08利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)能成立恒成立問題【2022屆新高考一模試題分類匯編】一、解答題1．（2022·全國·高二課時練習(xí)）在①在定義域內(nèi)單調(diào)遞減，②當(dāng)時，恒成立這兩個條件中任選一個，補充在下面的橫線上，并解答.已知函數(shù)，.(1)若___________，求實數(shù)的取值范圍；(2)函數(shù)，其中為的導(dǎo)函數(shù)，求的最值.【解析】(1)若選①，的定義域為，因為在上單調(diào)遞減，所以在上恒成立.因為，所以，即在上恒成立.令，其中，則，令，得.當(dāng)時，；當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，所以，即的取值范圍為；若選②，因為當(dāng)時，恒成立，所以，即在上恒成立.令，則，令，得.當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，所以，所以的取值范圍為.(2)解：因為，所以.令，則，所以在上單調(diào)遞減，且，所以當(dāng)時，；當(dāng)時，.所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，試卷第11頁，共11頁學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司,故，無最小值.2．（2019·黑龍江·雞西實驗中學(xué)高三階段練習(xí)（理））設(shè)為實數(shù)，函數(shù)，.(1)求的極值；(2)對于，，都有，試求實數(shù)的取值范圍.【解析】(1)解：函數(shù)的定義域為，，令，可得或，列表如下：增極大值減極小值增故函數(shù)的極大值為，極小值為.(2)解：對于，，都有，則.由（1）可知，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故當(dāng)時，，因為，且，則且不恒為零，故函數(shù)在上單調(diào)遞增，故，由題意可得，故.3．（2022·黑龍江·哈爾濱三中一模（文））已知函數(shù)．(1)若是函數(shù)的極值點，求實數(shù)a的值；(2)若對任意的恒成立，其中是的導(dǎo)函數(shù)，求a能取到的最大正整數(shù)值．【解析】(1)，因為是函數(shù)的極值點，所以，即，解得，則，令，則，當(dāng)時，，所以函數(shù)在上遞減，即函數(shù)在上遞減，又，試卷第11頁，共11頁學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司,則當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以是函數(shù)的極值點，所以；(2)，則對任意的恒成立，令，則，因為，所以，當(dāng)時，，所以函數(shù)在上遞增，所以恒成立，所以，當(dāng)時，時，，時，，所以在上遞減，在上遞增，所以，因為對任意的恒成立，所以恒成立，令，則在上恒成立，所以函數(shù)在上遞減，又，，所以使成立的最大整數(shù)為7，綜上所述，a能取到的最大正整數(shù)值為7.4．（2022·山西呂梁·高三開學(xué)考試（理））已知函數(shù)，.(1)若在點處的切線與在點處的切線互相平行，求實數(shù)的值；(2)若對，恒成立，求實數(shù)的取值范圍.【解析】(1)由題意，函數(shù)，可得，所以，試卷第11頁，共11頁學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司,又由函數(shù)，可得，所以，因為在點處的切線與在點處的切線互相平行，可得，又因為，所以.(2)由得，即，即，設(shè)，則，，由，設(shè)，可得，所以時，，單調(diào)遞減；當(dāng)時，，單調(diào)遞增，所以，所以在上單調(diào)遞增，所以對恒成立，即對恒成立，設(shè)，則，當(dāng)時，，單調(diào)遞增；當(dāng)時，，單調(diào)遞減，所以，故，所以實數(shù)的取值范圍為.5．（2022·四川·高三階段練習(xí)（理））已知函數(shù)的圖象經(jīng)過坐標(biāo)原點，且．(1)當(dāng)時，討論的單調(diào)性；(2)若，，求的取值范圍．【解析】(1)由題意，得，因為，所以．當(dāng)時，，的定義域為，．當(dāng)時，，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，，在上單調(diào)遞增．試卷第11頁，共11頁學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司,(2)若，即，等價于，即等價于．設(shè)，則，當(dāng)時，，則在上單調(diào)遞減，因為當(dāng)且時，，，由，得，所以當(dāng)時，恒成立．因此，，即，即當(dāng)時，，即恒成立．，因為，所以在上單調(diào)遞增，又因為，且，所以當(dāng)時，，即，解得，故的取值范圍是．6．（2022·江蘇揚州·高二開學(xué)考試）已知函數(shù).(1)若函數(shù)的最大值為，求實數(shù)的值；(2)若不等式在上恒成立，求實數(shù)的取值范圍.【解析】(1)的定義域為，且.①若，則在上遞增，此時，不合題意，舍去.②若，則在上遞增，在上遞減.所以，令，得.綜上得：.(2)因為不等式在上恒成立，所以不等式在上恒成立.令，則，試卷第11頁，共11頁學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司,令，則，所以在上遞減.①若，則，即，所以在上遞減，所以符合題意.［注：也可以通過，得到］②若，則，，，［注：“取點”方法不唯一，例如］又，在上單調(diào)遞減，所以存在唯一實數(shù)，使得.