全等三角形中的輔助線做法及常見題型1．如圖，在中，，．是的中點(diǎn)，且，點(diǎn)在上，點(diǎn)在上（1）求證：；（2）若，求四邊形的面積．【詳解】（1）證明：，，是等腰直角三角形，，為中點(diǎn)，，平分，．．，，，， 在和中，，，．（2），，∴S四邊形CEDF，是的中點(diǎn)，．∴S四邊形CEDF=1．2．如圖，中，點(diǎn)D在邊上，且．（1）求證：；（2）點(diǎn)E在邊上，連接交于點(diǎn)F，且，，求的度數(shù)．（3）在（2）的條件下，若，的周長等于30，求的長．【詳解】（1）證明：∵∠BDC＝90°＋∠ABD，∠BDC=∠ABD+∠A， ∴∠A＝90°－∠ABD．∵∠BDC＋∠BDA＝180°，∴∠BDA＝180°－∠BDC＝90°－∠ABD．∴∠A＝∠BDA＝90°－∠ABD．∴DB＝AB．解：（2）如圖1，作CH＝BE，連接DH，∵∠AFD＝∠ABC，∠AFD＝∠ABD＋∠BAE，∠ABC＝∠ABD＋∠DBC，∴∠BAE＝∠DBC．∵由（1）知，∠BAD＝∠BDA，又∵∠EAC＝∠BAD－∠BAE，∠C＝∠ADB－∠DBC，∴∠CAE＝∠C．∴AE＝CE．∵BE＝CH，∴BE＋EH＝CH＋EH．即BH＝CE＝AE． ∵AB＝BD，∴△BDH≌△ABE．∴BE＝DH．∵BE＝CD，∴CH＝DH＝CD．∴△DCH為等邊三角形．∴∠ACB＝60°．（3）如圖2，過點(diǎn)A作AO⊥CE，垂足為O．∵DH∥AE，∴∠CAE＝∠CDH＝60°，∠AEC＝∠DHC＝60°．∴△ACE是等邊三角形．設(shè)AC＝CE＝AE＝x，則BE＝16－x，∵DH∥AE，∴△BFE∽△BDH．∴． ∴，．∵△ABF的周長等于30，即AB＋BF＋AF＝AB＋＋x－=30，解得AB＝16－．在Rt△ACO中，AC＝，AO＝，∴BO＝16－．在Rt△ABO中，AO2＋BO2＝AB2，即．解得（舍去）．∴AC＝．∴AF＝11．3．已知：在和中，，．（1）如圖①，若①求證：．②求證：的度數(shù)． 圖①（2）如圖②，若，的大小為______（直接寫出結(jié)果，不證明）．圖②【詳解】解:（1）①，，，在和中，，，．②，， ，，；（2）如圖②，同理可得：，．，，，．．故答案為：，．4．如圖，在中，于點(diǎn)，，點(diǎn)是線段上一點(diǎn)，且，連接交于點(diǎn)．（1）求證：；（2）若，，求的周長．【詳解】 解：（1）證明：∵AD⊥BC，∴∠ADC=∠ADB=90°，在△ACD和△BED中，∴△ACD≌△BED（SAS），∴∠DAC=∠CBF；（2）∵AD⊥BC，AD=BD=3，∴∵∠DAC=∠CBF，∴∠DAC+∠C=∠CBF+∠C=90°，∴∠AFB=90°，∴，∴△BAF的周長為：AB+BF+AF=．5．在△ABC中，∠BAC=90°，AC=AB，點(diǎn)D為直線BC上的一動(dòng)點(diǎn)，以AD為邊作△ADE（頂點(diǎn)A?D?E按逆時(shí)針方向排列），且∠DAE=90°，AD=AE，連接CE．（1）如圖1，若點(diǎn)D在BC邊上（點(diǎn)D與B?C不重合），①求證：△ABD≌△ACE；②求證：（2）如圖2，若點(diǎn)D在CB的延長線上，若DB=5，BC=7，則△ADE的面積為____．（3）如圖3，若點(diǎn)D在BC的延長線上，以AD為邊作等腰Rt△ADE，∠DAE=90°，連結(jié)BE，若BE=10，BC=6，則AE的長為______． 【詳解】（1）①∵∠BAC=∠DAE，∴∠BAD=∠CAE，又∵AB=AC，AD=AE，∴△ABD≌△ACE，②∵△ABD≌△ACE，∴∠ABD=∠ACE，BD=CE，∴∠ABD+∠ACB=∠ACE+∠ACB=∠DCE=90°，；（2）過點(diǎn)A作AF⊥DE于點(diǎn)F．∵AD＝AE，∴點(diǎn)F是DE的中點(diǎn)，∵∠DAE＝90°， ∴AF＝DE，同理可證△ABD≌△ACE，∴∠ADB＝∠AEC，DB＝EC，∵DB＝5，BC＝7，∴EC＝5，DC＝12，∵∠DAE＝90°，∴∠ADE＋∠AED＝90°，∴∠ADC＋∠CDE＋∠AED＝90°，∴∠AEC＋∠AED＋∠CDE＝90°，即∠CED＋∠CDE＝90°，∴∠ECD＝90°，∴DE2＝CE2＋CD2＝25＋144＝169，∵DE＞0，∴DE＝13，∴AF＝，∴△ADE的面積為＝DE?AF＝×13×＝；（3）由（1）可知：△ABD≌△ACE，∴BD＝CE，∠ABD＝∠ACE，∴∠BCE=∠ACB+∠∠ACE=∠ACB+∠ABD=90°，∴Rt△BCE中，BE＝10，BC＝6， ∴CE＝＝8，∴BD＝CE＝8，∴CD＝8?6＝2，∴Rt△DCE中，DE＝=，∵△ADE是等腰直角三角形，∴AE＝＝=．6．如圖在中，，，為的中點(diǎn)．（1）寫出點(diǎn)到的三個(gè)頂點(diǎn)、、的距離的大小關(guān)系．（2）如果點(diǎn)、分別在線段、上移動(dòng)，移動(dòng)中保持，請(qǐng)判斷的形狀，并證明你的結(jié)論．