開放探究1．定義：到三角形的兩個頂點距離相等的點，叫做三角形的“中垂心”．如圖1，在△ABC中，PA=PB，則點P叫做△ABC的“中垂心”．（1）根據(jù)定義，中垂心可能在三角形頂點處的三角形有________（舉一個例子即可）；（2）應(yīng)用：如圖2；在△ABC中，請畫出“中垂心”P，使PA=PB=PC．（保留作圖痕跡，不寫畫法）（3）探究：①如圖3，已知△ABC為直角三角形，∠C=90°，∠ABC=60°，AC=，“中垂心”P在AC邊上，求PA的長．②如圖4，若PA=PB且“中垂心”P在△ABC內(nèi)部，總有AC+BC2AP，請說明理由．【解析】解：（1）根據(jù)題意，若點C為△ABC的“中垂心”可得CA=CB∴△ABC為等腰三角形故答案為：等腰三角形（答案不唯一）；（2）分別作出BC和AB的垂直平分線，交于點P
根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)可得PA=PB=PC∴點P即為所求；（3）①∵∠C=90°，∠ABC=60°，∴∠A=90°－∠ABC=30°∴AB=2BC設(shè)BC=x，則AB=2x∵BC2＋AC2=AB2∴x2＋（）2=（2x）2解得：x=4或-4（不符合實際，舍去）∴BC=4，AB=8∵P在AC邊上，∠C=90°∴PB＞PC，即不存在“中垂心”P，使PB=PC若PA=PB，如下圖所示
設(shè)PA=PB=a，則PC=AC－PA=－a∵PC2＋BC2=BP2∴（－a）2＋42=a2解得：a=即PA=；若PA=PC，如下圖所示則點P為AC的中點∴PA==綜上：PA=或；②理由如下延長AP交BC于D根據(jù)三角形的三邊關(guān)系可得：AC＋CD＞AD，DP＋DB＞PB
∴AC＋CD＋DP＋DB＞AD＋PB∴AC＋（CD＋DB）＋DP＞PA＋DP＋PB∴AC＋BC＞PA＋PB∵PA=PB∴AC+BC2AP2．如圖，在中，為的中點，將繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到，連結(jié)、.（1）若為等邊三角形，試探究與有何數(shù)量關(guān)系？證明你的結(jié)論；（2）若為等邊三角形，當?shù)闹禐槎嗌贂r，？（3）當不是等邊三角形時，（1）中結(jié)論是否仍然成立？若不成立，請?zhí)砑右粋€條件，使得結(jié)論成立，并說明理由.【解析】解（1），證明如下：∵為等邊的中線，∴，即，∵，∴，即，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到，，∴，∴.（2）或240.當時，由為等邊三角形，得到，∴，∴；當時，，∴.
（3）不成立，添加的條件為理由如下：∵，，∴，即.∵，∴，即.由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到，，∴，∴.3．在△ABC中，AB=AC，點D與點E分別在AB、AC邊上，DEBC，且DE=DB，點F與點G分別在BC、AC邊上，∠FDG∠BDE．（1）如圖1，若∠BDE=120°，DF⊥BC，點G與點C重合，BF=1，直接寫出BC=；（2）如圖2，當G在線段EC上時，探究線段BF、EG、FG的數(shù)量關(guān)系，并給予證明；（3）如圖3，當G在線段AE上時，直接寫出線段BF、EG、FG的數(shù)量關(guān)系：_____________．【解析】（1）∵DE∥BC，∴∠BDE+∠ABC=180°，∵∠BDE=120°，∴∠ABC=60°，∵DF⊥BF，∴∠BFD=90°，∴DF=BF?tan60°，∵∠CDF∠BDE=60°，∠DFC=90°，∴CF=DF?tan60°，
