規(guī)律問題1．某種球形病毒的直徑約是0.01納米，一個該種病毒每經(jīng)過一分鐘就能繁殖出9個與自己完全相同的病毒，假如這種病毒在人體內(nèi)聚集到一定數(shù)量，按這樣的數(shù)量排列成一串，長度達到1分米時，人體就會感到不適．（1米納米）（1）從感染到第一個病毒開始，經(jīng)過5分鐘，人體內(nèi)改種病毒的總長度是多少納米？（2）從感染到第一個病毒開始，經(jīng)過多少分鐘，人體會感到不適？【答案】（1）從感染到第一個病毒開始，經(jīng)過5分鐘，人體內(nèi)改種病毒的總長度是1000納米；（2）從感染到第一個病毒開始，經(jīng)過10分鐘，人體會感到不適．【解析】解：（1）由題意可知：經(jīng)過5分鐘，人體內(nèi)改種病毒的總長度是0.01×1×105=1000（納米）答：從感染到第一個病毒開始，經(jīng)過5分鐘，人體內(nèi)改種病毒的總長度是1000納米；（2）1分米=米納米而÷（0.01×1）=∴從感染到第一個病毒開始，經(jīng)過10分鐘，人體會感到不適答：從感染到第一個病毒開始，經(jīng)過10分鐘，人體會感到不適．2．你會求的值嗎？這個問題看上去很復(fù)雜，我們可以先考慮簡單的情況，通過計算，探索規(guī)律：（1）由上面的規(guī)律我們可以大膽猜想，得到_____； （2）利用上面的結(jié)論求的值．（3）求的值【答案】（1）；（2）；（3）．【解析】（1）由題可以得到（2）由結(jié)論得：（3）3．計算|1﹣|+|﹣|+|﹣|+…+|﹣|．【答案】【解析】解： ．4．觀察下列等式：第1個等式：；第2個等式：；第3個等式：；第4個等式：；……解答下列問題：（1）按以上規(guī)律寫出第5個等式：——————　=　——————．（2）求的值．（3）求的值．【答案】（1），；（2）；（3）．【解析】解：（1）第1個等式：；第2個等式：；第3個等式：；第4個等式：；……第5個等式：； 故答案為：；；（2）；（3）．5．閱讀材料：求的值．解：設(shè)，將等式的兩邊同乘以2，得將下式減去上式得，即．即請你仿照此法計算：（1）填空：??????????． （2）求的值．（3）求的值．（其中n為正整數(shù)）【答案】（1）15；（2）2047；（3）．【解析】解：（1）由題意可得，1+2+22+23=24-1=16-1=15，故答案為：15；（2）由題意可得，；（3）設(shè)，則，，，解得，，即的值是．6．在日歷上，我們可以發(fā)現(xiàn)其中某些數(shù)滿足一定的規(guī)律，圖是年月份的日歷，我們用如圖所示的四邊形框出五個數(shù)．年月： （1）將每個四邊形框中最中間位置的數(shù)去掉后，將相對的兩對數(shù)分別相減，再相加，例如：，．不難發(fā)現(xiàn)，結(jié)果都是．若設(shè)中間位置的數(shù)為，請用含的式子表示發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，并寫出驗證過程．（2）用同樣的四邊形框再框出個數(shù)，若其中最小數(shù)的倍與最大數(shù)的和為，求出這個數(shù)中的最大數(shù)的值．（3）小明說：我用同樣的四邊形框也框出了個數(shù)，其中最小數(shù)與最大數(shù)的積是．請判斷他的說法是否正確，并說明理由．【答案】（1），見解析；（2）28；（3）正確，見解析【解析】（1）設(shè)中間位置的數(shù)為，左邊數(shù)為，右邊數(shù)，上面數(shù)，下面數(shù)為，則（2），，．（3）正確，(舍去)或者，可以存在．7．材料：若一個正整數(shù)，它的各個數(shù)位上的數(shù)字是左右對稱的，則稱這個正整數(shù)是對稱數(shù)．例如：正整數(shù)22是兩位對稱數(shù)；正整數(shù)797是三位對稱數(shù)；正整數(shù)4664是四位對稱數(shù)；正整數(shù)12321是五位對稱數(shù)． 根據(jù)材料，完成下列問題：（1）最大的兩位對稱數(shù)與最小的三位對稱數(shù)的和為___________（2）若將任意一個四位對稱數(shù)拆分為前兩位數(shù)字順次表示的兩位數(shù)和后兩位數(shù)字順次表示的兩位數(shù)，則這兩個兩位數(shù)的差一定能被9整除嗎？請說明理由．（3）如果一個四位對稱數(shù)的個位數(shù)字與十位數(shù)字的和等于10，并且這個四位對稱數(shù)能被7整除，請求出滿足條件的四位對稱數(shù)．【答案】（1）200；（2）一定可以，理由見解析；（3）3773【解析】解：（1）最大的兩位對稱數(shù)是99，最小的三位對稱數(shù)是101，，故答案是：200；（2）設(shè)個位和千位上的數(shù)字是a，十位和百位上的數(shù)字是b，則這兩位數(shù)分別是、，，它們的差是，這個數(shù)是9的倍數(shù)，所以這個數(shù)一定可以被9整除；（3）設(shè)這個四位數(shù)的個位數(shù)是x，則十位數(shù)是，這個數(shù)可以表示為，化簡得，令，則這個數(shù)是1991，令，則這個數(shù)是2882， 令，則這個數(shù)是3773，……令，則這個數(shù)是9119，其中只有3773能夠被7整除，∴滿足條件的四位數(shù)是3773．