（3）當(dāng)點(diǎn)、分別在、上運(yùn)動(dòng)時(shí)，四邊形的面積是否發(fā)生變化？說明理由．【詳解】（1）連接OA，中，為的中點(diǎn)，，， ，．（2）是等腰直角三角形，證明如下：，為的中點(diǎn)，，，，，在與中，，≌，，，，是等腰直角三角形．（3）四邊形的面積保持不變，理由如下： 由（2）可得：=，．的面積保持不變四邊形的面積保持不變．7．如圖，直線與軸、軸分別交于、兩點(diǎn)，直線與軸、軸分別交于、兩點(diǎn)，與直線交于點(diǎn)．（1）填空：點(diǎn)的坐標(biāo)是（________，________），點(diǎn)的坐標(biāo)是（________，________）；（2）直線與直線的位置關(guān)系________；（3）線段的長為________；（4）在第一象限是否存在點(diǎn)，使得是等腰直角三角形，請(qǐng)直接寫出所有滿足條件的點(diǎn)的坐標(biāo)________．【詳解】（1）令，，令，則，解得，∴；令，，令，則，解得， ∴；（2）直線與直線垂直，理由如下：∵，．在和中，，．，，，，∴直線與直線垂直；（3）解得， ∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為，∴線段的長為；（4）假設(shè)存在點(diǎn)P，使得是等腰直角三角形，若AB為斜邊，過點(diǎn)P分別作x軸和y軸的垂線，分別交x軸于點(diǎn)E，y軸于點(diǎn)F，∵是等腰直角三角形，．，．在和中，，．設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為， 則．，解得此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為；若AB邊為直角邊，①過點(diǎn)P作軸交x軸于點(diǎn)G，∵是等腰直角三角形，．，． 在和中，，．，，，∴此時(shí)P的坐標(biāo)為，②過點(diǎn)P作軸交y軸于點(diǎn)H，∵是等腰直角三角形，．，． 在和中，，．，，，∴此時(shí)P的坐標(biāo)為，綜上所述，點(diǎn)P的坐標(biāo)為或或．8．如圖1，兩個(gè)不全等的等腰直角三角形和疊放在一起，并且有公共的直角頂點(diǎn)．將圖1中的繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，在圖2中作出旋轉(zhuǎn)后的△OAB(保留作圖痕跡，不寫作法，不證明)；在圖1中，你發(fā)現(xiàn)線段的數(shù)量關(guān)系是____，直線相交成角(填“銳”、“鈍”或“直”)； ①將圖1中的繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一個(gè)銳角，得到圖，這時(shí)(2)中的兩個(gè)結(jié)論是否仍成立?作出判斷并說明理由；②若將繞點(diǎn)繼續(xù)旋轉(zhuǎn)更大的角時(shí)，結(jié)論仍然成立嗎？作出判斷，不必說明理由．【詳解】解：（1）如圖所示（2）∵等腰直角三角形和疊放在一起，如圖1，∴OC=OD，OA=OB∴AC=BD， 故答案為：；直（3）①將圖1中的繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一個(gè)銳角，的兩個(gè)結(jié)論成立；理由如下：旋轉(zhuǎn)一個(gè)銳角后，，在和中，延長交于E，交于， ，又②將繞點(diǎn)繼續(xù)旋轉(zhuǎn)更大的角時(shí)，結(jié)論仍然成立．理由同上．9．問題背景：我們學(xué)習(xí)等邊三角形時(shí)得到直角三角形的一個(gè)性質(zhì)：在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于，那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半．即：如圖（1），在中，，，則．探究結(jié)論：小明同學(xué)對(duì)以上結(jié)論作了進(jìn)一步研究．（1）如圖（1），作邊上的中線，得到結(jié)論：①為等邊三角形；②與之間的數(shù)量關(guān)系為_________．（2）如圖（2），是的中線，點(diǎn)D是邊上任意一點(diǎn)，連接，作等邊，且點(diǎn)P在的內(nèi)部，連接．試探究線段與之間的數(shù)量關(guān)系，寫出你的猜想并加以證明．（3）當(dāng)點(diǎn)D為邊延長線上任意一點(diǎn)時(shí)，在（2）中條件的基礎(chǔ)上，線段與之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？直接寫出答案即可．【詳解】（1），， ，為邊上的中線，，是等邊三角形，．