∴BC=BF+CF=1+3=4；（2）如圖2中，結(jié)論：FG=BF+EG．理由：在EA上截取EH，使得EH=BF．∵AB=AC，∴∠B=∠C，∵DE∥BC，∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C，∴∠ADE=∠AED，∴∠DEH=∠B，在△DBF和△DEH中，，∴△DBF≌△DEH（SAS），∴DF=DH，∠BDF=∠EDH，∵∠FDG∠BDE，∴∠BDF+∠EDG=∠EDH+∠EDG=∠GDH∠BDE，∴∠GDF=∠GDH，在△DGF和△DGH中，
，∴△DGF≌△DGH（SAS），∴FG=HG，∵HG=EG+HE=EG+BF，∴FG=BF+EG；（3）如圖3中，結(jié)論：FG=BF-EG．理由：在射線EA上截取EH，使得EH=BF．∵AB=AC，∴∠B=∠C，∵DE∥BC，∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C，∴∠ADE=∠AED，∴∠DEH=∠B，在△DBF和△DEH中，，∴△DBF≌△DEH（SAS），∴DF=DH，∠BDF=∠EDH，
∴∠BDE=∠FDH，∵∠FDG∠BDE∠FDH，∴∠GDF=∠GDH，在△DGF和△DGH中，，∴△DGF≌△DGH（SAS），∴FG=HG，∵HG=HE-GE=BF-EG，∴FG=BF=-EG．4．如圖，點的坐標為，點的坐標為，將沿直線對折，使點與點重合，直線與軸交于點與交于點．（1）求出的長度；（2）求的面積；（3）在平面上是否存在點，使得是等腰直角三角形？若存在，請求出點的坐標，若不存在，請說明理由．【解析】解：（1）∵點的坐標為，點的坐標為，∴OA＝16，OB＝12，在RtAOB中，
，∴AB＝20；（2）如圖，連接BC，∵折疊，∴AC＝BC，∠ADC＝∠BDC＝90°，AD＝BD＝10，設(shè)AC＝BC＝x，則OC＝16－x，在RtBOC中，，∴，解得，∴，∴在RtACD中，∴
，∴的面積為；（3）如圖1，當點P在第一象限，PB＝AB且∠PBA＝90°時，過點P作PE⊥OB交y軸于點E，則∠PEB＝∠AOB＝90°，∴∠PBE＋∠BPE＝90°，∵∠PBA＝90°，∴∠PBE＋∠ABO＝90°，∴∠BPE＝∠ABO，∵∠PEB＝∠AOB，∠BPE＝∠ABO，PB＝AB，∴PEB≌BOA，∴PE＝OB＝12，BE＝OA＝16，∴OE＝BE＋OB＝28，
∴點P的坐標為（12，28），如圖2，當點P在第三象限，PB＝AB且∠PBA＝90°時，過點P作PF⊥OB交y軸于點F，則∠PFB＝∠AOB＝90°，∴∠PBF＋∠BPF＝90°，∵∠PBA＝90°，∴∠PBF＋∠ABO＝90°，∴∠BPF＝∠ABO，∵∠PFB＝∠AOB，∠BPF＝∠ABO，PB＝AB，∴PFB≌BOA，∴PF＝OB＝12，BF＝OA＝16，∴OF＝BF－OB＝4，∴點P的坐標為（－12，－4），如圖3，當點P在第一象限，PA＝AB且∠PAB＝90°時，
過點P作PG⊥OA交x軸于點G，則∠PGA＝∠AOB＝90°，∴∠PAG＋∠APG＝90°，∵∠PAB＝90°，∴∠PAG＋∠BAO＝90°，∴∠APG＝∠BAO，∵∠PGA＝∠AOB，∠APG＝∠BAO，PA＝AB，∴PAG≌ABO，∴PG＝OA＝16，AG＝OB＝12，∴OG＝OA＋AG＝28，∴點P的坐標為（28，16），如圖4，當點P在第四象限，PA＝AB且∠PAB＝90°時，
過點P作PH⊥OA交x軸于點H，則∠PHA＝∠AOB＝90°，∴∠PAH＋∠APG＝90°，∵∠PAB＝90°，∴∠PAH＋∠BAO＝90°，∴∠APH＝∠BAO，∵∠PHA＝∠AOB，∠APH＝∠BAO，PA＝AB，∴PAH≌ABO，∴PH＝OA＝16，AH＝OB＝12，∴OH＝OA－AH＝4，∴點P的坐標為（4，－16），如圖5，當點P在第四象限，PA＝PB且∠APB＝90°時，
過點P作PM⊥OB交y軸于點M，過點A作AN⊥PM，交MP的延長線于點N，則∠PNA＝∠PMB＝90°，∴∠PAN＋∠APN＝90°，∵∠APB＝90°，∴∠APN＋∠BPM＝90°，∴∠PAN＝∠BPM，∵∠PNA＝∠PMB，∠PAN＝∠BPM，PA＝PB，∴PAN≌BPM，∴PM＝AN，BM＝PN，設(shè)PM＝AN＝a，則PN＝BM＝12＋a，∵MN＝OA＝16，∴a＋12＋a＝16解得a＝2，∴PM＝2，OM＝AN＝2，∴點P的坐標為（2，－2），
