奇偶數(shù)列【2022屆新高考一模試題分類匯編】一、解答題1．（2022·山東淄博·一模）已知數(shù)列滿足：，且．設(shè)．(1)證明：數(shù)列為等比數(shù)列，并求出的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前2n項(xiàng)和．【解析】(1)由題意可知：，，故，即，故是以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列，且，故(2)由（1）知，,即，由題意知：，故，故數(shù)列的前2n項(xiàng)和.2．（2022·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）在①，；②，；③，這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下列問(wèn)題中的橫線上，并解答．已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，______，數(shù)列是公比為2的等比數(shù)列，且．(1)求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；(2)數(shù)列，的所有項(xiàng)按照“當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，放在前面；當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，放在前面”的要求進(jìn)行“交叉排列”，得到一個(gè)新數(shù)列；，，，，，，，，…，求數(shù)列的前項(xiàng)和．【解析】(1)設(shè)等差數(shù)列的公差為d，選擇①，，可知，所以．,又，所以數(shù)列的公差，所以；選擇②，，可知，，則所以；選擇③，，可知，則所以．又因?yàn)?，所以?shù)列的通項(xiàng)公式為．(2)由題意3．（2022·全國(guó)·高三階段練習(xí)（理））已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式以及前n項(xiàng)和；(2)若，求數(shù)列的前2n－1項(xiàng)和.【解析】(1)依題意，，則，故，解得d＝2，∴，故，.(2)依題意，得，故，,故4．（2021·江蘇鹽城·高三階段練習(xí)）在①；②；這兩個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問(wèn)題中，并完成問(wèn)題的解答.問(wèn)題：已知數(shù)列是等比數(shù)列，且，其中，，成等差數(shù)列.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)記，求數(shù)列的前2n項(xiàng)和.注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.【解析】(1)數(shù)列是等比數(shù)列，故設(shè)其公比為，因?yàn)?，其中，，成等差?shù)列，則，則，解得（舍）或，故.(2)若①記，則，，，，故；若②記，即當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，；為偶數(shù)時(shí)，；故.綜上所述：若記，；若記，.,5．（2022·安徽·安慶一中高三期末（理））已知數(shù)列滿足，.(1)記，求證：數(shù)列為等比數(shù)列；(2)求的前項(xiàng)和.【解析】(1)依題意，因，則，于是得，而，則，所以是首項(xiàng)為6，公比為2的等比數(shù)列.(2)由(1)知，，則，記數(shù)列的前n項(xiàng)和為，則，因，則，從而有因此，，所以的前項(xiàng)和.6．（2022·湖南常德·高三期末）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且．(1)求，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若數(shù)列滿足：，求數(shù)列前20項(xiàng)的和．【解析】(1)由題可知，，解得.在中令,得,解得；∵①,∴②,由①－②得：，即,∴．∴數(shù)列是首項(xiàng)與公差都為2的等差數(shù)列,∴.(2)題可知，當(dāng)時(shí)，,∴.當(dāng)時(shí)，,,∴,∴.7．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）設(shè)是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，公比大于0，已知，，．(1)求和的通項(xiàng)公式．(2)設(shè)數(shù)列滿足，求．【解析】(1)設(shè)等差數(shù)列的公差為,等比數(shù)列的公比為,則.由題意,得,解得：,故,.(2)，記①，則②②-①得所以8．（2022·山東煙臺(tái)·高三期末）已知數(shù)列滿足，．(1)記，證明：數(shù)列為等比數(shù)列，并求的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前2n項(xiàng)和．【解析】(1)依題意，，,而，所以數(shù)列是以1為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，，.(2)由(1)知，，則有，又，則，于是有，因此，，所以.9．（2022·江蘇蘇州·高三期末）若數(shù)列滿足（，是不等于的常數(shù)）對(duì)任意恒成立，則稱是周期為，周期公差為的“類周期等差數(shù)列”．已知在數(shù)列中，，．(1)求證：是周期為的“類周期等差數(shù)列”，并求的值；(2)若數(shù)列滿足，求的前項(xiàng)和．【解析】(1)由，，相減得，所以周期為，周期公差為的“類周期等差數(shù)列”，由，，得，所以．(2)由，，得，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，；當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，．綜上所述，10．（2022·天津·耀華中學(xué)高二期末）已知為等差數(shù)列，為等比數(shù)列，，，.(1)求和的通項(xiàng)公式；,(2)記的前n項(xiàng)和為，求的最小值；(3)設(shè)求數(shù)列的前2n項(xiàng)和.【解析】(1)設(shè)等差數(shù)列的公差為，等比數(shù)列的公比為，因?yàn)?，，，所以，，解得，，所以?2)由（1）可得，則，因?yàn)楹瘮?shù)在上遞減，在是遞增，又因?yàn)椋援?dāng)時(shí)，取得最小值，(3)當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，對(duì)任意的正整數(shù)，有，所以，所以,，所以數(shù)列的前2n項(xiàng)和為