8．用棱長為的若干小正方體按如所示的規(guī)律在地面上搭建若干個幾何體．圖中每個幾何體自上而下分別叫第一層、第二層，，第層（為正整數(shù))（1）搭建第④個幾何體的小立方體的個數(shù)為．（2）分別求出第②、③個幾何體的所有露出部分（不含底面）的面積．（3）為了美觀，若將幾何體的露出部分都涂上油漆（不含底面），已知噴涂需要油漆克，求噴涂第個幾何體，共需要多少克油漆？【答案】（1）；（2）第②個幾何體露出部分（不含底面）面積為，第③個幾何體露出部分（不含底面）面積為；（3）克．【解析】（1）搭建第①個幾何體的小立方體的個數(shù)為1，搭建第②個幾何體的小立方體的個數(shù)為，搭建第③個幾何體的小立方體的個數(shù)為， 歸納類推得：搭建第④個幾何體的小立方體的個數(shù)為，故答案為：30；（2）第②個幾何體的三視圖如下：由題意，每個小正方形的面積為，則第②個幾何體的所有露出部分（不含底面）面積為；第③個幾何體的三視圖如下：則第③個幾何體的所有露出部分（不含底面）面積為；（3）第20個幾何體從第1層到第20層小立方體的個數(shù)依次為，則第20個幾何體的所有露出部分（不含底面）面積為，因此，共需要油漆的克數(shù)為（克），答：共需要992克油漆． 9．閱讀下列解題過程：，，請回答下列回題：（1）觀察上面的解答過程，請寫出；（2）請你用含n（n為正整數(shù)）的關(guān)系式表示上述各式子的變形規(guī)律；（3）利用上面的解法，請化簡：【答案】（1）；（2）；（3）9．【解析】（1）；故答案為：．（2）觀察前面例子的過程和結(jié)果得：；（3）反復(fù)運用得 ====-1+10=9．10．先化簡，再求值：2x+y2-2x-y2x+y-5xy，其中x=2019，y=-1.【答案】2021.【解析】原式=4x2+4xy+y2-（4x2-y2）-5xy=4x2+4xy+y2-4x2+y2-5xy，=2y2-xy，當(dāng)x=2019，y=-1時，原式=2×（-1）2-2019×（-1）=202111．觀察下列三行數(shù)，回答問題：-1、+3、-5、+7、-9、+11、……-3、+1、-7、+5、-11、+9、……+3、-9、+15、-21、+27、-33、……（1）第①行第9個數(shù)是___________第②行第9個數(shù)是___________第③行第9個數(shù)是___________（2）在第②行中，是否存在連續(xù)的三個數(shù)，使其和為83？若存在，求這三個數(shù)；若不存在，說明理由．（3）是否存在第m列數(shù)（每行取第m個數(shù)），這三個數(shù)的和正好為-99？若存在，求m；若不存在，說明理由． 【答案】（1）-17；-19；51．（2）存在，85，-91，89；（3）第列數(shù)不存在，理由見解析．【解析】（1）觀察到第①行的規(guī)律是，第②行的規(guī)律是將第①行的數(shù)-2，第③行的規(guī)律是，因此當(dāng)n=9時，第①行的數(shù)為-17∴第②行的數(shù)為-17-2=-19，第③行的數(shù)為；（2）設(shè)第②行存在連續(xù)的三個數(shù)和為83，且第一個數(shù)為，若，即在第②行中的偶數(shù)次列，滿足第列的數(shù)為（其中為正偶數(shù)），則，得，即，符合題意，在第②行第44列，此時，連續(xù)的三個數(shù)依次為85，-91，89．若，即在第②行中的奇數(shù)次列，滿足第列的數(shù)為（其中為正奇數(shù)），則，得，即，，不符合題意，故舍去，綜上所述，存在這樣連續(xù)的三個數(shù)使和為83，依次為85，-91，89．（3）設(shè)存在第列數(shù)使三個數(shù)的和為-99，且此列第①行的數(shù)為，則第列第②行的數(shù)為，第③行的數(shù)為，， 得，又第①行中奇數(shù)次列為負，偶數(shù)次列為正，，即97在第①行第49列，應(yīng)為負，故假設(shè)不成立，所以，這樣的第列數(shù)不存在．12．回答下列問題：（1）填空：___________________；_____________________；______________________．（2）猜想：___________________．（其中為正整數(shù)，且）；（3）利用（2）猜想的結(jié)論計算：①；②．【答案】（1）；；；（2）；（3）①2046；②682【解析】解：； ；；故答案為：；；；（2）根據(jù)（1）中的規(guī)律，可得猜想：（其中為正整數(shù)，且），故答案為：；（3）①；② ．