（2）．證明：如圖，連接，都是等邊三角形，，，，，．，．，； （3）當(dāng)點(diǎn)D為邊延長線上任意一點(diǎn)時(shí)，同（2）中的方法可證．10．如圖1，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，點(diǎn)D，E分別在邊AB，AC上，AD＝AE，連接DC，點(diǎn)M，P，N分別為DE，DC，BC的中點(diǎn)．（1）觀察猜想：圖1中，線段PM與PN的數(shù)量關(guān)系是　，位置關(guān)系是??；（2）探究證明：把△ADE繞點(diǎn)A逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)到圖2的位置，連接MN，BD，CE，判斷△PMN的形狀，并說明理由；（3）拓展延伸：把△ADE繞點(diǎn)A在平面內(nèi)自由旋轉(zhuǎn)，若AD＝4，AB＝10，請(qǐng)直接寫出△PMN面積的最大值．【詳解】解：（1）點(diǎn)，是，的中點(diǎn)，，，點(diǎn)，是，的中點(diǎn)，，，，，，，， ，，，，，，，故答案為：，；（2）是等腰直角三角形．由旋轉(zhuǎn)知，，，，，，，利用三角形的中位線得，，，，是等腰三角形，同（1）的方法得，，，同（1）的方法得，，， ，，，，，是等腰直角三角形；（3）方法1：如圖2，同（2）的方法得，是等腰直角三角形，最大時(shí)，的面積最大，且在頂點(diǎn)上面，最大，連接，，在中，，，，在中，，， ，．方法2：由（2）知，是等腰直角三角形，，最大時(shí)，面積最大，點(diǎn)在的延長線上，，，．11．在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直線MN經(jīng)過點(diǎn)C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E(1)當(dāng)直線MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖1的位置時(shí)，求證：①△ADC≌△CEB；②DE=AD+BE；(2)當(dāng)直線MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖2的位置時(shí)，直接寫出DE、AD、BE的關(guān)系為：___；(3)當(dāng)直線MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖3的位置時(shí)，試問DE、AD、BE具有怎樣的等量關(guān)系?請(qǐng)寫出這個(gè)等量關(guān)系，并加以證明．【詳解】（1）證明：如下圖： ∵∠ACB=90°，∴∠ACD+∠BCE=90°，而AD⊥MN于D，BE⊥MN于E，∴∠ADC=∠CEB=90°，∠BCE+∠CBE=90°，∴∠ACD=∠CBE．在△ADC和△CEB中，，∴△ADC≌△CEB，∴AD=CE，DC=BE，∴DE=DC+CE=BE+AD；（2）證明：在△ADC和△CEB中，，∴△ADC≌△CEB，∴AD=CE，DC=BE，∴DE=CECD=ADBE；（3）DE=BEAD．易證得△ADC≌△CEB，∴AD=CE，DC=BE，∴DE=CDCE=BEAD．12．（1）（方法探索）如圖，在等邊中，點(diǎn)在內(nèi)，且，，，求的長．小敏在解決這個(gè)問題時(shí)，想到了以下思路：如圖，把繞著點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連接，分別證明和是特殊三角形，從而得解．請(qǐng)?jiān)诖怂悸诽崾鞠?，求出PB的長． 解：把繞著點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連接，請(qǐng)接著寫下去：（2）（方法應(yīng)用）請(qǐng)借鑒上述利用旋轉(zhuǎn)構(gòu)圖的方法，解決下面問題①如圖，點(diǎn)在等邊外，且，，，若，求度數(shù)；②如圖，在中，，，是外一點(diǎn)，連接、、已知，．請(qǐng)直接寫出的長．【詳解】解：（1）如圖1中，把繞著點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△，連接，由旋轉(zhuǎn)不變性可知，，，，，，△為等邊三角形，，， 在△中，，，．（2）①如圖2中，把繞著點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連接，是等邊三角形，，，由旋轉(zhuǎn)不變性可知，，，，，，為等邊三角形，，，，，共線，，，，，，，． ②如圖3中，過點(diǎn)作，使得，連接，．，都是等腰直角三角形，，，，，，，，過點(diǎn)作于，，，，在中，，，，，， ，在中，，．