理得2R=c,解得R=c,r=R=c.設(shè)|PF1|=m,|PF2|=n,在△F1PF2中,由余弦定理得4c2=m2+n2-2mncos=(m+n)2-3mn,解得mn=,所以mnsin,又(m+n+2c)r=,所以,又a+c>0,整理得a=c,即e=14.2-6　解析:記橢圓C1:=1的左焦點為E(-1,0),由橢圓的定義可得,|PE|+|PF|=2a=4,所以|PQ|-|PF|=|PQ|+|PE|-4.由x2+y2+6x-8y+21=0,得(x+3)2+(y-4)2=4,即圓C2的圓心為(-3,4),半徑為r=2,作出圖形如下:由圓的性質(zhì)可得,|PQ|≥|PC2|-r=|PC2|-2,|PQ|-|PF|=|PQ|+|PE|-4≥|PC2|+|PE|-6≥|EC2|-6=-6=2-6(當(dāng)且僅當(dāng)C2,Q,P,E四點共線時,等號成立).