如圖6，當點P在第一象限，PA＝PB且∠APB＝90°時，過點P作PI⊥OB交y軸于點I，過點A作AJ⊥PI，交IP的延長線于點J，則∠PJA＝∠PIB＝90°，∴∠PAJ＋∠APJ＝90°，∵∠APB＝90°，∴∠APJ＋∠BPI＝90°，∴∠PAJ＝∠BPI，∵∠PJA＝∠PIB，∠PAJ＝∠BPI，PA＝PB，∴PAJ≌BPI，∴PI＝AJ，BI＝PJ，設(shè)PI＝AJ＝b，則PJ＝BI＝b－12，∵IJ＝OA＝16，∴b＋b－12＝16，解得b＝14，∴PI＝14，OI＝AJ＝14，
∴點P的坐標為（14，14），綜上所述，點P的坐標為（12，28），（－12，－4），（28，16），（4，－16），（2，－2），（14，14）．5．已知，且自然數(shù)，對進行如下“分裂”，可分裂成個連續(xù)奇數(shù)的和，如圖：即如下規(guī)律：……；（1）按上述分裂要求，，可分裂的最大奇數(shù)為（2）按上述分裂要求，可分裂成連續(xù)奇數(shù)和的形式是：；（3）用上面的規(guī)律求：【解析】解：（1）通過觀察已知算式可得平方數(shù)的分裂規(guī)律有：平方數(shù)的底數(shù)是多少，分裂后的奇數(shù)加數(shù)就有多少個；奇數(shù)加數(shù)是從1開始算起的連續(xù)奇數(shù)，∴，又，所以可分裂的最大奇數(shù)為19；故答案為=1+3+5+7+9，19；（2）由（1）可以進一步得知，一個平方數(shù)分裂后的最大奇數(shù)等于平方數(shù)底數(shù)的2倍減去1，∴可分裂的最大奇數(shù)為2n-1，
∴，故答案為；（3）由（2）得：=，，∴=2n+1．6．如圖，△ABC和△CDE都是等邊三角形，點E在BC上，AE的延長線交BD于點F．（1）求證：△ACE≌△BCD；（2）探究的度數(shù)；（3）探究EF、DF、CF之間的關(guān)系．【解析】解：（1）∵△ABC和△CDE都為等邊三角形，∴∠ACE=∠BCD=60°，AC=BC，CE=CD，在△ACE和△BCD中，
∴△ACE≌△BCD；（2）延長AF到Q，使FQ=DF，連接DQ，∵△ACE≌△BCD，∴∠CAE=∠CBD，又∵∠AEC=∠BEF，∴∠AFB=∠ACB=60°．∴∠DFQ=60°，∴△DFQ是等邊三角形，∴∠FDQ=∠FQD=60°，DF=DQ，∴∠CDF=∠EDQ，在△CDF和△EDQ中，∴△CDF≌△EDQ，∴∠CFD=∠DQF=60°；（3）∵△CDF≌△EDQ，?∴CF=EQ，
∵EQ=DF+FQ=EF+DF，∴CF=EF+DF．7．（1）問題發(fā)現(xiàn):如圖（1），在△OAB和△OCD中，OA＝OB，OC＝OD，∠AOB＝∠COD＝36°，連接AC，BD交于點M．①的值為 ??；②∠AMB的度數(shù)為 ；（2）類比探究:如圖（2），在△OAB和△OCD中，∠AOB＝∠COD＝90°，∠OAB＝∠OCD＝30°，連接AC，交BD的延長線于點M．請計算的值及∠AMB的度數(shù)．（3）拓展延伸:在（2）的條件下，將△OCD繞點O在平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)，AC，BD所在直線交于點M．若OD＝1，OB＝，請直接寫出當點C與點M重合時AC的長．【解析】解：（1）①∵∠AOB=∠COD=36°，∴∠AOB+∠DOA=∠COD+∠DOA，∴∠COA=∠DOB，又∵OA=OB，OC=OD，∴△COA≌△DOB（SAS），∴AC=BD，∴=1，故答案為：1；②設(shè)AO與BD交于點E，由①知，△COA≌△DOB，