當(dāng)時，，即，所以在上遞增，所以，不合題意.綜上，實數(shù)的取值范圍是.7．（2022·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù).(1)當(dāng)時，討論的單調(diào)性.(2)是否存在實數(shù)a，使得當(dāng)時，恒成立？若存在，求出實數(shù)a的取值范圍；若不存在，請說明理由.【解析】(1)由題知，①若，則，當(dāng)或時，，當(dāng)時，，在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；②若，則，，在上單調(diào)遞增；③若，則，當(dāng)或時，，當(dāng)時，，在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.綜上所述，當(dāng)時，在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.(2)設(shè)，則，試卷第11頁，共11頁學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司,設(shè)，則，設(shè)，則，在上單調(diào)遞增，，在上單調(diào)遞增，，當(dāng)時，，在上單調(diào)遞增，.當(dāng)時，，令，則，所以在上單調(diào)遞增，所以，所以，所以，設(shè)，易知在上單調(diào)遞增，，即，∴存在，使，當(dāng)時，，在上單調(diào)遞減，此時，，不符合題意綜上，存在實數(shù)a，使得當(dāng)時，恒成立，且實數(shù)a的取值范圍為.8．（2022·廣東汕頭·一模）已知函數(shù)（且為常數(shù)）.(1)討論函數(shù)的極值點個數(shù)；(2)若對任意的恒成立，求實數(shù)的取值范圍.【解析】(1)函數(shù)的定義域為，則.令，則，由，可得，列表如下：減極小值增試卷第11頁，共11頁學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司,所以，.①當(dāng)時，即當(dāng)時，對任意的，且不恒為零，此時函數(shù)在上單調(diào)遞增，則函數(shù)無極值點；②當(dāng)時，令，則，由，可得，列表如下：減極小值增且當(dāng)時，；當(dāng)時，.作出函數(shù)與函數(shù)的圖象如下圖所示：（i）當(dāng)時，直線與函數(shù)的圖象有兩個交點，設(shè)這兩個交點的橫坐標(biāo)分別為、，且，由圖可知，當(dāng)或時，；當(dāng)時，.此時，函數(shù)有個極值點；（ii）當(dāng)時，由圖可知，直線與函數(shù)的圖象有一個交點，設(shè)其橫坐標(biāo)為，且，試卷第11頁，共11頁學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司,當(dāng)時，；當(dāng)時，.此時函數(shù)只有個極值點.綜上所述，當(dāng)時，函數(shù)無極值點；當(dāng)時，函數(shù)有個極值點；當(dāng)時，函數(shù)只有個極值點.(2)解：不等式對任意的恒成立，等價于對任意的恒成立，所以，對任意的恒成立，令，其中，則，令，其中，則對任意的恒成立，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞增，因為，，故存在，使得，當(dāng)時，，此時函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時，，此時函數(shù)單調(diào)遞增，所以，，因為，則，因為，則，因為函數(shù)在上單調(diào)遞增，由可得，故，可得，試卷第11頁，共11頁學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司,所以，，故.9．（2022·山東濟寧·一模）已知函數(shù)（且）.(1)當(dāng)時，求曲線在點處的切線方程；(2)若不等式對任意恒成立，求實數(shù)a的取值范圍.【解析】(1)當(dāng)時，，，所以，，所以曲線在點處的切線方程為，即.(2)因為①當(dāng)時，與恒成立矛盾，不合題意.②當(dāng)時，，在上單調(diào)遞減.因為，，所以，使得，即.所以，當(dāng)時，，單調(diào)遞增；當(dāng)時，，單調(diào)遞減.所以.因為，所以.所以，即，解得.因為，所以設(shè)，.則，所以在上單調(diào)遞增.所以，即.所以.10．（2022·山東·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，.(1)若，求的單調(diào)區(qū)間；試卷第11頁，共11頁學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司,(2)若關(guān)于x的不等式恒成立，求實數(shù)a的取值范圍.【解析】(1)當(dāng)時，，則.當(dāng)時，因為，且，所以，所以，單調(diào)遞減.當(dāng)時，因為，且，所以，所以，單調(diào)遞增.所以當(dāng)時，的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為.(2)恒成立等價于恒成立，令，則.①當(dāng)時，在區(qū)間上恒成立，符合題意；②當(dāng)時，，令，，即在上單調(diào)遞增，，則存在，使得，此時，即，則當(dāng)時，，單調(diào)遞減；當(dāng)時，，單調(diào)遞增.所以.令，得.因為，所以.綜上，實數(shù)a的取值范圍為.試卷第11頁，共11頁學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司