07導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用【2022屆新高考一模試題分類匯編】一、解答題1．（2022·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，.(1)討論的單調(diào)性；(2)若，求證：.【解析】(1)因為，所以①若，則，所以當(dāng)時，，單調(diào)遞減，當(dāng)時，，單調(diào)遞增②若，則，所以當(dāng)時，，單調(diào)遞減，當(dāng)或時，，單調(diào)遞增；③若，則，在上單調(diào)遞增；④若，則，所以當(dāng)時，，單調(diào)遞減，當(dāng)或時，，單調(diào)遞增.綜上，當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增；當(dāng)時，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增.(2)因為，所以，即，設(shè)則，易知在上單調(diào)遞增試卷第8頁，共8頁學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司,因為，所以，所以存在，使得所以，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增所以設(shè)，則，在上單調(diào)遞增，所以所以，即.2．（2022·四川瀘州·二模（文））已知函數(shù).(1)求證：；(2)若函數(shù)無零點，求a的取值范圍.【解析】(1)，則當(dāng)時，，當(dāng)時，，故在上為增函數(shù)，在上減函數(shù)，故即.(2)，故，當(dāng)時，在定義域上無零點;當(dāng)時，，故，所以當(dāng)時，，當(dāng)時，，故在上為增函數(shù)，在上減函數(shù)，因為函數(shù)無零點，故，即；當(dāng)時，因為，所以，即，所以在定義域上無零點.綜上，的取值范圍是.3．（2022·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，其中.試卷第8頁，共8頁學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司,(1)討論的單調(diào)性；(2)若在區(qū)間內(nèi)恒成立，求實數(shù)a的取值范圍.【解析】(1)的定義域為，.當(dāng)時，，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，由，有，此時，當(dāng)時，，單調(diào)遞減；當(dāng)時，，單調(diào)遞增.綜上，當(dāng)時，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.(2)原不等式等價于在上恒成立.令，則只需在上恒大于0即可.又∵，故在處必大于等于0.令，，可得.當(dāng)時，，∴當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，∴，故也在上單調(diào)遞增，∴，即在上恒大于0.綜上，.4．（2022·四川·眉山市彭山區(qū)第一中學(xué)模擬預(yù)測（文））已知函數(shù)．(1)當(dāng)時，求曲線在點處的切線方程；(2)若，求a的取值范圍．試卷第8頁，共8頁學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司,【解析】(1)時，，則，則切線斜率，又，所以切線方程為．(2)令，則原函數(shù)等價轉(zhuǎn)化為，其中，則，①當(dāng)時，，則在上單調(diào)遞減，符合題意．②當(dāng)時，，則在上單調(diào)遞減，不妨設(shè)，則，不滿足，舍去；③當(dāng)時，由得，且在上單調(diào)遞減，若，則，單增；若，則，單減，所以，令，則，可知，時，則，單減；時，則，單增．又時，，符合題意，又時，注意到，由得，綜上所述，a的取值范圍是．5．（2022·陜西武功·二模（文））已知函數(shù)（且）.(1)求曲線在點處的切線方程；(2)討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.【解析】(1)∵，∴，∴，又，∴.∴所求切線方程為.(2)由題意知，函數(shù)的定義域為，由（1）知，∴，易知，試卷第8頁，共8頁學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司,①當(dāng)時，令，得或；令，得.②當(dāng)時，，令，得；令，得或.③當(dāng)時，.④當(dāng)時，，令，得；令，得或.綜上，當(dāng)時，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為，；當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為，；當(dāng)時，函數(shù)函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，，單調(diào)遞減區(qū)間為.6．（2022·安徽六安·一模（文））已知函數(shù)，.(1)討論的單調(diào)性；(2)若時，恒成立，求的取值范圍.【解析】(1)的定義域為，當(dāng)時，恒成立，所以在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，令，解得：，所以在上單調(diào)遞增；令，解得：，所以在上單調(diào)遞減；綜上所述：當(dāng)時，在上單調(diào)遞減.當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；(2)設(shè)，則有當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，所以滿足題意；當(dāng)時，，且，使時，單調(diào)遞減，使得不合題意.的取值范圍為.7．（2022·河南焦作·一模（文））已知函數(shù)，．(1)若是的極值點，求曲線在處的切線方程；試卷第8頁，共8頁學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司,(2)證明：當(dāng)時，．【解析】(1)由題意得：，，因為是的極值點，所以，所以．所以，又，所以曲線在處的切線方程為．(2)因為，則，所以，設(shè)，則，該函數(shù)為定義域上的增函數(shù)，且x=1時，函數(shù)值為零.故當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以，故，即．8．（2022·河南·模擬預(yù)測（理））已知函數(shù)．(1)討論的單調(diào)性；(2)若，求證：當(dāng)時，．【解析】(1)的定義域為R，，當(dāng)時，，則在R上為增函數(shù)；當(dāng)時，，當(dāng)時，；當(dāng)時，，所以在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)．(2)由及，得．設(shè)，則．設(shè)，則，當(dāng)時，；當(dāng)時，，所以在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，所以是的極小值點，也是的最小值點，因為，，所以，又，所以存在，使得，試卷第8頁，共8頁學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司,所以當(dāng)時，；當(dāng)時，，所以在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，所以為的極大值，為的極小值，因為，所以當(dāng)時，（當(dāng)且僅當(dāng)時取等號），故當(dāng)時，．9．（2022·海南·模擬預(yù)測）已知函數(shù).(1)求在區(qū)間上的最大值和最小值；(2)設(shè)，若當(dāng)時，，求實數(shù)a的取值范圍.【解析】(1)解：由條件得，當(dāng)時，有，，，所以，即在上單調(diào)遞減，因此在區(qū)間上的最大值為，最小值為.(2)解：由題意得，所以，若，當(dāng)時，有，所以在上單調(diào)遞增，所以，符合題意.若，令，則，當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞減.又因為，，所以在上存在一個零點，當(dāng)時，，即，所以單調(diào)遞減，此時，不符合題意.試卷第8頁，共8頁學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司,綜上可知，a的取值范圍是.10．（2022·安徽馬鞍山·一模（文））已知函數(shù)（為自然對數(shù)的底數(shù)）．(1)若時，求的單調(diào)區(qū)間；(2)設(shè)，若對任意，均存在，使得，求實數(shù)的取值范圍．【解析】(1)若時，，則，令，得，令，得，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.(2)由題意可知，即求成立的的取值范圍，因為，，所以，所以（當(dāng)且僅當(dāng)時取等號），即，即求對任意成立的的取值范圍，當(dāng)時，，此時在上單調(diào)遞增，且有，不滿足；當(dāng)時，易知，顯然成立；當(dāng)時，令，得，令，得，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，所以，解得，所以實數(shù)的取值范圍為．試卷第8頁，共8頁學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司