∴∠CAO=∠DBO，∵∠AOB+∠DBO=∠DEO，∠AMB+∠CAO=∠DEO，∴∠AOB=∠AMB=36°，故答案為：36°；（2）在△OAB和△OCD中，∵∠AOB=∠COD=90°，∠OAB=∠OCD=30°，∴tan30°=，∵∠AOB+∠DOA=∠COD+∠DOA，即∠DOB=∠COA，∴△DOB∽△COA，∴，∠DBO=∠CAO，∵∠DBO+∠OEB=90°，∠OEB=∠MEA，∴∠CAO+∠MEA=90°，∴∠AMB=90°，∴=，∠AMB=90°；
（3）①如圖3-1，當點M在直線OB左側(cè)時，在Rt△OCD中，∠OCD=30°，OD=1，∴CD=2，在Rt△OAB中，∠OAB=30°，OB=，∴AB=2，由（2）知，∠AMB=90°，且=，∴設(shè)BD=x，則AC=AM=x，在Rt△AMB中，AM2+MB2=AB2，∴（x）2+（x+2）2=（2）2，解得，x1=3，x2=-4（舍去），∴AC=AM=3；②如圖3-2，當點M在直線OB右側(cè)時，在Rt△AMB中，AM2+MB2=AB2，∴（x）2+（x-2）2=（2）2，解得，x1=4，x2=-3（舍去），∴AC=AM=4，
綜上所述，AC的長為3或4．8．綜合與實踐（1）觀察理解：如圖1，中，，，直線過點，點，在直線同側(cè)，，，垂足分別為，，由此可得：，所以，又因為，所以，所以，又因為，所以（）；（請?zhí)顚懭扰卸ǖ姆椒ǎ?）理解應(yīng)用：如圖2，，且，，且，利用（1）中的結(jié)論，請按照圖中所標注的數(shù)據(jù)計算圖中實線所圍成的圖形的面積______；（3）類比探究：如圖3，中，，，將斜邊繞點逆時針旋轉(zhuǎn)至，連接，求的面積．
（4）拓展提升：如圖4，點，在的邊、上，點，在內(nèi)部的射線上，、分別是、的外角．已知，．求證：；【解析】（1）在和中，，故答案為：；（2），，，，由（1）得：，，，，，，.（3）如圖3，過作于，由旋轉(zhuǎn)得：，，，，；（4），，，
，，，在和中，；，9．如圖，在平面直角坐標系中，點的坐標是，與軸相切于點，與軸相交于、兩點.（1）點、、的坐標分別是（，），（，），（，）.（2）設(shè)經(jīng)過、兩點的拋物線的關(guān)系式為，它的頂點為，拋物線的對稱軸與軸相交于點，求證：直線與相切.（3）在拋物線的對稱軸上，是否存在點（點在軸的上方），使是等腰三角形.如果存在，請求出點的坐標；如果不存在，請說明理由.【解析】（1），，.提示：連結(jié)，則垂直于軸.∵點的坐標是，∴，.在
中，，同理在中，，∴，，.（2）把代入，解得，∴，.如圖2，連結(jié)，則，.∵，∴，∴，即，∴與相切.（3）∵，，∴，.在中，.設(shè)，，如圖3.①當時，在中，，∴，，∵，∴，∴；②當時，在中，，∴，，∵，∴，∴；③當時，和重合，.綜上當、或時，是等腰三角形.
10．已知如圖，四邊形ABCD，BE、DF分別平分四邊形的外角∠MBC和∠NDC，若∠BAD＝α，∠BCD＝β（1）如圖1，若α+β＝150°，求∠MBC+∠NDC的度數(shù)；（2）如圖1，若BE與DF相交于點G，∠BGD＝45°，請寫出α、β所滿足的等量關(guān)系式；（3）如圖2，若α＝β，判斷BE、DF的位置關(guān)系，并說明理由．【解析】解：（1）在四邊形ABCD中，∠BAD+∠ABC+∠BCD+∠ADC＝360°，∴∠ABC+∠ADC＝360°﹣（α+β），∵∠MBC+∠ABC＝180°，∠NDC+∠ADC＝180°∴∠MBC+∠NDC＝180°﹣∠ABC+180°﹣∠ADC＝360°﹣（∠ABC+∠ADC）＝360°﹣[360°﹣（α+β）]＝α+β，∵α+β＝150°，∴∠MBC+∠NDC＝150°，
（2）β﹣α＝90°理由：如圖1，連接BD，由（1）有，∠MBC+∠NDC＝α+β，∵BE、DF分別平分四邊形的外角∠MBC和∠NDC，∴∠CBG＝∠MBC，∠CDG＝∠NDC，∴∠CBG+∠CDG＝∠MBC+∠NDC＝（∠MBC+∠NDC）＝（α+β），在△BCD中，在△BCD中，∠BDC+∠DBC＝180°﹣∠BCD＝180°﹣β，在△BDG中，∠BGD＝45°，∴∠GBD+∠GDB+∠BGD＝180°，∴∠CBG+∠CBD+∠CDG+∠BDC+∠BGD＝180°，∴（∠CBG+∠CDG）+（∠BDC+∠CDB）+∠BGD＝180°，∴（α+β）+180°﹣β+45°＝180°，∴β﹣α＝90°，（3）平行，理由：如圖2，延長BC交DF于H，
由（1）有，∠MBC+∠NDC＝α+β，∵BE、DF分別平分四邊形的外角∠MBC和∠NDC，∴∠CBE＝∠MBC，∠CDH＝∠NDC，∴∠CBE+∠CDH＝∠MBC+∠NDC＝（∠MBC+∠NDC）＝（α+β），∵∠BCD＝∠CDH+∠DHB，∴∠CDH＝∠BCD﹣∠DHB＝β﹣∠DHB，∴∠CBE+β﹣∠DHB＝（α+β），∵α＝β，∴∠CBE+β﹣∠DHB＝（β+β）＝β，∴∠CBE＝∠DHB，∴BE∥DF．11．在平面直角坐標系中，對于平面中的點，和圖形，若圖形上存在一點，使，則稱點為點關(guān)于圖形的“折轉(zhuǎn)點”，稱為點關(guān)于圖形的“折轉(zhuǎn)三角形”（1）已知點，①在點，，中，點關(guān)于點的“折轉(zhuǎn)點”是______；
②點在直線上，若點是點關(guān)于線段的“折轉(zhuǎn)點”，求點的橫坐標的取值范圍；（2）的圓心為，半徑為3，直線與，軸分別交于，兩點，點為上一點，若線段上存在點關(guān)于的“折轉(zhuǎn)點”，且對應(yīng)的“折轉(zhuǎn)三角形”是底邊長為2的等腰三角形，直接寫出的取值范圍．【解析】（1）①根據(jù)“折轉(zhuǎn)點”的定義，要使得的Q才是點O關(guān)于點A的“折轉(zhuǎn)點”，如圖，根據(jù)各個點的坐標，，，，則，∴，是點O關(guān)于點A的“折轉(zhuǎn)點”，，，，則，∴，點O關(guān)于點A的“折轉(zhuǎn)點”，∵，∴不是，故答案是：，；②如圖，點為點關(guān)于線段的折轉(zhuǎn)點，則在線段上存在點，使得，即在以為直徑的圓上（不含，點），因此，當點在上運動時，所有可能的點組成的圖形為：以為圓心，半徑為1的圓，和以為圓心，半徑為2的圓及其之間的部分，（不含軸上的點）．直線與內(nèi)圓交于，與外圓交于，線段即為直線上點可能的位置，
過點作軸于，連接，則，因為直線，，因此為等腰直角三角形，，由三線合一，知，為，即點橫坐標為1，同理可得，點橫坐標為2，∴點的橫坐標取值范圍是；（2）根據(jù)題意，記線段EF上的點是Q，當上存在一點C，使的時候，則線段EF上存在點P關(guān)于的“折轉(zhuǎn)點”，∵“折轉(zhuǎn)三角形”是等腰直角三角形，∴Q點一定在線段PC的垂直平分線上，∵點P、C都是圓上的點，線段PC是的弦，∴圓心T也在線段PC的垂直平分線上，∴T和Q是共線的，且它們之間的距離是固定的，∵等腰直角三角形的底是2，∴Q到線段PC的距離是1，∵的半徑是3，弦長PC是2，∴根據(jù)垂徑定理可以算出圓心T到線段PC的距離是，
∴，根據(jù)直線求出、，如圖，當點Q在點F的位置上的時候，①，，根據(jù)勾股定理求得，則；②同上，則；當點Q在點E的位置上的時候，③，則；④，則，綜上，t的范圍是：或．12．如圖，在矩形中，，，點從點出發(fā)沿向點勻速運動，速度是，過點作交于點，同時，點從點出發(fā)沿方向，在射線上勻速運動，速度是，連接、，與交與點，設(shè)運動時間為．（1）當為何值時，四邊形是平行四邊形；
（2）設(shè)的面積為，求與的函數(shù)關(guān)系式；（3）是否存在某一時刻，使得的面積為矩形面積的；（4）是否存在某一時刻，使得點在線段的垂直平分線上．【解析】（1）當四邊形是平行四邊形時，，又∵，∴四邊形為平行四邊形，∴，即，∴（2）∵，∴，即，∴，∴，
∴，，梯形，∴梯形（3）由題意，解得，所以當或時，的面積為矩形面積的．（4）當點在線段的垂直平分線上時，，∴，在中，，在中，，∴，即解得，（舍）所以當時，點在線段的垂直平分線上．
